18.2.1矩形课件（23张PPT）
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文档简介
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
长方形在生活中无处不在.
1、矩形的定义：有一个角是直角的 是矩形.
有一个角是直角
平行四边形
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝ ，
∴四边形ABCD是矩形．
90°
知识点 1
矩形的定义
2、矩形的性质
（1）矩形是特殊的 形，它具有 形的一切性质.
即边： ；角： ；
对角线： .
用几何语言描述上述性质（如图2）：
（2）矩形还有以下特殊性质:
① ② .
平行四边
平行四边
矩形的对边平行且相等
矩形的对角相等
矩形的对角线互相平分
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
∵四边形ABCD是矩形
AD = BC ，CD = AB
∴AD ∥BC ，CD ∥AB
AO= CO ，OD = OB
∠BAD=∠BCD ， ∠ADC=∠ABC
知识点 2
矩形的性质
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B
C
D
O
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB (SAS)
∴AC = BD
即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等
【提问】：AC=BD,AC与BD互相平分，则AO,BO,CO,DO有怎样的数量关系？
∴AO=BO=CO=DO
∵AC = BD,AO=CO,DO=BO
矩形的对角线互相平分成四条相等的线段.
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
矩形的性质归纳
【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？
它的对称轴有几条？
A
B
C
D
E
F
G
H
.
O
知识点 3
矩形的对称性及相关性质
矩形的性质：
对称性： .
对称轴条数： .
轴对称图形
2条
1．在下面性质中，矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为( )
A．30° B．60°
C．45° D．50°
D
B
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则AC=________，AO=________,△AEF的周长为____________.
4. 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,
∠AOB=60°,AB=4 ,求AC,BC长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴OA = OB，∠ABC=90°
又∵∠AOB=60°,
∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8.
∴在Rt△ABC中，
A
B
C
D
O
素养考点 1
利用矩形的性质求线段的长
∴△OAB是等边三角形，
6. 如图，四边形ABCD是矩形，AD=9，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求CN的长.
素养考点 2
利用矩形的性质解答折叠问题
方法点拨：在矩形中，常遇到折叠问题，利用勾股定理列方程是解决问题的基本方法。
A
B
C
D
O
如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
B
C
O
A
根据矩形的性质，我们知道
知识点 4
直角三角形的性质
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
O
C
B
A
D
证明:取BC中点D, 连接OD.
∵O是AC的中点，D是BC的中点
∴∠ODC=∠ABC=90°,
∴OD垂直平分BC，
∴BO=CO=AO.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO= AC .
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm.
A
B
C
D
6
10
5
例 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，
E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
素养考点 1
利用直角三角形的性质解答题目
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
对角线相等
既是轴对称图形也是中心对称图形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
定义
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （ ）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
课堂检测
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
C
3.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
课堂检测
4. 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
∴∠2＝∠3.
课堂检测
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
课堂检测
∴GF⊥DE.
18.2.1 矩形
长方形在生活中无处不在.
1、矩形的定义：有一个角是直角的 是矩形.
有一个角是直角
平行四边形
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝ ，
∴四边形ABCD是矩形．
90°
知识点 1
矩形的定义
2、矩形的性质
（1）矩形是特殊的 形，它具有 形的一切性质.
即边： ；角： ；
对角线： .
用几何语言描述上述性质（如图2）：
（2）矩形还有以下特殊性质:
① ② .
平行四边
平行四边
矩形的对边平行且相等
矩形的对角相等
矩形的对角线互相平分
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
∵四边形ABCD是矩形
AD = BC ，CD = AB
∴AD ∥BC ，CD ∥AB
AO= CO ，OD = OB
∠BAD=∠BCD ， ∠ADC=∠ABC
知识点 2
矩形的性质
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B
C
D
O
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB (SAS)
∴AC = BD
即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等
【提问】：AC=BD,AC与BD互相平分，则AO,BO,CO,DO有怎样的数量关系？
∴AO=BO=CO=DO
∵AC = BD,AO=CO,DO=BO
矩形的对角线互相平分成四条相等的线段.
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
矩形的性质归纳
【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？
它的对称轴有几条？
A
B
C
D
E
F
G
H
.
O
知识点 3
矩形的对称性及相关性质
矩形的性质：
对称性： .
对称轴条数： .
轴对称图形
2条
1．在下面性质中，矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为( )
A．30° B．60°
C．45° D．50°
D
B
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则AC=________，AO=________,△AEF的周长为____________.
4. 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,
∠AOB=60°,AB=4 ,求AC,BC长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴OA = OB，∠ABC=90°
又∵∠AOB=60°,
∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8.
∴在Rt△ABC中，
A
B
C
D
O
素养考点 1
利用矩形的性质求线段的长
∴△OAB是等边三角形，
6. 如图，四边形ABCD是矩形，AD=9，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求CN的长.
素养考点 2
利用矩形的性质解答折叠问题
方法点拨：在矩形中，常遇到折叠问题，利用勾股定理列方程是解决问题的基本方法。
A
B
C
D
O
如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
B
C
O
A
根据矩形的性质，我们知道
知识点 4
直角三角形的性质
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
O
C
B
A
D
证明:取BC中点D, 连接OD.
∵O是AC的中点，D是BC的中点
∴∠ODC=∠ABC=90°,
∴OD垂直平分BC，
∴BO=CO=AO.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO= AC .
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm.
A
B
C
D
6
10
5
例 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，
E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
素养考点 1
利用直角三角形的性质解答题目
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
对角线相等
既是轴对称图形也是中心对称图形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
定义
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （ ）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
课堂检测
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
C
3.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
课堂检测
4. 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
∴∠2＝∠3.
课堂检测
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
课堂检测
∴GF⊥DE.