2020-2021学年苏科 版数学九年级下册5.5 用二次函数解决问题 专项提升训练（word版含答案）

【用二次函数解决问题】专项提升训练
一．选择题
1．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5
2．已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣1
3．关于二次函数y＝（x+2）2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．最低点是A（2，0）
C．对称轴是直线x＝2
D．对称轴的右侧部分y随x的增大而增大
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（　　）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t＜8 B．﹣1≤t＜15 C．﹣1≤t＜8 D．8＜t＜15
9．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
10．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
二．填空题
11．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝96t﹣1.2t2，那么飞机着陆后　 　秒停下．
12．一个球从地面上竖直向上弹起时，距离地面的高度h（米）与经过的时间t（秒）满足的函数关系为h＝15t﹣5t2，则该球从弹起至回到地面的时间需　 　秒，它距离地面的最大高度为　 　米．
13．某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式是　 　．
14．如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面宽度增加　 　米．
15．在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△BEF的面积为y，则y与x函数关系式为　 　．
三．解答题
16．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？
17．某单位为响应市“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）当矩形ABCD空地的面积最大时，利用的墙长是多少m；并求此时的最大面积．
18．某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数y（辆）与定价x（元）（x取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？最大获利多少？
19．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
2．解：∵函数y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，
∴该函数图象开口向上，当x＝﹣是，该函数取得最小值﹣，当y＝1时，x1＝﹣2，x2＝1，
∵当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，
∴
解得﹣2≤m≤﹣1，
故选：B．
3．解：∵二次函数y＝（x+2）2，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
函数图象有最低点（﹣2，0），故选项B错误；
对称轴是直线x＝﹣2，故选项C错误；
对称轴的右侧部分y随x的增大而增大，故选项D正确；
故选：D．
4．解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，
9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0，
抛物线开口向下，a＜0，b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以，abc＞0，因此①正确；
由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
所以6a+c＝0，又a＜0，
因此3a+c＞0，所以②正确；
抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，所以③不正确；
由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确；
抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），
因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：B．
5．解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故②正确；
③∵对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个，
故③正确；
④∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故④正确；
综上所述，正确的结论是②③④共3个．
故选：C．
6．解：观察图象可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，
∵A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
故A，B，C正确，
∵当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小，
∴选项D错误．
故选：D．
7．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．
故选：C．
8．解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，解得b＝﹣2，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0变形为x2﹣2x﹣t＝0，
把关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜4的范围内有实数根转化为抛物线y＝x2﹣2x﹣t（t为实数）在﹣3＜x＜4的范围与x轴有交点（如图），
∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣t）≥0且x＝﹣3时，y＞0，即9+6﹣t＞0，
解得﹣1≤t＜15．
故选：B．
9．解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．
故选：C．
另一解法：∵a≠b，
∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，
∴M＝2，
又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，
而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，
∴N≤2，
∴N≤M，
∴不可能有M＝N﹣1，
故排除A、B、D，
故选：C．
10．解：设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
二．填空题
11．解：s＝96t﹣1.2t2，
当t＝﹣＝＝40（秒）时，s将取到最大值，
即飞机着陆后40秒停下．
故答案为：40．
12．解：在h＝15t﹣5t2中，令h＝0得：
15t﹣5t2＝0，
∴5t（3﹣t）＝0，
∴t1＝0，t2＝3，
∴该球从弹起至回到地面的时间需3﹣0＝3(秒)；
∵h＝15t﹣5t2
＝﹣5（t﹣）2+，
∴当t＝时，h有最大值，即它距离地面的最大高度为米．
故答案为：3，．
13．解：由题意可得，
y＝100（1+x）2，
故答案为：y＝100（1+x）2．
14．解：建立平面直角坐标系如图所示：
则抛物线顶点C的坐标为（0，2），
设抛物线的解析式为y＝ax2+2，
将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2，
解得：a＝﹣，
故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2，
当水面下降2米，即当y＝﹣2时，求对应的抛物线上两点之间的距离，
也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
将y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2＝﹣x2+2，
解得：x＝±2，
所以水面宽度为4米，
故水面宽度增加了（4﹣4）米，
故答案为：4﹣4．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝BD＝，
①当P在OB上时，即0≤x≤，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BP：OB，
∴EF＝2BP＝2x，
∴y＝EF?BP＝×2x×x＝x2；
②当P在OD上时，即＜x≤2，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC＝DP：OD，
即EF：2＝（2﹣x）：，
∴EF＝2（2﹣x），
∴y＝EF?BP＝×2（2﹣x）×x＝﹣x2+2x，
综上所述，y＝．
故答案为：y＝．
三．解答题
16．解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：
y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）
＝﹣2x2+400x+25000
∵每件售价不能高于240元
∴130+x≤240
∴x≤110
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x为正整数．
（2）∵y＝﹣2x2+400x+25000
＝﹣2（x﹣100）2+45000
∴当x＝100时，y有最大值45000元．
∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元．
（3）令y＝40000，得：
﹣2x2+400x+25000＝40000
解得：x1＝50，x2＝150
∵0＜x≤110
∴x＝50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；
由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．
∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．
17．解：（1）y＝x（36﹣2x）
＝﹣2x2+36x，
∵0＜36﹣2x≤18，
∴9≤x＜18．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）；
（2）由题意得：﹣2x2+36x＝160m2，
解得x1＝8，x2＝10，
∵9≤x＜18，
∴x1＝8不符合题意，
∴x＝10；
（3）∵y＝﹣2x2+36x
＝﹣2（x﹣9）2+162，
∴当x＝9时，y有最大值162．
∴墙长36﹣2x＝36﹣18＝18（m），
∴矩形ABCD空地的面积最大为162m2时，利用的墙长是18m．
18．解：（1）设y与x的一次函数式为y＝kx+b，由题意可知：
，解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣3x+105；
（2）设汽车美容店每天获利润为w元，由题意得：
w＝xy﹣200
＝x（﹣3x+105）﹣200
＝﹣3（x﹣17.5）2﹣718.75，
∵15≤x≤50，且x为整数，
∴当x＝17或18时，w最大＝718（元）．
∴定价为17元或18元时，该汽车清洗店每天获利最大，最大获利是718元．
19．解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．
如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．
∵O与O′关于直线BC对称，
∴PO＝PO′，
∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．
设直线AO′的解析式为y＝kx+m，
将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，
解得：，
∴直线AO′的解析式为y＝x+．
联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，
解得：，
∴点P的坐标为（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴点D的坐标为（2，8）．
又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），
∴CD＝＝2，BC═＝6，BD═＝4，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，
∴＝＝2，．
又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，
∴△AOC∽△DCB，
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴于点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽DCB，
∴，即，
∴AQ＝20，
∴点Q的坐标为（18，0）．
综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．
20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD上x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBC＝×2×3＝3．
∴△PBC的面积为3；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．
过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；
过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1C∥BP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．