第1章三角形的证明 单元培优测试卷（Word版 含答案）

第1章三角形的证明 单元培优测试卷
一、选择题
1、等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（　　）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
2、已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（　　）
A．12 B．9 C．10 D．12或9
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
4、如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上．
A．AB B．AC C．BC D．不能确定
5、如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（　　）
A．ED＝CD B．∠DAC＝∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE＝90°
6、如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
7、如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
8、如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
9、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．
则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE+BF．
其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10、如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　）
A．6 B．12 C．32 D．64
二、填空题
11、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为　 　°．
12、Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝　 　．
13、如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为2的等边三角形，则A点的坐标是　 　．
14、如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠AOC＝90°，∠A＝13°，则∠C＝　 　°．
15、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是　 　．
16、如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，
则∠C＝　 　度．
17、如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．
用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是　 　．
18、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8，∠B＝15°，则EC的长为　 　．
19、如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点
O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为　 　．（填序号）
20、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，若∠ABD＝∠ADC＝90°，AC平分∠DAB，DE＝4，BC＝，则AE的长为　 　．
三、解答题
21、已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．
（1）试说明∠ABC＝2∠C；
（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．
22、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E．求CE的长．
23、已知：如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E.
(1)求证：CE＝CB；
(2)如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明．
24、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
25、如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M．N为AB上的一点，D为BC的中点，DN＝BC．
（1）求证CN⊥AB．
（2）若∠A＝55°，则∠MDN＝　 　°．
26、如图，在△ABC中，点D在BC上，AD平分∠BAC，点E、F分别在AC、AB上，满足AE＝BF，
DE∥AB．求证：（1）AE＝DE；（2）BD＝EF．
27、如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；
（2）若∠ABC＝29°，∠C＝47°，求∠CDE度数．
28、如图,已知BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC于点E,且AB+BC=2BE.
(1)求证:∠BAD+∠BCD=180°;
(2)若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换,结论成立吗?请说明理由.
（答案）
一、选择题
1、等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（　　）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
解：∵等腰三角形的一个角100°，∴100°的角是顶角，
∴底角是×（180°﹣100°）＝40°，故选：B．
2、已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（　　）
A．12 B．9 C．10 D．12或9
解：①若5为腰长，2为底边长，
∵5，5，2能组成三角形，∴此时周长为：5+5+2＝12；
②若2为腰长，5为底边长，
∵2+2＝4＜5，∴不能组成三角形，故舍去；
∴周长为12． 故选：A．
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．∴AB的长度是12cm．故选：D．
4、如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上．
A．AB B．AC C．BC D．不能确定
解：∵BC＝BD+AD＝BD+CD∴AD＝CD
∴点D在AC的垂直平分线上．故选：B．
5、如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（　　）
A．ED＝CD B．∠DAC＝∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE＝90°
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD．
∴∠B＝∠BAD，∠ADE＝∠BDE．∴∠B+∠ADE＝90°
其它选项无法证明其是正确的．
故选：D．
6、如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
7、如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵△ABD的面积为9，AB＝6，∴DE＝，
∵BM是∠ABC的平分线，∴DE＝3，∴DP≥3，故选：A．

8、如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM＝PN＝PS，∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（AC?PN）：（AB?PM）＝AC：AB；故②不正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，∴∠DCP＝∠PCF，∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
本题正确的有：①③④
故选：B．
9、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．
则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE+BF．
其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC＝∠FBD，
∵AC∥BF，∴∠C＝∠FBD，∴∠C＝∠ABC，∴△ABC为等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD＝BD，所以①②正确；
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE＝DH，
∵AC∥BF，DE⊥AC，∴DF⊥BF，
∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，∴DH＝DF，∴DE＝DF，所以③正确；
在△ADE和△ADH中，，∴△ADE≌△ADH（HL），∴AH＝AE，
同理可得BH＝BF，∴AB＝AH+BH＝AE+BF，所以④正确．
故选：A．
10、如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　）
A．6 B．12 C．32 D．64
解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°，
∴B6B7＝＝＝32．
故选：C．

二、填空题
11、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为　 　°．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠A＝40°，∴∠B＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故答案为：70．
12、Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝　 　．
解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝2，
∴AB＝2CD＝2×2＝4，
故答案为：4．
13、如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为2的等边三角形，则A点的坐标是　 　．
解：过A作AE⊥x轴于E，
∵△ABO是等边三角形，边长为2，∴OA＝2，OE＝BE＝1，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AE＝＝＝，
即点A的坐标为（1，﹣）．故答案为：（1，﹣）．
14、如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠AOC＝90°，∠A＝13°，则∠C＝　 　°．
解：如图，连接OB，
∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠A＝13°，
∴∠AOB＝180°﹣13°﹣13°＝154°，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣154°＝116°，
∵OE垂直平分BC，∴∠C＝∠OBC＝（180°﹣116°）＝32°．
故答案为：32．

15、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是　 　．
解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC?2＝7，解得AC＝3． 故答案为：3．
16、如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，
则∠C＝　 　度．
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，
由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝30°， 故答案为：30．
17、如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．
用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是　 　．
解：根据三角形外角的性质得：∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．
故答案为：∠1＝2∠2．
18、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8，∠B＝15°，则EC的长为　 　．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝8，∴BE＝AE＝8，∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝×8＝4，∴EC＝AC＝4，
故答案为：．
19、如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点
O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为　 　．（填序号）
解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD，
∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP∴CH＝CD，
∵CD＝BD，∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．
故答案为：①②③④．

20、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，若∠ABD＝∠ADC＝90°，AC平分∠DAB，DE＝4，BC＝，则AE的长为　 　．
解：过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H，CJ⊥BD于J．
∵CA平分∠DAN，CD⊥AD，CH⊥AH，∴∠DAC＝∠BAC，CD＝CH，
∵∠ADC＝∠ABD＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠CAB+∠AEB＝90°，∴∠ACD＝∠AEB，
∵∠DEC＝∠AEB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝CH＝4，
∵∠CJB＝∠JBH＝∠H＝90°，∴四边形BHCE是矩形，
∴BE＝CH＝4，EC＝BH＝＝＝，
∴DE＝＝＝，
∴JE＝DE﹣DJ＝4﹣＝，EB＝BJ﹣EJ＝4﹣＝，
∴EC＝＝＝，
∵CJ∥AB，∴＝，∴＝，∴AE＝，
故答案为：

三、解答题
21、已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．
（1）试说明∠ABC＝2∠C；
（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．
证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，
∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；
（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，
∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，
∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．
22、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E．求CE的长．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴；
∵DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，∴AE＝BE；
设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x；
在Rt△ACE中，∠C＝90°，∴CE2+AC2＝AE2；即x2+62＝（8﹣x）2，
解得，即．
23、已知：如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E.
(1)求证：CE＝CB；
(2)如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明．
证明：(1)∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，∴AC是∠EAB的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，∴CE＝CB；
( 2) AC垂直平分BE，
证明：由(1)知，CE＝CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，∴∠CEA＝∠CBA＝90°，
∵在Rt△CEA和Rt△CBA中，∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL)，
∴AE＝AB，CE＝CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，∴AC垂直平分BE.
24、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
25、如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M．N为AB上的一点，D为BC的中点，DN＝BC．
（1）求证CN⊥AB．
（2）若∠A＝55°，则∠MDN＝　 　°．
解答：（1）证明：∵BM⊥AC，点D是BC的中点，∴BD＝CD＝DM＝BC，
∵DN＝BC，∴DM＝DN＝BD＝CD，∴∠DBN＝∠BND，∠DNC＝∠DCN，
∵∠NBD+∠BNC+∠NCD＝180°，∴2∠BND+2∠CND＝180°，
∴∠BND+∠CND＝90°，即∠CNB＝90°，∴CN⊥AB；
（2）解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠BMC＝90°，
∵D为BC的中点，∴DN＝BD，DM＝CD，∴∠BND＝∠NBD，∠DMC＝∠MCD，
∴∠BND+∠DMC＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝125°，
∴∠AND+∠AMD＝360°﹣125°＝235°，∴∠MDN＝360°﹣∠A﹣∠AND﹣∠AMD＝70°，
故答案为：70．
26、如图，在△ABC中，点D在BC上，AD平分∠BAC，点E、F分别在AC、AB上，满足AE＝BF，
DE∥AB．求证：（1）AE＝DE；（2）BD＝EF．
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE；
（2）证明：由（1）知，AE＝DE．
又AE＝BF，∴BF＝DE．
又DE∥AB，∴∠BFD＝∠EDF．
在△BFD与△EDF中，，∴△BFD≌△EDF（SAS），∴BD＝EF．
27、如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；
（2）若∠ABC＝29°，∠C＝47°，求∠CDE度数．
解：（1）∵BD垂直平分AE，∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，∴AB+BE+AD+CD+CE＝18，CD+CE+DE＝6，
∴2AB＝18﹣6＝12，∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝29°，∠C＝47°，∴∠BAC＝104°，
∵AB＝BE，∠ABC＝29°，∴∠BAE＝∠AEB＝，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAE＝104°﹣＝，
∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠CDE＝2∠DAE＝57°．

28、如图,已知BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC于点E,且AB+BC=2BE.
(1)求证:∠BAD+∠BCD=180°;
(2)若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换,结论成立吗?请说明理由.
【解析】　(1)过点D作DF⊥BA于点F.
∵AB+BC=2BE,∴AB=BE+BE-BC=BE+BE-BE-EC=BE-EC,即AB+EC=BE.
∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,∴DF=DE.
在Rt△BFD和Rt△BED中, ∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),∴BF=BE,∴AB+AF=BE.
∵AB+EC=BE,∴AF=EC.
在△AFD和△CED中, ∴△AFD≌△CED(SAS),∴∠DAF=∠DCE.
∵∠BAD+∠DAF=180°,∴∠BAD+∠BCD=180°.
(2)结论成立.理由如下:
过点D作DF⊥BA于点F.
∵∠BAD+∠DAF=180°,∠BAD+∠BCD=180°,∴∠DCE=∠DAF.
∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,∴∠DFA=∠DEC=90°,DF=DE.
在△AFD和△CED中 , ∴△AFD≌△CED(AAS),∴AF=CE.
在Rt△BFD和Rt△BED中, ∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),∴BF=BE,∴AB+AF=BE,
∴AB=BE-AF=BE-CE=BE-(BC-BE)=BE-BC+BE=2BE-BC, 即AB+BC=2BE.