重庆市巴蜀高级中学校2021届高三下学期3月高考适应性月考卷（八）数学试题 Word版含答案解析

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巴蜀中学2021届高考适应性月考卷（八）
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“false”是“false”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要出 D．既不充分也不必要
2．已知复数false在复平面内对应的点都在射线false上，且false，则false的虚部为（ ）
A．3 B．false C．false D．false
3．“垃圾分类”已成为当下最热议的话题，我们每个公民都应该认真履行，逐步养成“减量、循环、自觉、自治”的行为规范，某小区设置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”四种垃圾桶．一天，小区住户李四提着属于4个不同种类垃圾桶的4袋垃圾进行投放，发现每个桶只能再投一袋垃圾就满了，作为一个意识不到位份子，李四随机把4袋垃圾投放到了4个桶中，则有且仅有一袋垃圾投放正确的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知直线false与圆false相交于false，false两点，点false在圆false上，且满足false，则满足条件的false点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知在边长为3的等边false中，false，则false在false上的投影为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．函数false的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥false中，false，false，false两两垂直，false，false，false，点false为线段false的中点，过点false作该三棱锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．函数false在false上单调，且false，若false在false上存在最大值和最小值，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．2020年12月31日，我国第一支新冠疫苗“国药集团中国生物新冠灭活疫苗”获得国家药监局批准附条件上市，保护率为79.34%，中和抗体阳转率为99.52%，该疫苗将面向全民免费．所谓疫苗的保护率，是通过把人群分成两部分，一部分称为对照组，即注射安慰剂；另一部分称为疫苗组，即注射疫苗来进行的当从对照组和疫苗组分别获得发病率后，就可以计算出疫苗的保护率=（对照组发病率疫苗组发病率）/对照组发病率false．关于注射疫苗，下列说法正确的是（ ）
A．只要注射了新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎
B．新冠疫苗的高度阳转率，使得新冠肺炎重症感染的风险大大降低
C．若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病80人，则保护率为60%
D．若某疫苗的保护率为80%，对照组发病率为50%，那么在10000个人注射了该疫苗后，一定有1000个人发病
10．如图，在正方体false中，点false，false分别是棱false，false上异于端点的两个动点，且false，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥false的体积为定值
B．对于任意位置的点false，平面false与平面false所成的交线均为平行关系
C．false的最小值为false
D．对于任意位置的点false，均有平面false平面false
11．已知非零实数false，false满足false，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．false B．若false，则false
C．false D．若false，则false
12．给定两个函数false与false，若实数false，false满足false，则称false的最小值为函数false与false的横向距．已知false，false，false，则（ ）
A．当false时，false与false的横向距为0 B．若false与false的横向距为0，则false
C．false与false的横向距随着false的增大而增大 D．若false与false的横向距大于1，则false
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）
13．在false的展开式中，含false项的系数为________．
14．已知数列false为等比数列，数列false为等差数列，若false，false，则false________．
15．如图，为测量false点到河对岸塔顶false的距离，选取一测量点false，现测得false，false，false，并在点false处测得塔顶false的仰角为false，则false的距离为________false．
16．已知点false为双曲线false右支上一点，false，false为双曲线的左、右焦点，点false为线段false上一点，false的角平分线与线段false交于点false，且满足false，则false________；若false为线段false的中点且false，则双曲线false的离心率为________．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在false中，角false，false，false的对边分别是false，false，false，且已知false的外接圆半径为false，已知________，在以面下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：
①false，②false，③false．
问题：（1）求角false的大小；
（2）若false，求false的最大值．
18．（本小题满分12分）
已知正项数列false的前false项和为false，且false，false，false．
（1）求false，false，false的值，并求数列false的通项公式；
（2）求数列false的前false项和公式false．
19．（本小题满分12分）
如图，在多面体false中，四边形false与false均为直角梯形，平面false平面false，false，false，false，false，false．
（1）已知点false为false上一点，且false，求证：false平面false；
（2）已知直线false与平面false所成角的正弦值为false，求平面false与平面false所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽．因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径false为一级果，果径false为二级果，果径false或false以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量奉节脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：false），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计这1000个奉节脐橙的果径的中位数；
（2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径false中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数false的分布列与数学期望；
（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为false，记一级果的个数为false的概率为false，写出false的表达式，并求出当false为何值时，false最大？
21．（本小题满分12分）
已知函数false，false．
（1）当false时，求证：false；
（2）记数列false的前false项和为false，若false，求证：false．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆方程false，抛物线方程：false，false为坐标原点，false是抛物线的焦点，过false的直线false与抛物线交于false，false两点，如图所示．
（1）证明：直线false，false的斜率乘积为定值，并求出该定值；
（2）反向延长false，false分别与椭圆交于false，false两点，且false，求椭圆方程；
（3）在（2）的条件下，若false的最小值为1，求抛物线方程．
巴蜀中学2021届高考适应性月考卷（八）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
D
C
B
A
D
【解析】
1．false，false，因为false，false，∴false是false的既不充分也不必要条件，故选D．
2．设false，false，false，false，∴false，虚部为3，故选A．
3．四袋垃圾总共有false种不同的情况，选出一袋投放正确false，剩下3袋与对应垃圾桶全部错位排，共2种情况，false，故选C．
4．圆false，false，false到直线false的距离false，则弦长false，设false到false的距离为false，则false，解得false，而圆上false两侧的动点到直线false的最大距离分别为5和2，故满足条件的点false共4个，故选D．
5．false，∴falsefalse，∴false在false的投影为false，故选C．
6．false为偶函数，定义域为false，排除AC选项；false时，false，图象横在false轴的上方，排除D选项；当false，false时，false，故选B．
7．构造以false，false，false为棱长的长方体，设该长方体的外接球球心为false，半径为false，则有false，则false，在所有过点false的截面里，当截面过球心false时，截面圆的面积取最大值，此时半径为false；在所有过点false的截面里，当false与截面垂直时，截面圆的面积取最小值，此时截面圆的圆心为false，因为false，∴最小截面圆的半径为false，∴最小截面圆的面积为false，故截面圆的面积范围为false，故选A．
8．false在false上单调，所以false，又false，所以false，∴false，false，false，所以false，false，当false时，false，false或false或false，故选D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
题号
9
10
11
12
答案
BC
BD
BCD
ABD
【解析】
9．A选项错误：B选项中阳转率高说明有高滴度的抗体，当感染新冠肺炎后，肺炎症状将会大大降低，进而减少重症率；C选项中由保护率的计算公式可得：对照组和疫苗组的发病率分别为1%，0.4%，代入可得保护率为60%；D选项中虽然根据公式算出样本中疫苗组的发病率为10%，但实际是否会发病是随机事件，故选BC．
10．对于A选项，false，false面积不定，而false到平面false的距离为定值false，故false不是定值；对于B选项，由于false平面false，则经过直线false的平面false与平面false的所有交线均与直线false平行，根据平行的传递性，可得所有交线也平行；对于C选项，设正方体棱长为1，false，则false，false，则falsefalse，则false，错误；对于D选项，易得直线false与平面false垂直，故平面false平面false，故选BD．
11．A选项中，由指数函数的图象可知，false或者false，所以错误，所以B正确；C选项中，函数false在false上单增，而false，所以正确；或者也可以将B选项等价转化为证明false是正确的；D选项中，false，则有false，所以正确，故选BCD．
12．由false，令false，则false，false，所以false，记函数false，false，则false，显然false单调递增，且false，故false在false，false，即false，①当false时，false，所以falsefalse，即函数false与false的横向距为false；②当false时，false，所以false，所以false，即函数false与false的横向距为0，故选ABD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
10
false
false
false，false
【解析】
13．false．
14．由数列性质知false，得false，又false，得false，又false，false，所以false．
15．由题意知false，由正弦定理false，得false，所以false．
16．过false作false交false于点false，作false交false于点false，由false，得false，由角平分线定理false，因为false为false的中点，所以false，由双曲线的定义，false，所以false，false，false，在false中，由余弦定理false．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解：（1）选条件①：
由题知false，
∴false，
∴false，
∴false，又false，则false，
∴false，又false，∴false． 5分
选条件②：
由题知false，
∴false，又false，
∴false，
∴false，又false，则false，
∴false，又false，∴false． 5分
选条件③：
由题知false，
∴false，
∴false，又false，则false，
∴false，
∴false，又false，
∴false，∴false． 5分
（2）由正弦定理知false，∴false，
又false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false（当且仅当false时取等号），
∴false的最大值为false． 10分
18．解：（1）由题知false①，又false，
∴false，∴false，
又false，∴false，
又false，∴false，
由①知：false时，false②，
false：false，
又false，∴false，
∴对于数列false来说，false，false，false，…成等差数列，false，false，false，…成等差数列，
（ⅰ）当false为奇数时，false，
（ⅱ）当false为偶数时，false，
∴false时，false． 8分
（2）false，
∴false． 12分
19．（1）证明：如图，连接false交false于点false，取false中点为false，连接false，false，false，
在四边形false中，false，false，
故四边形false为平行四边形，
故false为false中点，
所以在false中，false为中位线，
则false且false，
又false且false，
故false且false，
即四边形false为平行四边形，
所以false，
又∵false平面false，false平面false，
∴false平面false，即false平面false． 5分
（2）解：false平面false，
如图，以点false为坐标原点，分别以false，false，false为false，false，false轴正方向建立坐标系，
设false（false且false），
则false，false，false，false，false，
则false，false，false，
设平面false的法向量为false，则false，取false，
所以直线false与平面false所成角false满足false，
即false，解得false或false（舍），
设平面false的法向量为false，
∵false，false，
∴false，取false，
所以平面false与平面false所成锐二面角false满足false． 12分
20．解：（1）果径false的频率为false，
果径false的频率为false，
故果径的中位数在false，不妨设为false，则false，
解得中位数false． 3分
（2）果径false，false，false的频率之比为false，
所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，
故随机变量false，
false，
false，
false，
false，
所以false的分布列为
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
期望false． 7分
（3）这批果实中一级果的概率false，每个果实相互独立，则false，
则false，题目即求false为何值时，false最大，
令false，解得false，
故当false时，false，即false…，当false时，false，即false…，所以false，
即一级果的个数最有可能为30个． 12分
21．证明：（1）∵false，false，则false，
当false时，false，
令false，
则由false，可得false，
∵false，
∴false，
则false，在false恒成立，
∴false在false上单调递减，
则false． 6分
（2）由（1）知，当false时，false，取false，
则false，
∴false，
∴false，
∴false，
…，
∴false，
上式全部相加，则有false，
则false，证毕． 12分
22．（1）证明：设直线false的斜率为false，直线false的斜率为false，
由题可知，直线false的斜率不为0，
设直线false，
则由false，可得false，
易知false，且false，
又false，则false． 3分
（2）解：设false，false，
由（1）可知，false，false，
联立方程false，可得false，
用false替换式子中的false，有false，
false
false
false
false
又false，则false，且false，
即false，∴false，
此时椭圆方程为false． 7分
（3）解：∵false，
由（2）可知，当false，false时，
false，false，则false，
又由（1）可知false，false，
当且仅当false时等号成立，
由题意false，false，此时抛物线方程为false． 12分