安徽省六安市霍邱第一高级中学校2020-2021学年高一下学期3月第5周测测验数学试题 Word版含答案解析

霍邱一中2020-2021学年高一数学周测
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，则复数在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
5．半径为2，圆心角为的扇形所夹的弓形（如图所示的阴影部分）面积为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象如图所示，为了得的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．或
8．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称
C．的最大值为 D．在上为单调减函数
9．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
11．已知向量，则与方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，且三点共线，则__________．
14．若平面向量满足，，且，则与夹角的大小为___________.
15．已知单位向量，的夹角为，与垂直，则实数________.
16．已知定义在R上的函数满足对任意两个不等实数，，都有，且，则不等式的解集为_________.
三、解答题:本大题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分.
17．已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
18．在中，的内角、、的对边分别为、、，为锐角三角形，且满足条件．
（1）求的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
19．在中，分别为内角所对的边长，.
（1）求角；
（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.
20．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
21．二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若在上有解，求k的取值范围.
22．如图，三点不共线，，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
参考答案
1．C
【分析】
先由指数不等式的解法化简集合，再由补集和交集的定义，即可得到所求集合.
【详解】
解：集合，，
则，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查集合的混合运算，还考查指数不等式的解法；解题方法就是对各集合化简，然后运用集合的定义法求解即可；解题的关键点是指数不等式的求解和集合的交集、补集运算.
2．D
【分析】
先利用复数的除法化简复数，即得解.
【详解】
由题得，
所以复数对应的点为，在第四象限，
故选：D.
3．B
【分析】
解正弦不等式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
当时，
则，
当时，，
即“”是“”的必要而不充分条件
故选：B
4．A
【分析】
由是幂函数结合函数单调性得出实数m的值．
【详解】
由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，
故选：A
5．A
【分析】
先根据扇形面积公式求扇形面积，再求三角形面积，作差即可得解.
【详解】
半径为2，圆心角为的扇形面积为，
空白三角形的面积为.
所以弓形（如图所示的阴影部分）面积为.
故选：A.
6．B
【分析】
首先根据图象求函数的解析式，再根据左右平移规律判断选项.
【详解】
由图象可知，
即，
当时，，
解得：，，
，，
，
要得到的图象，只需将的图象向右平移个单位.
故选：B
【点睛】
方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.
7．D
【分析】
先利用同角之间的关系求得，再利用余弦定理可求得结果.
【详解】
由，且，可知角A必为锐角，可得，
根据余弦定理可得，，即，解得或．
故选：D．
8．D
【分析】
由题可得，则，所以可得的最小正周期为；令，可得其对称轴；最大值为2；而当时，，故可判断出正确答案.
【详解】
，，
所以的最小正周期为，故A错；
令，可得其对称轴为，故B错；
最大值为2，故C错；
当时，，故答案D正确.
故选：D
9．A
【分析】
先求出向量与向量的数量积，再代入投影公式中，即可得答案.
【详解】
由题意，，
所以向量在向量方向上的投影为.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量数量积的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
10．A
【分析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
11．C
【分析】
求出，计算即得．
【详解】
由题意，．
故选：C．
12．B
【分析】
根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式，转化为相应的不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
可得当时，，
当时，函数在单调递增，且，
要使得，则 ，解得，
即不等式的解集为，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：该题主要考查了函数的单调性的应用，解题思路如下：
（1）根据函数的解析式，得出函数单调性；
（2）合理利用函数的单调性，得出不等式组；
（3）正确求解不等式组，得到结果.
13．
【分析】
由三点共线，得，根据向量共线的坐标表示求.
【详解】
三点共线，.
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.
14．
【分析】
将两边平方可解得结果.
【详解】
由题意得，，
即，则，
故.
故答案为：
15．
【分析】
由题可得，根据与垂直，可得，即可求得.
【详解】
，是单位向量，，
，
与垂直，
，解得.
故答案为：.
16．
【分析】
不妨令，等价于，构造函数，得到函数单调递增，再利用单调性解不等式得解.
【详解】
不妨令，则等价于，
构造函数，则
则是R上的增函数.
因为，所以，
即，所以，解得.
所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：得到，想到构造函数；其二是由得到.
17．(1),单调递减区间为;(2)见解析
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得的递减区间；
（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值.
【详解】
（1），
∴的最小正周期.
由，得，
∴的单调递减区间为.
（2）∵，
∴，
当，即时，函数取得最小值，为；
当，即时，函数取得最大值，为.
故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）利用正弦定理和正弦函数的两角和公式进行求解即可；
（2）利用正弦定理，作边化角，则可整理得，周长，进而可求解
【详解】
解：（1），且，
，
即，即．
即．
即，即．
因为，．
（2），，，
周长，
，
．
又为锐角三角形，，，
，
周长的范围为．
【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用正弦定理作边化角，再利用正弦的两角和与差的公式进行化简求解，主要考查学生的运算能力，难度属于中档题
19．（1）；（2）
【分析】
（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，即可求解；
（2）由是中线，可得，两边同时平方结合基本不等式可求得的最大值，进而可得面积的最大值.
【详解】
（1）由正弦定理可得，，
所以可化为，
所以
在中，由余弦定理可得，
所以，解得：，
因为，所以，
（2）在中，若是中线，则，
所以，
即，
所以，所以，
所以，解得，
所以，
所以面积的最大值为
【点睛】
方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.
20．（1）f(x)＝；（2）475件．
【分析】
（1）根据年需求量为500件，由05时，产品只能售出500件和固定成本0.5万元，每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解.
（2）根据（1）的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集.
【详解】
（1）当05时，产品只能售出500件．
所以,
即f(x)＝.
（2）当0所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781 25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
【点睛】
方法点睛：（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本题．（2）求函数最值常利用基本函数法，基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的值域时，应先求每一段上的值域，然后取并集．
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据解析式，可得为开口向上，对称轴为x=1的抛物线，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；
（2）由（1）可得的解析式，在上有解，等价于在上有解，即，利用二次函数图象与性质，即可求得答案.
【详解】
（1），为开口向上，对称轴为x=1的抛物线，
因为，所以在上单调递减，在单调递增，又，
所以，解得，
所以.
由（1）知，，所以在上有解，
所以，令，则，
设，，为开口向下，对称轴为的抛物线，
所以，
所以k的取值范围为.
【点睛】
解题的关键熟练掌握二次函数图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，只需要，处理恒成立问题时，需要，根据题意分析求解即可.
22．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，，三点共线，可得到一个向量等式，由，，三点共线可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）；
（2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到．
【详解】
解：（1），，三点共线，
，①
同理，，，三点共线，可得，②
比较①，②，得解得，，
．
（2），，，
，，
，
，，三点共线．
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理和平面向量的共线定理的应用，通过共线定理证明三点共线，考查转化思想和运算能力.
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