(共17张PPT)
6.3
实
数（2）
学习目标
1、掌握实数的相反数和绝对值；
2、掌握实数的运算律和运算性质.
教学重点：
1、会求实数的相反数和绝对值；
2、会进行实数的加减法运算；
3、会进行实数的近似计算.
教学难点：
认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充.
1．实数可以分哪几类？
(1)按定义分类：
温故知新
(1)实数与数轴上的点是_一一对应_的．
即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
(2)在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
2．实数与数轴上的点又怎样的关系？
有理数中的几个重要概念:
只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数.
①相反数
②绝对值
数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,用︱a︱表示.
③倒数
如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数
.
思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？
回顾与思考
回答下列问题。
（1）
的相反数是
，
的相反数是
，
0
的相反数是
；
（2）
＝
，
＝
，
＝
．
探究点一
实数的相反数、绝对值
π
0
π
0
结合有理数相反数和绝对值的意义，
你能说说实数关于相反数和绝对值的性质吗?
数a
的相反数是
–a，
一个正实数的绝对
值是它本身；
一个负实数的绝对
值是它的相反数；
0的绝对值是0．
例1
（1）分别写出
的相反数；
（2）指出
是什么数的相反数；
（3）求
的绝对值；
（4）已知一个数的绝对值是
,求这个数．
求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值之间有什么关系？
求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的.实数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
探究点二
实数间的运算
例3 计算下列各式的值：
（1）
（2）
例3 计算（结果保留小数点后两位）：
；
解:
填空：设a，b，c是任意实数，则
（1）a+b
=
（加法交换律）；
（2）(a+b)+c
=
（加法结合律）；
（3）a+0
=
0+a
=
；
（4）a+(-a)
=
(-a)+a
=
；
（5）ab
=
（乘法交换律）；
（6）(ab)c
=
（乘法结合律）；
b+a
a+(b+c)
a
0
ba
a(bc)
（7）
1
·
a
=
a
·
1
=
；
a
实数的运算
（8）a(b+c)
=
（乘法对于加法的分配律），
(b+c)a
=
（乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为a-b
=
a+
；
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，
满足a·b
=
b·a
=1，我们把b叫作a的＿＿＿＿＿；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为
a÷b
=
a·
；
（12）实数有一条重要性质：如果a
≠
0，b
≠
0，
那么ab＿＿＿0.
ab+ac
ba+ca
(-b)
倒数
≠
每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.
实数的平方根与立方根的性质：
此外，前面所学的有关数、式、方程的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
总结归纳
1、设
对应数轴上的点是A，
对应数轴上的点是B，那么A、B间的距离是
。
2、在数轴上与原点的距离是
的点所表示的数是
。
3、求下列各数的相反数与绝对值：
练习：计算
（1）
（2）
（3）
=4
1．实数的相反数、绝对值的意义及求法.
2．实数间的计算.
本节课你有什么收获？(共26张PPT)
实
数
单
元
复
习
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
乘方
平方根
立方根
互为逆运算
开平方
开立方
负的平方根
算术平方根
开方
一般地，如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。（也叫二次方根）
正数a的正的平方根和零的平方根,统称算术平方根
。
非负数a的算术平方根是非负数，
。
数a的立方根用符号
表示。
一般地，如果
，那么
叫
的立方根
求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。
1、平方根的定义：若X2=a，则X就叫做a的__________。
a的平方根用________表示
2、平方根的性质
（1）一个正数有
平方根，它们互为________
（2）0的平方根还是____
（3）负数_______平方根
3、平方根的求法：
如求4的平方根：
∵
(±2)2
=
4
∴4的平方根是±2
即
1、立方根的定义：若X3=a，则X就叫做a的________。
a的立方根用
表示
2、立方根的性质
（1）一个正数的立方根___________
（2）0的立方根还是_____
（3）负数的立方根________
3、立方根的求法：
如求8的立方根：
∵
23
=
8
∴8的立方根是2
即
两个
相反数
0
没有
一个正数
是负数
0
平方根
立方根
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根的区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
是其本身
表示方法
的取值
性
质
≥
≥
正数
0
负数
正数（一个）
0
没有
互为相反数（两个）
0
没有
正数（一个）
0
负数（一个）
≠
0,1
0
0,1,-1
对于
的值得讨论
（1）
（2）
－27（3）
0
求下列各数的算术平方根：
求下列各数的平方根：
（1）4
（2）
（3）7
（1）
16
（2）5
求下列各数的立方根：
(1)4的算术平方根是±2.
(2)4的平方根是2.
(3)8的立方根是2.
(4)－1的立方根是－1
(5)－1的平方根是±1
不要搞错了
64
±8
8
4
算术平方根是它本身的数有______________。
0
.
1
平方根
，立方根呢？
5、若某数的一个立方根是4，则这个数的平方根是
；
±8
6、(-4)2的算术平方是
；
4
±3
9、-64的立方根是
；
－4
±5
4
－
4
（1）1.7
和
比较下列各组里两个数的大小.
（2）
1.无理数有几个？
2.无理数都是用根号表示的数吗？
3.无理数都是开方开不尽的数吗？
4.用根号表示的数都是无理数吗？
1.无理数的个数是无限多个.
2.无理数不都是用根号表示的.
3.用根号形式表示的数不都是无理数.
注意：
有理数和无理数统称实数.
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
有限小数和无限循环小数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
实数
正实数
0
负实数
下列说法正确的是：
（1）无限小数是无理数
（2）有理数都是有限小数
（3）一个数的立方根不一定是无理数
（4）任何实数都有唯一的立方根
（5）只有正实数才有算术平方根
√
×
×
×
√
（6）任何数的平方根有两个，它们互为相反数
×
实数的性质：
数a的相反数是-a.
一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
1、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
2
2
如果把所有的有理数都标到数轴上，那么数轴将被填满了．（
）
4.判断对错,并说明理由．
×
-2
-1
0
1
2
实数
a
每一个实数都可用数轴上的一个点来表示．
实数
数轴上的点
一一对应
数
点
数轴上的每一个点都表示一个实数．
点
数
数形结合
数形结合
A
大家都知道
是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，
的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用
来表示
的小数部分，你同意小明的方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。
思考探究题
的整数部分是___,小数部分是______.
2
不要遗漏哦！
解下列方程：
当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
1.
解:
2.
解:
掌握规律
注意平方根和立方根的移位法则
是负数
等于它的相反数
是正数
等于它本身
是负数
里面的数的符号
化简绝对值要看它
等于它的相反数
一个正数的平方根是2a-3与5-a,你能求出a吗？
解:（2a-3）+（5-a）=0
解得
a=-2
∴2a-3=-7,
5-a=7
这个正数是72=49
你知道这个正数是多少吗？
跟踪练习
已知5x+19的立方根是4，求2x+7的平方根
已知x、y满足︱x-5︱+
=0，求（x+y）2006
的值？(共18张PPT)
6.3
实
数（1）
学习目标
了解无理数和实数的概念以及实数的分类；
知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系.
重点：
了解无理数和实数的概念；
对实数进行分类.
难点：对无理数的认识.
1、有理数有哪两种分类？
2、
是有理数吗？
有理数
整数
分数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
有理数
正数
负数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
问题1
我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式
实数的概念和分类
问题2
整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？
可以
思考
由此你可以得到什么结论？
有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
叫做无理数.
想一想：所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？
π=3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…
（两个1之间依次多一个0）
无限不循环小数
不是.如：
思考：
是无理数吗？2.020
020
002
000
02…是无
理数吗？
2.02002000200002…
常见的一些无理数：
(1)含
的一些数；
(2)含开不尽方的数；
(3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…
它们都是无限不循环小数，是无理数
把下列各数分别填入相应的集合内：
0.101，
有理数集合
无理数集合
．．．
．．．
练一练
实数
有理数
无理数
整数
分数
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
实数
正实数
负实数
0
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
有理数和无理数统称实数.
实数的分类
1.判断下列说法是否正确
（1）实数不是有理数就是无理数。（
）
（2）无理数都是无限不循环小数。（
）
（5）无理数都是无限小数。（
）
（3）带根号的数都是无理数。（
）
（4）无理数一定都带根号。（
）
×
×
如
是有理数
如
就没有根号
（6）无限小数都是无理数。（
）
×
如
就是有理数
练一练
练一练
2.
把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）整数集合：
（4）负数集合：
（5）分数集合：
（6）实数集合：
如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点o到达A点，则点A的坐标为多少？
无理数
可以用数轴上的点来表示.
问题1.你能在数轴上表示出π吗？
OA=
π
A的坐标是
π
直径为1的圆的周长是多少？
-4
-2
0
1
2
3
4
-1
-3
A
探究2
问题2.你能在数轴上表示出
吗？
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大
正方形，大正方形的边长为
从而说明边长为1的小正方形的对角线为
。
1
1
2
2
2
2
探究2
（1）如下图，以一个单位长度为边长画一个正方形,以原点为圆心,正方形对角线为半径画弧,与正、负半轴的交点分别为点A和点B，数轴上A点和B点对应的数是什么？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴
填满吗？
－2
－1
1
2
B
A
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
C
数轴上的点有些
表示有理数，有
些表示无理数.
1
1
实数与数轴上的点是一一对应的。
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示出来。
O
与有理数一样，实数也可以比较大小：
与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
原点
0
正实数
负实数
<
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
与有理数一样，在实数范围内：
实数的大小比较
，2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此
同样，因为5<9，所以
不用计算器，
与2比较哪个大？与3比较呢？
议一议
1.（1）请将数轴上是各点与下列实数对应起来：
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
A
B
C
D
E
3
（2）比较它们的大小（用“＜”号连接）
＜
＜
＜
＜
-1.5
3
在数轴上表示的两个实数，
右边的数总比左边的数大。
练习
课堂小结
通过这节课的学习，你学习了什么
新的知识？谈谈你有哪些收获？
我们主要学习了
1.无理数的概念
无理数是无限不循环的小数.
2.实数的概念
有理数和无理数统称为实数.
3.实数的分类
实数
有理数
无理数
整数
分数
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
实数
正实数
负实数
0
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
4.实数与数轴上的点是一一对应的.(共17张PPT)
6.2
立方根
学习目标
1、了解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根.
2、了解开立方与立方互为逆运算，会求一个数的立方根.
什么是平方根吗？平方根具有什么特征？
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
如果一个数的平方等于
，那么这个数就叫做 的平方根（也叫做二次方根）．即若
那么
叫做
的平方根．
要制作一种容积为
的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多？
如果设这种包装箱的棱长为x
ｍ，那么可以得到什么等式？
正方体的体积与棱长有什么关系？
解:设这种包装箱的边长为x
m,
∵33=27
∴x=3
答:这种包装箱的边长应为3
m,
思考：如果问题中正方体的体积为5cm3，
正方体的边长又该是多少？
你能类比平方根的定义给出立方根的定义吗？
立方根的概念
立方根：如果一个数的立方等于
，那么这个数就叫做
的立方根（
也叫做三次方根）．
即若
那么
叫做
的立方根．
求一个数
的立方根的运算叫做开立方．
根据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
因为
，所以8的立方根是（
）；
因为
，所以0.064的立方根是（
）；
因为
，所以0的立方根是（
）；
因为
，所以－8的立方根是（
）；
因为
，所以
的立方根是（
）．
2
0.8
0.8
0
0
-2
-2
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0的立方根是0.
立方根的性质
说说平方根与立方根的性质有什么区别？
一个数的平方根与立方根的区别和联系
从上表可以得出：负数没有平方根，但负数有立方根，且为负数.正数有两个平方根，但只有一个立方根且为正数.平方根和立方根都相等的数是0.
2个，互为相反数
1个
没有
1个
1个，为0
1个，为0
一个数
的立方根，记作
，读作：“三次根号a”，
其中a叫被开方数，3叫根指数，3不能省略．
立方根的表示
如:33=27
则把3叫做27的立方根,即
当
，则x叫做什么呢？
X叫a的四次方根，记作
，
，
，
说说它的意义
表示a的算术平方根
表示a的平方根或a的二次方根
表示a的立方根或a的三次方根
表示a的四次方根
填空，你能发现其中的规律吗？
因为
＝
，
所以
因为
所以
一般地
.
-2
＝
＝
-2
-3
-3
例 求下列各式的值
：
解:
(1)
(2)
(3)
0.5
-3
10
1
3
4
3.6
3.7
3.68
3.69
如何比较含有根号的数的大小？
比较含有根号的数的大小，可先把它们平方或立方，再比较；同是二次根号或三次根号的情况下，可直接比较被开方数的大小，一定要注意符号.
1．立方根的概念、表示方法和性质.
2．数的立方根与平方根的区别
(概念、表示方法、性质).
本节课你有什么收获？
