北师大版初中数学七年级下第二章相交线与平行线同步试卷（word版含解析）

北师大版初中数学七年级下第二章同步试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题（共10题；共30分）
1. ( 3分 ) 如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90° ，以其三边为边向外作正方形，过点 C 作 CR⊥FG 于点 R ，再过点 C 作 PQ⊥CR 分别交边 DE ， BH 于点 P ， Q .若 QH=2PE ， PQ=15 ，则 CR 的长为 ( ?? )
A.?14???????????????????????????????????????B.?15???????????????????????????????????????C.?83???????????????????????????????????????D.?65
2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝ 46 ，则PE+PF的长是（?? ）
A.?46??????????????????????????????????????B.?42??????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????D.?26
3. ( 3分 ) 如图，四边形ABCD内接于?O，连结对角线AC与BD交于点E，且BD为?O的直径，已知∠BDC=40°，∠AEB=110°，则∠ABC=(???? )
A.?65°???????????????????????????????????????B.?70°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?80°
4. ( 3分 ) 如图，下列说法错误的是（? ）
A.?若 a//b,b//c ，则 a//c?????????????????????????????????B.?若 ∠1=∠2 ，则 a//c
C.?若 ∠2=∠3 ，则 b//c???????????????????????????????????D.?若 ∠1+∠5=180° ，则 d//e
5. ( 3分 ) 如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（?? ）
A.?60°???????????????????????????????????????B.?64°???????????????????????????????????????C.?42°???????????????????????????????????????D.?52°
6. ( 3分 ) 下列说法中：
①若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直；②若 AC=BC ，则 C 是线段 AB 的中点；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④两点确定一条直线.其中说法正确的个数（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
7. ( 3分 ) 如图所示，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2h后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(?????? )
A.?40海里???????????????????????????????B.?60海里???????????????????????????????C.?70海里???????????????????????????????D.?80海里
8. ( 3分 ) 如图所示，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论:①AD平分∠CDE；②∠BAC = ∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC = 4BE，则S△ABC = 8S△BDE.其中正确的有（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
9. ( 3分 ) 下列命题中，是假命题的是（?? ）
A.?对顶角相等
B.?同旁内角互补
C.?全等三角形的对应边相等
D.?角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
10. ( 3分 ) 如图，A、O、B在同一直线上，且 ∠AOC=∠BOC=∠EOF=90° ，则 ∠AOE 的余角有（?? ）

A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题（共9题；共10分）
11. ( 2分 ) 在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF＝ 54 ∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝________.
12. ( 1分 ) 如图所示是一个 3×3 的正方形，则 ∠1+∠2+∠3+?+∠9= ________.
13. ( 1分 ) 已知 ∠α=68°42' .则 ∠α 的余角为________.
14. ( 1分 ) 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是________m.
15. ( 1分 ) 如图，a//b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=________.
16. ( 1分 ) 如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为________.
17. ( 1分 ) 已知∠α的余角等于58°26′，则∠α=________
18. ( 1分 ) 若 ∠α 的余角是 38°15' ，则 ∠a 的补角为________ °.
19. ( 1分 ) 已知 α=50° ，则它的余角与补角的度数和等于________ ° .
三、解答题（共5题；共25分）
20. ( 5分 ) 如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长.
21. ( 5分 ) 如图，已知∠A=∠C，AB∥CD.那么∠E与∠F相等吗？请说明理由.
22. ( 5分 ) 如图，点 B 、 F 、 E 、 C 在同一条直线上， AB // CD ， AB=CD ， BF=CE ，求证：△ ABE ≌△ DCF
23. ( 5分 ) 如图，AD平分∠BAC，点E，F分别在边BC，AB上，且∠BFE=∠DAC，延长EF，CA交于点G，
求证：∠G=∠AFG.
24. ( 5分 ) 已知一个角的余角比这个角的补角的一半还少 18° ，求这个角及它的余角 ( 用方程做 ) .
四、作图题（共2题；共10分）
25. ( 5分 ) 如图， P 是 ∠ABC 内一点，点 Q 在AB上，按要求完成下列问题：
（ 1 ）过点 P 作 AB 的垂线，垂足为点D；
（ 2 ）过点 P 作 BC 的平行线，交AB于点E；
（ 3 ）比较线段 PD 和 PE 的大小，并说明理由.
26. ( 5分 ) 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点 A,B,C 都在格点上.
（ 1 ）找一格点 D ，使得直线 CD//AB ，画出直线 CD ；
（ 2 ）找一格点 E ，使得直线 AE⊥BC 于点 F ，画出直线 AE ，并注明垂足 F .
五、综合题（共4题；共45分）
27. ( 15分 ) 如图，在四边形 ABCD 中， ∠A=∠C=90° ， DE ， BF 分别平分 ∠ADC ， ∠ABC ，并交线段 AB ， CD 于点 E ， F （点 E ， B 不重合）.在线段 BF 上取点 M ， N （点 M 在 BN 之间），使 BM=2FN .当点 P 从点 D 匀速运动到点 E 时，点 Q 恰好从点 M 匀速运动到点 N .记 QN=x ， PD=y ，已知 y=?65x+12 ，当 Q 为 BF 中点时， y=245 .
（1）判断 DE 与 BF 的位置关系，并说明理由.
（2）求 DE ， BF 的长.
（3）若 AD=6 .
①当 DP=DF 时，通过计算比较 BE 与 BQ 的大小关系.
②连结 PQ ，当 PQ 所在直线经过四边形 ABCD 的一个顶点时，求所有满足条件的的值.
28. ( 10分 ) 如图，在四边形 ABCD 中， AE,BE 分别平分 ∠BAD 和 ∠ABC ，点 E 在 CD 上， ∠1+∠2=90°
（1）完成下面的说理过程解：
解： ∵AE平分∠BAD （已知）,
∴∠BAD=2∠1 （???????????????? ）,
∵BE平分∠ABC （已知）,
∴∠ABC=2∠2 （???????????????? ）,
∴∠BAD+∠ABC=2∠1+2∠2 （???????????????? ）,
∵∠1+∠2=90° （已知）,
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴AD//BC （???????????????? ）.
（2）若 AE 平分 ∠DEF ，试说明 BE 平分 ∠CEF .
29. ( 10分 ) 如图，已知 ∠AOC=2∠BOC ， ∠AOC 的余角比 ∠BOC 小 30° .
?
（1）求 ∠AOB 的度数；
（2）过点O作射线OD，使得 ∠AOC=4∠AOD ，请你求出 ∠COD 的度数.
30. ( 10分 ) 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ∠BOC ， ∠FOD=90°

（1）若 ∠AOF=50° ，求 ∠BOE 的度数；
（2）若 ∠BOD ： ∠BOE=1 ：4，求 ∠AOF 的度数.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J.

∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°.
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP=∠CHQ.
∵∠ECP=∠HCQ，
∴△ECP∽△HCQ，
∴PCCQ=CECH=EPHQ=12.
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10.
∵EC:CH=1:2，
∴AC:BC=1:2，设AC=a，BC=2a.
∵PQ⊥CR，?CR⊥AB，
∴CQ∥AB.
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10.
∵AC2+BC2=AB2 ，
∴5a2=100，
∴a=25 ，
∴AC=25 ， BC=45.
∵12·AC·BC=12·AB·CJ，
∴CJ=25×4510=4.
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14.
故答案为：A.
【分析】连接EC，CH．设AB交CR于J，利用正方形的性质，易证∠ACE=45°，∠ACB=∠BCI=90°，据此证明△ECP∽△HCQ，利用相似三角形对应边成比例可得PC、CQ的长，由EC:CH=1:2，推出AC:BC=1:2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2 ， 构建方程求出a即可解决问题.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：作PM⊥AC于点M，连接PD，则四边形AEPM为矩形，PE=AM.

∵DB=DC，
∴∠B=∠DCB.
∵PM⊥AC， AB⊥AC，
∴PM∥AB，
∴∠B=∠MPC，
∴∠DCB=∠MPC..
∵PC=PC，∠PFC=∠PMC=90°，∠DCB=∠MPC，
∴△PFC≌△CMP（AAS），
∴PF=CM，
∴PE+PF=AM+CM=AC.
∵AD:DB=1:3， 设AD=x，DB=3x，则CD=3x，AC=22x，BC=26x.
∵BC=46?，
∴x=2，
∴PE+PF=AC=22×2=42.
故答案为：B.
【分析】作PM⊥AC于点M，连接PD，可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，然后设AD=x，表示出DB、CD、AC、BC，由BC=46?可得x的值，进而可求出PE+PF的值.
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵∠BDC和∠BAC所对的弧都是BC弧，
∴∠BDC=∠BAC=40°，
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-110°=30°，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠CBD=90°-∠BCD=90°-40°=50°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+50°=80°，
故答案为：D.

【分析】根据圆周角定理，结合三角形内角和定理求出∠BAC的大小，然后根据直径所对的圆周角是直角，结合余角的性质求出∠CBD，最后根据角的和差关系求∠ABC即可.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解： ?A、若?a//b,b//c? ， ∵在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，则?a//c?，正确；
B、若∠1=∠2? ， 利用内错角相等，两直线平行可得?a//c?，正确；
C、若∠2=∠3?，利用利用同位角相等，两直线平行可得?d∥e??，错误；
D、若?∠1+∠5=180°? ， 利用同旁内角互补，两直线平行可得d//e ， 正确；
故答案为：C.

【分析】在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，对A作出判断；分别根据平行线的性质定理可得BCD作出判断.
5.【答案】 B
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，且∠ABC=58°，
∴∠BAD=122°，
∵将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，
∴∠BAD=∠BAD'=122°，
∴∠1=122°-58°=64°，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠BAD=122°，由折叠的性质可得∠BAD=∠BAD'=122°，即可求解.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：①若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直，该说法正确；
②若点C在线段AB上，且 AC=BC ，则 C 是线段 AB 的中点，原说法错误；
③在同一平面内，不相交的两条直线必平行，原说法错误；
④两点确定一条直线，此说法正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的定义、垂线的定义、相交线的定义、两点确定一条直线，对各个小题分析判断即可得解.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：由题意可得：MN=2×40=80（海里），∠M=70°，∠N=40°，
∴∠MPN=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°，
∴∠M=∠MPN，
∴NP=MN=80（海里）.
故答案为：D.
【分析】首先由速度以及时间求出MN的值，然后根据两直线平行，内错角相等可得到∠N、∠M的度数，进一步推出∠M=∠MPN，最后结合等腰三角形的判定解答即可.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE.
∵∠C=90°， DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90°.
∵AD=AD，∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，
∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，
∴① AD平分∠CDE ，正确.
无法证明∠BDE=60°，
∴③ DE平分∠ADB错误.
∵BE+AE=AB，AE=AC，AC=4BE，
∴AB=5BE，AE=4BE，
∴S△ADB=5S△BDE ， S△ADC=4S△BDE ，
∴S△ABC=9S△BDE ， ④错误.
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，
∴∠BDE=∠BAC，
∴②∠BAC=∠BDE正确.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的概念以及性质可得∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，然后可证△DAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可判断①的正误；无法推出∠BDE=60°，进而可判断③的正误；由线段的和差关系可推出AB=5BE，AE=4BE，利用三角形的面积公式不难判断④的正误；根据同角的余角相等可判断②的正误.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是真命题，故A不符合题意；
B、同旁内角互补是假命题，故B符合题意；
C、全等三角形的对应边相等是真命题，故C不符合题意；
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.是真命题，故D不符合题意；、
故答案为：B.
【分析】利用对顶角的性质，可对A作出判断；利用两直线平行，同旁内角互补，可对B作出判断；利用全等三角形的性质，可对C作出判断；利用角平分线的性质，可对D作出判断，由此可得到是假命题的选项.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解： ∵∠AOC=90° ，
∴∠COE+∠AOE=90° ，
即 ∠AOE 的余角是 ∠COE ；
又 ∵∠EOF=90° ， ∠AOB=180° ，
∴∠BOF+∠AOE=90° ，
即 ∠AOE 的余角是 ∠BOF .
故答案为：B
【分析】根据互余的定义，即是求与 ∠AOE 的和是 90° 的角，根据角相互间的和差关系可得.本题主要考查了平角，余角的定义，是一个基本的类型，熟记定义是关键.
二、填空题
11.【答案】 4
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADE=∠EDC，∠ECD=∠ECB.
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF=180°，
∴∠ADC+∠DCB+∠CBF=180°，
∴2∠EDC+2∠BCE+54∠BCE=180°.
∵∠DEC=115°，
∴∠EDC+∠ECD=65°，
∴∠EDC+∠BCE=65°，
∴∠BCE=40°，∠EDC=25°，
∴∠CBF=54∠BCE=50°，
∴∠CFB=90°，
∴BF⊥EC，
∴CE=2BF，设BF=m，则CE=2m.
∵S△BCE=?12EC·BF=4，
∴12×2m×m=4，
∴m=2或-2（舍去），
∴CE=2m=4.
故答案为：4.
【分析】由AD∥BF，可得∠A+∠ABF=180°，进而由四边形内角和为360°可得∠ADC+∠DCB+∠BCE=180°，由∠DEC=115°，可得∠EDC+∠DCE=65°，然后结合角平分线的概念可求得∠BCE、∠EDC、∠CBF的度数，然后求出∠CFB=90°，再利用三角形的面积公式求解即可.
12.【答案】 405°
【解析】【解答】解：根据正方形的性质和全等三角形的性质可知，
∠1+∠9=90°，∠2+∠6=90°，∠3=∠5=∠7=45°，∠4+∠8=90°，
∴ ∠1+∠2+∠3+?+∠9=3×90°+3×45°=405°?，
故答案为：405°.

【分析】根据正方形的性质和全等三角形的性质分析，找出互余的三对角，结合等腰直角三角形的性质即可求出这几个角的和.
13.【答案】 21°18′
【解析】【解答】解： ∵ ∠α=68°42'
∴ ∠α 的余角为 90°?68°42′=89°60′?68°42′=21°18′
故答案为：21°18′.
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，列式计算即可.
14.【答案】 5
【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，CD⊥AC，
∴EB∥CD，
∴△AEB∽△ADC，
∴BEAB=CDAC ，
∴1.53=CD10 ，
∴CD=5.
故答案为：5.
【分析】根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得EB∥CD，进而推出△AEB∽△ADC，然后借助相似三角形对应边成比例就可求得CD的值.
15.【答案】 55°
【解析】【解答】解：如图，
∵AB⊥BC，∴∠3=90°﹣∠1=55°.
∵a∥b，∴∠2=∠3=55°.
故答案为：55°.
【分析】根据垂直的定义及平角的定义，可求得∠3=55°，根据两直线平行同位角相等可得∠2=∠3=55°.
16.【答案】 132°
【解析】【解答】解：∵AB⊥AE，
∴∠BAC+∠CAE=90°
∴∠BAC=90°-42°=48°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠ACD=180°-48°=132°.
故答案为：132°.
【分析】利用垂直的定义可证得∠BAC+∠CAE=90°，由此可求出∠BAC的度数；再利用两直线平行，同旁内角互补，就可求出∠ACD的度数.
17.【答案】 31°34′
【解析】【解答】解：由余角的定义得：∠α=90°﹣58°26′=31°34′，
故答案为：31°34′.
【分析】根据和为90°的两个角就互为余角即可得出答案.
18.【答案】 128.25
【解析】【解答】解： ∵∠α 的余角是 38°15' ，
∴∠a 的补角为： 38°15'+90°=128.25° .
故答案为：128.25.
【分析】根据同角的补角比余角大90°即可求出答案.
19.【答案】 170
【解析】【解答】解： ∵α=50° ，
∴ 根据互为补角的概念，得
α 的补角为： 180°?50°=130° ，
根据互为余角的概念，得，
α 的余角为： 90°?50°=40° ，
∴ 余角与补角的度数和为： 130°+40°=170° .
故答案为170.
【分析】此题考查余角和补角的概念，如果两个角的和等于 180°( 平角 ) ，就说这两个角互为补角.如果两个角和为 90° ，则两个角互为余角.根据概念先求出 α 的余角和补角，再进行相加计算即可.
三、解答题
20.【答案】 解：如图，延长AE交BC于点F，
∵点E是CD的中点 ∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD ∴AD∥BC
∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF
∴△AED≌△FEC（ASA）
∴AD＝FC＝5，AE＝EF
∴BF＝BC﹣FC＝5
∴在Rt△ABF中，AF＝ AB2+BF2 ＝13
∴AE＝ AF2 ＝ 132
【解析】【分析】 延长AE交BC于点F，易证△AED≌△FEC，然后由全等三角形对应边相等可求出AD、FC、BF的值，接下来在Rt△ABF中，根据勾股定理可得AF的值，最后根据AE=EF就可得到AE的值.
21.【答案】 解：∠E=∠F.理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDC.
∵∠A=∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴AE∥CF，
∴∠E=∠F.
【解析】【分析】由AB∥CD，根据平行线的性质得∠A=∠EDC，而∠A=∠C，则∠EDC=∠C，根据平行线的判定得到AE∥CF，然后再根据平行线的性质得到∠E=∠F.
22.【答案】 解： ∵AB//CD （已知），
∴∠B=∠C （两直线平行，内错角相等）
∵BF=CE （已知），
∴BF+EF=CE+EF ，即 BE=CF .
在 ΔABE 和 ΔDCF 中，
{AB=CD∠B=∠CBE=CF ，
∴ΔABE?ΔDCF(SAS)
【解析】【分析】?根据两直线平行，内错角相等，可得∠B=∠C，由BF=CE得出BE=CF，根据SAS可证△ABE≌△DCF.
23.【答案】 证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC
∵∠BFE=∠DAC，
∴∠BFE=∠DAB，
∴AD∥EG，
∴∠G=∠DAC
又∵∠BFE=∠DAC，
∴∠G=∠BFE，
由对顶角相等得：∠BFE=∠AFG，
∴∠G=∠AFG.
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得到∠DAB=∠DAC，结合已知可推出∠BFE=∠DAB；再利用两直线平行同位角相等可证得∠G=∠DAC，由此可得到∠G=∠BFE，然后可证得结论.
24.【答案】 解：设这个角是 α ，则它的余角为 90°?α ，补角为 180°?α ，
由题意得， 90°?α=12(180°?α)?18° ，
解得 α=36° ，
90°?36°=54° .
答：这个角是 36° ，它的余角是 54°
【解析】【分析】设这个角是 α ，然后表示出它的余角和补角，再列出方程求解即可.
四、作图题
25.【答案】 解：所以如图为所求做图形.
PE>PD
理由：点到直线垂线段最短.
【解析】【分析】 （1）根据垂线的定义即可过点P画AB的垂线，垂足为点D；
（2）根据平行线的定义即可过点P画BC的平行线交AB于点E；
（3）由垂线段最短可知PE>PD．
26.【答案】 解：直线CD\AE，点F如图所示；
【解析】【分析】（1）根据直线的定义，平行线的定义画出图形即可.（2）根据直线的定义，垂线的定义画出图形即可.
五、综合题
27.【答案】 （1）解： DE 与 BF 的位置关系为： DE//BF ，理由如下：
如图1所示：
∵∠A=∠C=90° ， ∴∠ADC+∠ABC=360°?(∠A+∠C)=180° ，
∵DE 、 BF 分别平分 ∠ADC 、 ∠ABC ， ∴∠ADE=12∠ADC ， ∠ABF=12∠ABC ，
∴∠ADE+∠ABF=12×180°=90° ，
∵∠ADE+∠AED=90° ， ∴∠AED=∠ABF ， ∴DE//BF ；
（2）解：令 x=0 ，得 y=12 ， ∴DE=12 ，
令 y=0 ，得 x=10 ， ∴MN=10 ，
把 y=245 代入 y=?65x+12 ，
解得： x=6 ，即 NQ=6 ， ∴QM=10?6=4 ，
∵Q 是 BF 中点， ∴FQ=QB ，
∵BM=2FN ， ∴FN+6=4+2FN ，
解得： FN=2 ， ∴BM=4 ， ∴BF=FN+MN+MB=16 ；
（3）解：①连接 EM 并延长交 BC 于点 H ，如图2所示：
∵FM=2+10=12=DE ， DE//BF ，四边形 DFME 是平行四边形， ∴DF=EM ，
∵AD=6 ， DE=12 ， ∠A=90° ， ∴∠DEA=30° ， ∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30° ，
∴∠ADE=60° ， ∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60° ，
∴∠DFM=∠DEM=120° ， ∴∠MEB=180°?120°?30°=30° ，
∴∠MEB=∠FBE=30° ， ∴∠EHB=180°?30°?30°?30°=90° ， DF=EM=BM=4 ，
∴MH=12BM=2 ， ∴EH=4+2=6 ，
由勾股定理得： HB=BM2?MH2=42?22=23 ，
∴BE=EH2?HB2=62+(23)2=43 ，
当 DP=DF 时， ?65x+12=4 ，解得： x=203 ，
∴BQ=14?x=14?203=223 ，
223>43 ， ∴BQ>BE ；
②（Ⅰ）当 PQ 经过点 D 时，如图3所示：
y=0 ，则 x=10 ；
（Ⅱ）当 PQ 经过点 C 时，如图4所示：
∵BF=16 ， ∠FCB=90° ， ∠CBF=30° ， ∴CF=12BF=8 ， ∴CD=8+4=12 ，
∵FQ//DP ， ∴ΔCFQ∽ΔCDP ， FQDP=CFCD ， 2+x?65x+12=812 ，解得： x=103 ；
（Ⅲ）当 PQ 经过点 A 时，如图5所示：
∵PE//BQ ， ∴ΔAPE∽ΔAQB ， PEBQ=AEAB ，
由勾股定理得： AE=DE2?AD2=122?62=63 ，
∴AB=63+43=103 ， 12?(?65x+12)14?x=63103 ，
解得： x=143 ，
由图可知， PQ 不可能过点 B ；
综上所述，当 x=10 或 x=103 或 x=143 时， PQ 所在的直线经过四边形 ABCD 的一个顶点.
【解析】【分析】（1）首先由四边形内角和为360°可得∠ADC+∠ABC=180°，然后根据角平分线的定义可得∠ADE+∠ABF的度数，结合∠ADE+∠AED=90°可得∠AED与∠ABF的数量关系，进而判断DE与BF的位置关系；
（2）分别令x=0、y=0求出对应的y、x的值，即为DE、MN的值，把y=245代入求出x的值，即为NQ的值，然后根据QM=MN-NQ求出QM的值，由Q为BF的中点以及BM=2FN可得到关于FN的等式，进而求出FN的值，最后根据BF=FN+MN+MB计算即可；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，可推出四边形DFME为平行四边形，由平行四边形的性质以及平行线的性质可求得∠DEA，∠ADE，∠DFM，∠MEB，∠EHB的度数，进一步得到MH、EH的值，然后利用勾股定理求出HB、BE的值，利用DP=DF可得关于x的方程，求解即可；
②当PQ经过点C时，首先求出CF、CD的值，由△CFQ∽△CDP可得关于x的方程，求解即可；当PQ经过点A时，易证△APE∽△AQB，由勾股定理求出AE的值，进而得到AB的值，然后利用相似三角形对应边成比例可得关于x的方程，求解即可.
28.【答案】 （1）解： ∵AE平分∠BAD （已知）,
∴∠BAD=2∠1 （角平分线的定义? ）,
∵BE平分∠ABC （已知）,
∴∠ABC=2∠2 （角平分线的定义? ）,
∴∠BAD+∠ABC=2∠1+2∠2 （??? 等量代换????? ）,
∵∠1+∠2=90° （已知）,
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴AD//BC （? 同旁内角互补，两直线平行? ）.
（2）解： ∵∠1+∠2+∠AEB=180°，∠1+∠2=90°
∴∠AEB=90°=∠AEF+∠BEF
∵∠AED+∠AEB+∠CEB=180°
∴∠AED+∠CEB=90°
∵AE 平分 ∠DEF
∴∠AED=∠AEF
∴∠BEF=∠CEB （等角的余角相等）
∴BE 平分 ∠CEF
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线定义可得∠BAD=2∠1，∠ABC=2∠2，则由等量代换可得∠BAD+∠ABC=2∠1+2∠2，根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC；
（2）由三角形内角和定理，结合∠1和∠2互余可得∠AEB为90°，从而得出∠AED和∠BEC互余，则由AE平分∠DEF，根据余角的性质得出BE平分∠CEF.
29.【答案】 （1）解：设 ∠BOC=x ，则 ∠AOC=2x ，
依题意列方程 90°?2x=x?30° ，
解得： x=40° ，
即 ∠AOB=40°
（2）解：由 (1) 得， ∠AOC=80° ，
①当射线OD在 ∠AOC 内部时， ∠AOD=20° ，
则 ∠COD=∠AOC?∠AOD=60° ；
②当射线OD在 ∠AOC 外部时， ∠AOD=20° ，
则 ∠COD=∠AOC+∠AOD=100° .
【解析】【分析】（1）设 ∠BOC=x ，则 ∠AOC=2x ，根据∠AOC 的余角比 ∠BOC 小 30゜ 列方程求解即可；
（2）分两种情况：①当射线OD在 ∠AOC内部，②当射线OD在 ∠AOC 外部，分别求出 ∠COD 的度数即可.
30.【答案】 （1）解： ∵∠COF 与 ∠DOF 是邻补角，
∴∠COF=180°?∠DOF=90° .
∵∠AOC 与 ∠AOF 互为余角，
∴∠AOC=90°?∠AOF=90°?50°=40° .
∵∠AOC 与 ∠BOC 是邻补角，
∴∠COB=180°?∠AOC=180°?40°=140° .
∵OE 平分 ∠BOC ，
∴∠BOE=12∠BOC=70°
（2）解： ∠BOD ： ∠BOE=1 ：4，
设 ∠BOD=∠AOC=x ， ∠BOE=∠COE=4x .
∵∠AOC 与 ∠BOC 是邻补角，
∴∠AOC+∠BOC=180° ，
即 x+4x+4x=180° ，
解得 x=20° .
∵∠AOC 与 ∠AOF 互为余角，
∴∠AOF=90°?∠AOC=90°?20°=70°
【解析】【分析】（1）根据补角，余角的关系，可得 ∠COB ，根据角平分线的定义，可得答案；
（2）根据邻补角，可得关于x的方程，解方程可得 ∠AOC ，再根据余角的定义，可得答案.