2020-2021学年苏科版数学九年级下册5.5用二 次函数解决问题 专项提升训练(一）（word版含答案）

【用二次函数解决问题】专项提升训练(一）
一．选择题
1．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝7.9（1+2x）
B．y＝7.9（1﹣x）2
C．y＝7.9（1+x）2
D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）2
2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（　　）
A．1m
B．2m
C．m
D．m
3．某文学书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价x元后，每星期售出此文学书的销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为（　　）
A．y＝（30﹣x）（200+10x）
B．y＝（30﹣x）（200+5x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣10x）
D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）
4．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　）
A．23.5m
B．22.5m
C．21.5m
D．20.5m
5．今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（　　）
A．y＝5000（1+x）
B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2）
D．y＝5000（1+2x）
6．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）
A．3.50分钟
B．4.05分钟
C．3.75分钟
D．4.25分钟
7．如图所示，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数关系
B．一次函数关系
C．二次函数关系
D．反比例函数关系
8．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（　　）
A．2m
B．4m
C．4
m
D．4m
9．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（　　）
A．h＜1
B．h＝1
C．1＜h＜2
D．h＞2
10．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s
B．4s
C．5s
D．6s
二．填空题
11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么该运动员的铅球投掷成绩为　
　米．
12．中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是　
　．
13．如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是　
　米．
14．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5m，1.5m．若该墙的长度为12m，则最多可以连续绘制　
　个这样的抛物线型图案．
15．在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s＝5t2+2t，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为　
　秒．
三．解答题
16．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求运动员落水点与点C的距离．
17．某水果批发商经销一种水果，进货价是12元/千克，如果销售价定为22元/千克，每日可售出500千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若要每天销售盈利恰好为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
（2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？
18．如图，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在原点O处击球，目标是离击球点10米远的球洞，球的飞行路线是一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2米（击球点、落地点、球洞三点共线），球在空中最高处达3.2米．
（1）求表示球飞行的高度y（单位：米）与表示球飞出的水平距离x（单位：米）之间的函数关系式；
（2）当球的飞行高度不低于3米时，求x的取值范围．
19．某商场以每个80元的价格进了一批玩具，当售价为120元时，商场平均每天可售出20个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元．
（1）降价后商场平均每天可售出　
　个玩具；
（2）求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
20．已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
参考答案
一．选择题
1．解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．
故选：C．
2．解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，
解得x＝±1，
此时水面的宽度为2m，
故选：B．
3．解：设每本书降价x元，则每星期可售出（200+×10）＝（200+5x）本，
∴每星期售出此文学书的销售额y＝（30﹣x）（200+5x）．
故选：B．
4．解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
5．解：该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．
故选：B．
6．解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
7．解：设矩形的一边长为xm，则另一边的长为（2÷2﹣x）m，令矩形的面积为ym2，由题意得：
y＝x（2÷2﹣x）
＝x（1﹣x）
＝﹣x2+x，
∴矩形的面积与其一边满足的函数关系是y＝﹣x2+x，即满足二次函数关系．
故选：C．
8．解：根据题意，得
OA＝12，OC＝4．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即﹣＝＝6，
∴b＝2，
∵C（0，4），
∴c＝4，
所以抛物线解析式为：
y＝﹣x2+2x+4
＝﹣（x﹣6）2+10
当y＝8时，
8＝﹣（x﹣6）2+10，
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．
则x1﹣x2＝4．
所以两排灯的水平距离最小是4．
故选：D．
9．解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，
可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）
则因斜边上的高为h，
故：h＝b﹣a2，
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴得CD＝
∴＝，方程两边平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2
即h＝（﹣h）2
因h＞0，得h＝1，是个定值．
故选：B．
10．解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t＝﹣＝＝6（s），
故选：D．
二．填空题
11．解：令＝0，
解得x＝10或﹣2（舍去﹣2），
故答案为10．
12．解：由题意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），
设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，
则0＝62500a﹣100，
解得：a＝，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．
故答案为：y＝x2﹣100．
13．解：∵h＝﹣（t﹣6）2+5为开口向下的抛物线，
∴当t＝6时，h最大＝5．
故答案为：5．
14．解：以点O为原点，建立如下坐标系，
由函数的图象知，点B、C的纵坐标相同，其横坐标分别为x＝0.5和x＝1.5，
故函数的对称轴为x＝（0.5+1.5）＝1，
设第一个图案与x轴交点为D，则OD＝2，
则12÷2＝6，
故最多可以连续绘制6个这样的抛物线型图案，
故答案为6．
15．解：把s＝88代入s＝5t2+2t得：
5t2+2t＝88．
解得t1＝4，t2＝﹣4.4（舍去），
即t＝4秒．
故答案为：4．
三．解答题
16．解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，
将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+4，
∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2+4，
解得：x1＝1，x2＝5，
∵起跳点A坐标为（2，3），
∴x1＝1，不符合题意，
∴x＝5，
∴运动员落水点与点C的距离为5米．
17．解：（1）设每千克应涨价为x元，由题意得：
（22﹣12+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
∵要使顾客得到实惠，
∴x＝5．
∴每千克应涨价5元．
（2）设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得：
w＝（a﹣12）[500﹣20（a﹣22）]
＝﹣20a2+1180a﹣11280
＝﹣20+6125，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当a＝时，w有最大值为6125．
∴当销售价是时，每天的盈利最多，最多是6125元．
18．解：（1）由题意可知，点（0，0），（8，0）在抛物线上，
∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax（x﹣8），
将（4，3.2）代入得：3.2＝a×4×（4﹣8），
解得：a＝﹣0.2，
∴y＝﹣0.2x（x﹣8）
＝﹣0.2x2+1.6，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6；
（2）令y＝3得：
3＝﹣0.2x2+1.6，
∴x2﹣8x+15＝0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，
解得：x1＝3，x2＝5，
∴当球的飞行高度不低于3米时，3≤x≤5．
19．解：（1）降价后商场平均每天可售出玩具数量为：20+2x；
（2）由题意得y＝（120﹣x﹣80）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800，其中，x的取值范围是0＜x≤40；
（3）y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250（0＜x≤40），
∴当x＝15时，y有最大值1250．
此时玩具的售价为120﹣15＝105（元）．
∴该商场将每个玩具的售价定为105元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
故答案为：（1）20+2x．
20．解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A（0，10），点B（5，0），
∵BC＝4，
∴点C（9，0）或点C（1，0），
∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
∴当x≥5时，y随x的增大而增大，
当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，
当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），
∴10＝5a，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝2x2﹣12x+10；
（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），
∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，
假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（xP，yP），
∴
解得：n＝10，
∵n＝10与已知n≠10矛盾，
∴l1与l2不相交，
∴l2∥l1；
（3）如图，
、
∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，
∴0＝﹣2×1+q，
∴q＝2，
∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2，
∴l3∥l1，
∴CF∥AB，
∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，
∴△CEF∽△BEA，
∴＝（）2，
设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，
∴S△ABE＝×t×10＝5t，
∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，
∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40，
∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．