18.2.3 正方形 提升训练题（Word版 含答案）

18.2.3 正方形 提升训练题
一、选择题
1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（　　）
A．每一条对角线平分一组对角
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
2．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．平行四边形ABCD各边中点依次是E、F、G、H，关于四边形EFGH，下面结论一定成立的是（ ）
A．有一个内角等于90° B．有一组邻边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．四边形ABCD的对角线AC与BD相等且互相垂直，则顺次连接这个四边形四边的中点得到四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线垂直且互相平分 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等
7．如图，已知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是（　　 ）
A．AC=BD B．AB⊥BC C．AD=BC D．AC⊥BD
8．如图，四边形false是正方形，O，D两点的坐标分别是false，false，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点false，则图中等腰直角三角形的个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．已知正方形的对角线长为 false，则这个正方形的面积是______．
12．正方形的边长为6，则该正方形的边心距是_____________．
13．正方形的一条对角线长为false，则这个正方形的面积为____________false．
14．已知正方形false的边长等于false，那么边false的中点false到对角线false的距离等于_______false．
15．如图，在正方形false的内侧，作等边false，则false的度数是________．
三、解答题
16．如图，在正方形ABCD的外侧， 作两个等腰三角形ADE和DCF，
(1) 若EA=ED=FD=FC，请判断BE和AF的关系？并给予证明．
(2)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，请用备用图画出图形，直接写出BE和AF的关系，不用证明．
17．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝ °时，四边形 ADCF 为正方形；
②连接 DF，当∠ACB＝ °时，四边形 ABDF 为菱形．
18．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将大小不同的正方形false与正方形false按图1位置放置，false与false在同一条直线上，false与false在同一条直线上．
（1）小明发现false且false，请你给出证明；
（2）如图2，小明将正方形false绕点false转动，当点false恰好落在线段false上时猜想线段false和false的位置关系是 ．
19．如图，正方形false的面积为8，正方形false的面积为32．
（1）求正方形false和正方形false的边长；
（2）求阴影部分的面积和周长．
20．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（Ⅰ）当x为何值时，AP、ND长度相等？
（Ⅱ）当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？
（Ⅲ）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
21．定义：点P是四边形ABCD内一点，若三角形△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，则称点P是四边形ABCD的一个“准中心”，如，正方形的中心就是它的一个“准中心”．
（1）如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，且∠PBC＝∠PCB＝60°，证明点P是正四边形ABCD的一个“准中心”；
（2）填空：正方形ABCD共有　 　个“准中心”；
（3）已知∠BAD＝60°，AB＝AD＝6，点C是∠BAD平分线上的动点，问在四边形ABCD的对角线AC上最多存在几个“准中心”点P（自行画出示意图），并求出每个“准中心”点P对应线段AC的长（精确到个位）．
22．如图，false四个小球分别从正方形的四个顶点false处出发（小球的大小忽略不计），以同样的速度分别沿false方向滚动，其终点分别是点false，顺次连接四个小球所在的位置，得到四边形false．
（1）不论小球滚动多长时间，求证；四边形false总是正方形；
（2）这个四边形在什么时候面积最大？
（3）在什么时侯四边形false的面积为正方形false面积的一半？请说明理由．
23．如图，点false是正方形false边false.上一点，连接false，作false于点false，false于点false，连接false.
（1）求证:false;
（2）己知false，四边形false的面积为false，求false的值.
【参考答案】
1．C 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．D 8．D 9．C 10．C
11．25
12．3
13．false
14．false
15．false
16．（1）在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90false，AB＝AD＝CD．
∵EA＝ED＝FD＝FC，
在△AED和△DFC中，
false，
∴△AED≌△DFC（SSS），
∴∠EAD＝∠FDC．
∴∠BAD＋∠EAD＝∠ADC＋∠FDC．
即∠BAE＝∠ADF．
在△BAE和△ADF中，
false，
∴△BAE≌△ADF（SAS）
∴AF＝BE，
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠DAF＋∠BAF＝90false，
∴∠ABE＋∠BAF＝90false，
∴∠AMB＝90false，
∴AF⊥BE．
故AF＝BE，AF⊥BE．
（2）所画图形如图，AF＝BE，AF⊥BE理由如下：
在△AED和△DFC中，
false，
∴△AED≌△DFC（SSS），
∴∠EAD＝∠FDC．
∴∠BAD＋∠EAD＝∠ADC＋∠FDC．即∠BAE＝∠ADF．
在△BAE和△ADF中，false ，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF＝BE，
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠DAF＋∠BAF＝90false，
∴∠ABE＋∠BAF＝90false，
∴∠AMB＝90false，
∴AF⊥BE．
故AF＝BE，AF⊥BE．
17．(1)∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∵AD=CD=BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=BD，
∴AD=AF；
(2)①当∠ACB=45°时，四边形ADCF为正方形；
∵AD=AF，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是菱形，
要使四边形ADCF是正方形，
则∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠ACF=45°；
②当∠ACB=30°时，四边形ABDF为菱形；
由(1)得AF=BD，AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
要使四边形ABDF为菱形，
∴AB=BD，
又∵AD =BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ACB=30°．
故答案为：45，30．
18．证明：（1）如图1，延长false交false于点false，
false 四边形false与四边形false是正方形，
false
在false与false中，
false，
false，
false，
false中，false
false
false中，false
false
false
（2）false
理由是：如图2，∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
false
false，即false，
在false和false中，
false，
false
false
false
false
故答案为：false．
19．(1)∵false，false，
∴false，false，
答：正方形false和正方形false的边长分别是false和false；
(2)∵false，
∴false；
∴false；
又false，
∴false
falsefalse；
∵false，
false，false，
false，
∴false
false
false．
答：阴影部分的面积和周长分别是false和false．
20．(Ⅰ)∵false，
∴AP=ND时，即false，
解得：false或false(舍去)，
∴当false为2时，AP、ND长度相等；
(Ⅱ)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形，
①当点P与点N重合时，
由题意得：false，
解得：false (舍去)，
∵false，此时点Q与点M不重合，
∴false符合题意；
②当点Q与点M重合时，
由题意得：false，
解得：false，
此时false，不符合题意，
∴点Q与点M不能重合．
综上所述，所求false的值为：false；
(Ⅲ)∵当N点到达A点时，false，此时M点和Q点还未相遇，
∴点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，如图1所示：
由题意得：false，
解得：false (舍去)，false，
当false时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，如图2所示：
由题意得：false，
解得：false(舍去)，false，
当false时，四边形NQMP是平行四边形；
综上所述，当false或false时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
21．（1）∵ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD，
又∵∠PBC＝∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝60°，
∴PB＝PC＝BC＝AB＝CD，
∴PA＝PD，
∴△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，
∴点P是正方形ABCD的一个“准中心”．
（2）由（1）可知正方形ABCD有4个这样的“准中心”，再加上对角线的交点，即为5个“准中心”，
故答案为：5；
（3）在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；
①如图1，当PA＝PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，
∵∠BAD＝60°，点C是∠BAD平分线上，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BPC＝60°，∠ABC＝90°，
则AC＝false．
②如图2，当PA＝BA＝DA，PB＝PC＝PD时，点P是“准中心”点，
则PA＝6，
∵∠BAD＝60°，点C是∠BAD平分线上，
∴∠BAC＝30°，
∴∠APB＝75°，
∴∠PCB＝false＝37.5°，
作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，BE＝falseAB＝3，AE＝ABfalse，
在Rt△CEB中，CE＝false，
∴AC＝AE+CE＝false．
③如图3，当AB＝PB＝PC＝PD＝AD时，点P是“准中心”点，
此时四边形ABPD是菱形，连接BD，
则PA＝2AE＝2AB?cos30°＝false，
∴AC＝PA+PC＝false．
综上，在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；AC长为4false或9或16．
22．解：（1）根据题意得false．
∵四边形false是正方形，
∴false°，
∴false．
∵在false和false中，
false，
∴false，
∴false，
∴四边形false为菱形，
∴false，
∴false，
∴四边形false为正方形．
（2）根据题意得当false在即将出发或到达终点时面积最大，此时false．
（3）当false分别在false的中点时，四边形false的面积为正方形false面积的一半.
理由如下：
设正方形false的边长为false，
则根据题意知false．
在false中，false．
由勾股定理，得false，
即false，解得false，
同理可得false．
∴当false四个小球分别在正方形false各边的中点时，四边形false的面积为正方形false面积的一半．
23．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DEA中
false，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
∵四边形ABED的面积为24，
∴false?x?x+false?x?2=24，
解得x1=6，x2=﹣8（舍去），
∴EF=x﹣2=4，
在Rt△BEF中，BE=false=2false，
∴false=false