2.2.3独立重复试验与二项分布 学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3第二章
文档属性
| 名称 | 2.2.3独立重复试验与二项分布 学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-3第二章 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 221.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-29 09:21:52 | ||
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文档简介
2．2.3 独立重复试验与二项分布
内 容 标 准 学 科 素 养
1.理解n次独立重复试验的模型． 2.理解二项分布(重、难点).
3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题. 利用数学抽象
提升数学建模
和数学运算
授课提示：对应学生用书第36页
[基础认识]
知识点一 独立重复试验
(1)观察下面的试验，分析它们有什么共同特点？
①重复抛掷质地均匀的硬币10次，观察是否出现正面向上．
②重复抛一颗骰子10次观察是否出现1点．
③姚明罚球一次命中的概率为0.8，他在练习罚球时，投篮4次恰好全部命中．
提示：①每次试验是在同样的条件下重复进行的；
②各次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验都只有两种结果，发生与不发生；
④每次试验某事件发生的概率是相同的．
(2)投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q＝1－p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？出现2次针尖向上呢？3次呢？
提示：连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验．用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，用B1表示事件“仅出现1次针尖向上”，则B1＝(A123)∪(1A23)∪(1 2A3)．由于事件A12 3，1A23和1 2A3彼此互斥，由概率加法公式得P(B1)＝P(A12 3)＋P(1A23)＋P(1 2A3)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.因此，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是3q2p.
用B2表示事件“出现2次针尖向上”．
则P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)
＝p2q＋p2q＋p2q＝3p2q，
P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3.
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“连续掷一枚图钉3次，出现k次针尖向上”．可以发现P(Bk)＝Cpkq3－k(k＝0、1、2、3).
知识梳理 1.独立重复实验的定义
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验．
2．独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
知识点二 二项分布
知识梳理 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
思考 二项分布与两点分布有何关系？
提示：两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式．
[自我检测]
1．有以下试验：
①掷一枚质地均匀的硬币5次；
②某人连续投篮3次；
③袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，不放回地从中摸3次；
④袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，有放回地摸3次．
其中为独立重复试验的是________．(只填序号)
答案：①②④
2．将一枚质地均匀的硬币掷5次，恰好有3次正面朝上的概率为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第37页
探究一 独立重复试验的判断
[阅读教材P58练习1]生产一种产品共需5道工序，其中1至5道工序的生产合格率分别为96%,99%,98%,97%,96%.现从成品中任意抽取1件，抽到合格品的概率是多少？
解析：各道工序都合格等价于产品是合格品，这5道工序是相互独立的．
因此抽到合格品的概率为P＝P1×P2×P3×P4×P5＝96%×99%×98%×97%×96%＝0.867.
[例1] 判断下列试验是不是独立重复试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
[解析] (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．
方法技巧 独立重复试验的判断依据
(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
跟踪探究 1.下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．
其中是独立重复试验的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．
答案：D
探究二 独立重复试验的概率
[阅读教材P57例4]某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，
(1)恰有8次击中目标的概率；
(2)至少有8次击中目标的概率．
(结果保留两个有效数字)
题型：独立重复试验的概率
方法步骤：(1)先确定该试验是独立重复试验；
(2)由独立重复试验中概率的计算公式P(A)＝Cpk(1－p)n－k得出所求事件的概率．
[例2] 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立)．
(1)求至少3人同时上网的概率；
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.
[解析] (1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即p＝1－C×(0.5)6－C×(0.5)1×(0.5)5－C×(0.5)2×(0.5)4＝.
(2)至少4人同时上网的概率为
C×(0.5)4×(0.5)2＋C×(0.5)5×(0.5)1＋C×(0.5)6＝＞0.3.
至少5人同时上网的概率为
C×(0.5)5×(0.5)1＋C×(0.5)6＝＜0.3.
∴至少5人同时上网的概率小于0.3.
方法技巧 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点
(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；
(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并集．
(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．
跟踪探究 2.甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．
(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？
(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？
解析：(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P＝2＋C×××＝.
(2)甲前三局胜；或甲第四局胜，而前三局仅胜两局；或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则
P＝3＋C×2××＋C×2×2×＝.
探究三 二项分布
[阅读教材P58练习2]将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数X的分布列．
解析：由题意得X～B(5，)．
∴P(X＝0)＝C()5＝，
P(X＝1)＝C5＝，
P(X＝2)＝C5＝＝，
P(X＝3)＝C5＝＝，
P(X＝4)＝C5＝，
P(X＝5)＝C5＝.
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P
[例3] 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
[解析] (1)由题意，得随机变量X可能取值为0,1,2,3，
则X～B.
即P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C3＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝C3×3×＝.
方法技巧 1.当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪探究 3.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
解析：由题意可知X～B，
所以P(X＝k)＝Ck·3－k，
k＝0,1,2,3.
即P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
授课提示：对应学生用书第38页
[课后小结]
(1)独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
(2)如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式．
[素养培优]
二项分布与超几何分布的关系
(1)从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数ξ的分布列．
解析：由题意得ξ＝0,1,2,3.ξ服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．
P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝.
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
(2)甲、乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0,1,2,3则甲赢，若最后一位出现6,7,8,9则乙赢，若最后一位出现4,5是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的分布列．
解析：由题意得X＝0,1,2,3.
P(X＝0)＝C×0.63＝0.216，
P(X＝1)＝C×0.4×0.62＝0.432，
P(X＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288，
P(X＝3)＝C×0.43＝0.064.
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
点评 超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点．课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的．而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型．若将超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是废品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化．
超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解．在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的．下面通过例子说明一下两者的区别．
内 容 标 准 学 科 素 养
1.理解n次独立重复试验的模型． 2.理解二项分布(重、难点).
3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题. 利用数学抽象
提升数学建模
和数学运算
授课提示：对应学生用书第36页
[基础认识]
知识点一 独立重复试验
(1)观察下面的试验，分析它们有什么共同特点？
①重复抛掷质地均匀的硬币10次，观察是否出现正面向上．
②重复抛一颗骰子10次观察是否出现1点．
③姚明罚球一次命中的概率为0.8，他在练习罚球时，投篮4次恰好全部命中．
提示：①每次试验是在同样的条件下重复进行的；
②各次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验都只有两种结果，发生与不发生；
④每次试验某事件发生的概率是相同的．
(2)投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q＝1－p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？出现2次针尖向上呢？3次呢？
提示：连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验．用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，用B1表示事件“仅出现1次针尖向上”，则B1＝(A123)∪(1A23)∪(1 2A3)．由于事件A12 3，1A23和1 2A3彼此互斥，由概率加法公式得P(B1)＝P(A12 3)＋P(1A23)＋P(1 2A3)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.因此，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是3q2p.
用B2表示事件“出现2次针尖向上”．
则P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)
＝p2q＋p2q＋p2q＝3p2q，
P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3.
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“连续掷一枚图钉3次，出现k次针尖向上”．可以发现P(Bk)＝Cpkq3－k(k＝0、1、2、3).
知识梳理 1.独立重复实验的定义
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验．
2．独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
知识点二 二项分布
知识梳理 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
思考 二项分布与两点分布有何关系？
提示：两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式．
[自我检测]
1．有以下试验：
①掷一枚质地均匀的硬币5次；
②某人连续投篮3次；
③袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，不放回地从中摸3次；
④袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，有放回地摸3次．
其中为独立重复试验的是________．(只填序号)
答案：①②④
2．将一枚质地均匀的硬币掷5次，恰好有3次正面朝上的概率为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第37页
探究一 独立重复试验的判断
[阅读教材P58练习1]生产一种产品共需5道工序，其中1至5道工序的生产合格率分别为96%,99%,98%,97%,96%.现从成品中任意抽取1件，抽到合格品的概率是多少？
解析：各道工序都合格等价于产品是合格品，这5道工序是相互独立的．
因此抽到合格品的概率为P＝P1×P2×P3×P4×P5＝96%×99%×98%×97%×96%＝0.867.
[例1] 判断下列试验是不是独立重复试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
[解析] (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．
方法技巧 独立重复试验的判断依据
(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
跟踪探究 1.下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．
其中是独立重复试验的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．
答案：D
探究二 独立重复试验的概率
[阅读教材P57例4]某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，
(1)恰有8次击中目标的概率；
(2)至少有8次击中目标的概率．
(结果保留两个有效数字)
题型：独立重复试验的概率
方法步骤：(1)先确定该试验是独立重复试验；
(2)由独立重复试验中概率的计算公式P(A)＝Cpk(1－p)n－k得出所求事件的概率．
[例2] 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立)．
(1)求至少3人同时上网的概率；
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.
[解析] (1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即p＝1－C×(0.5)6－C×(0.5)1×(0.5)5－C×(0.5)2×(0.5)4＝.
(2)至少4人同时上网的概率为
C×(0.5)4×(0.5)2＋C×(0.5)5×(0.5)1＋C×(0.5)6＝＞0.3.
至少5人同时上网的概率为
C×(0.5)5×(0.5)1＋C×(0.5)6＝＜0.3.
∴至少5人同时上网的概率小于0.3.
方法技巧 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点
(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；
(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并集．
(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．
跟踪探究 2.甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．
(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？
(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？
解析：(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P＝2＋C×××＝.
(2)甲前三局胜；或甲第四局胜，而前三局仅胜两局；或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则
P＝3＋C×2××＋C×2×2×＝.
探究三 二项分布
[阅读教材P58练习2]将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数X的分布列．
解析：由题意得X～B(5，)．
∴P(X＝0)＝C()5＝，
P(X＝1)＝C5＝，
P(X＝2)＝C5＝＝，
P(X＝3)＝C5＝＝，
P(X＝4)＝C5＝，
P(X＝5)＝C5＝.
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P
[例3] 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
[解析] (1)由题意，得随机变量X可能取值为0,1,2,3，
则X～B.
即P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C3＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝C3×3×＝.
方法技巧 1.当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪探究 3.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
解析：由题意可知X～B，
所以P(X＝k)＝Ck·3－k，
k＝0,1,2,3.
即P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
授课提示：对应学生用书第38页
[课后小结]
(1)独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
(2)如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式．
[素养培优]
二项分布与超几何分布的关系
(1)从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数ξ的分布列．
解析：由题意得ξ＝0,1,2,3.ξ服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．
P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝.
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
(2)甲、乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0,1,2,3则甲赢，若最后一位出现6,7,8,9则乙赢，若最后一位出现4,5是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的分布列．
解析：由题意得X＝0,1,2,3.
P(X＝0)＝C×0.63＝0.216，
P(X＝1)＝C×0.4×0.62＝0.432，
P(X＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288，
P(X＝3)＝C×0.43＝0.064.
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
点评 超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点．课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的．而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型．若将超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是废品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化．
超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解．在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的．下面通过例子说明一下两者的区别．