8.3用公式法解一元二次方程 课件（共30张PPT）

第八章 一元二次方程
3 用公式法解一元二次方程
知识点一 用公式法解一元二次方程
求根公式
公式法
步骤
知识点一 用公式法解一元二次方程
求根公式
公式法
把一元二次方程的各项系数代入求根公式，直接求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做公式法
步骤
用公式法解一元二次方程的步骤:（1）把方程化为一般形式；（2）确定a、b、c的值；（3）计算b2-4ac的值；（4）当b2-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根
例1 用公式法解方程:
（1）x2-5x＋2＝0；（2）2x2-3x-5＝0；
例1 用公式法解方程:
（1）x2-5x＋2＝0；（2）2x2-3x-5＝0；
温馨提示
用公式法解一元二次方程时，要注意两点:
（1）一定要把方程化为一般形式；（2）一定要计算b2-4ac的值，且b2-4ac的值大于或等于0时，才能代入求根公式求解.
知识点二 一元二次方程根的判别式
根的判别式
根的情况与判别式的关系
△＞0
△＝0
△＜0
重点解读
根的判别
式的应用
知识点二 一元二次方程根的判别式
例2 一元二次方程x2-2x＋1＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
例2 一元二次方程x2-2x＋1＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
解析 由题意可知，△＝（-2）2-4×1×1＝0，故选B.
答案 B
例2 一元二次方程x2-2x＋1＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
解析 由题意可知，△＝（-2）2-4×1×1＝0，故选B.
答案 B
点拨 判断一元二次方程根的情况，可以不解方程，直接根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况.
经典例题
题型一 根据根的情况求字母参数的值或取值范围
题型一 根据根的情况求字母参数的值或取值范围
题型一 根据根的情况求字母参数的值或取值范围
点拨
解答此类问题的关键是根据根的情况得出含未知字母的方程或不等式，解方程或不等式求出未知字母的值或取值范围当题目指明是一元二次方程（或指明有两个实数根），且二次项系数中含未知字母时，要注意二次项系数不为0当题目没有指明是一元二次方程，且二次项系数含未知字母时，要分情况讨论.
题型二 应用根的判别式证明一元二次方程根的个数
例2 已知关于x的方程（k2＋1）x2-2kx＋k2＋4＝0.求证:此方程没有实数根.
题型二 应用根的判别式证明一元二次方程根的个数
例2 已知关于x的方程（k2＋1）x2-2kx＋k2＋4＝0.求证:此方程没有实数根.
分析 由k2＋1＞0可证明此方程是一元二次方程，若要证明此方程没有实数根，只需证明该一元二次方程的根的判别式小于0即可.
题型二 应用根的判别式证明一元二次方程根的个数
证明：
∵k2≥0，∴k2＋1＞0，∴此方程是一元二次方程.
∵a＝k2＋1，b＝-2k，c＝k2＋4，
∴b2-4ac＝（-2k）2-4（k2＋1）（k2＋4）＝4k2-4k4-20k2-16＝-4k4-16k2-16＝-4（k4＋4k2＋4）＝-4（k2＋2）2，
∵无论k取任何实数，都有（k2＋2）2＞0，
∴-4（k2＋2）2＜0，即b2-4ac＜0，
∴原方程没有实数根.
题型二 应用根的判别式证明一元二次方程根的个数
证明：
∵k2≥0，∴k2＋1＞0，∴此方程是一元二次方程.
∵a＝k2＋1，b＝-2k，c＝k2＋4，
∴b2-4ac＝（-2k）2-4（k2＋1）（k2＋4）＝4k2-4k4-20k2-16＝-4k4-16k2-16＝-4（k4＋4k2＋4）＝-4（k2＋2）2，
∵无论k取任何实数，都有（k2＋2）2＞0，
∴-4（k2＋2）2＜0，即b2-4ac＜0，
∴原方程没有实数根.
点拨
证明一个一元二次方程是否有实数根，可以转化为证明根的判别式与0的大小关系问题来解决.
题型三 根的判别式与三角形的综合应用
例3 已知a，b，c为△ABC的三边长，且方程（x-a）（x-b）＋（x-b）（x-c）＋（x-c）（x-a）＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
题型三 根的判别式与三角形的综合应用
解析 将原方程整理，得3x2-2（a＋b＋c）x＋ab＋bc＋ac＝0，
∴△＝［-2（a＋b＋c）］2-4×3×（ab＋bc＋ac）
＝（a2＋＋c2＋2ab＋2ac＋2bc）-12（ ab＋＋ac）
＝4（a2＋b2＋c2-ab-ac-be）
＝2［(a2-2ab＋b2)＋(b2-2bc＋c2)＋(a2-2ac＋c2)］
＝2［（a-b）2＋（b-c）2＋（a-c）2］.
方程有两个相等的实数根.
∴△＝0，即2［（a-b）2＋（b-c）2＋（a-c）2］＝0
∴a-b＝0，b-c＝0，a-c＝0.∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形.
题型三 根的判别式与三角形的综合应用
点拨
此题的题眼是“有两个相等的实数根”，所以一元二次方程根的判别式△＝0，据此可得a，b，c的关系易错易混全解对比析跳出陷阱.
易错易混
易错点一 应用根的判别式时，忽略二次项系数不为0这个条件
例1 若关于x的一元二次方程（m-1）x2＋4x＋2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A.m≤3 B.m＜3 C.m＜3且m≠1 D.m≤3且m≠1
易错点一 应用根的判别式时，忽略二次项系数不为0这个条件
易错点一 应用根的判别式时，忽略二次项系数不为0这个条件
易错点二 对形如ax2＋bx＋c＝0类型的方程有实数根的问题理解错误
例2 关于x的方程（k＋1）x2-2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k≥0 B.k≤0 C.k＜0且k≠-1 D.k≤0且k≠-1
易错点二 对形如ax2＋bx＋c＝0类型的方程有实数根的问题理解错误
例2 关于x的方程（k＋1）x2-2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k≥0 B.k≤0 C.k＜0且k≠-1 D.k≤0且k≠-1
解析 依题意得当k＝-1时，方程有实数根；
当k≠-1时，方程为一元二次方程，此时方程有实数根，
则△＝(-2)2-4(k＋1)×1≥0，解得k≤0.故选B.
答案 B
易错点二 对形如ax2＋bx＋c＝0类型的方程有实数根的问题理解错误
例2 关于x的方程（k＋1）x2-2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k≥0 B.k≤0 C.k＜0且k≠-1 D.k≤0且k≠-1
解析 依题意得当k＝-1时，方程有实数根；
当k≠-1时，方程为一元二次方程，此时方程有实数根，
则△＝(-2)2-4(k＋1)×1≥0，解得k≤0.故选B.
答案 B
易错警示 若所给方程未指明是一元二次方程，则要分两种情况讨论如本题中易忽视k＋1＝0的情况.