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全章热门考点整合应用
第十八章
平行四边形
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1．【2020·宜宾】如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝( )
A．20°
B．45°
C．65°
D．70°
D
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.
同理可得EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形．
(2)∠DHF＝∠DEF.
【点拨】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，如图所示，易知EF⊥BC.
【答案】C
4．【2020·绍兴】如图，点E是?ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)若AD的长为2，求CF的长．
解：添加一个条件：∠B＝60°.
∵∠BAF＝90°，∠B＝60°，
∴∠F＝180°－90°－60°＝30°.(答案不唯一)
(2)若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并求出∠F的度数．
5．【2020·广西北部湾经济区】如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
解：由(1)得△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF.
∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
6．【2020·毕节】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6
cm，BC＝8
cm，则EF的长是( )
A．2.2
cm
B．2.3
cm
C．2.4
cm
D．2.5
cm
D
C
8．【2019·怀化】如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形AECF是矩形．
解：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°.
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
9．【2020·甘孜州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B
10．【2020·通辽】如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断?ADCE是菱形的是( )
A．∠BAC＝90°
B．∠DAE＝90°
C．AB＝AC
D．AB＝AE
A
11．【2020·连云港】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N，O为垂足．
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
22°
12．【2020·包头】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．
13．【2020·自贡】如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证AE＝BF.
14．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
解：DE⊥FG.理由如下：
由题意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠EDB＋∠BED＝90°.
∴∠GFE＋∠BED＝90°，
∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.
证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．
∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．
∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．
解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，
∴根据轴对称的性质可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为
(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)
＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB
＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB
＝AB＋(FD1＋FC)＋10
＝AB＋(FD＋FC)＋10
＝10＋10＋10＝30.
16．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．
17．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
证明：如图，连接AO并延长交BC于点H.
∵AB＝AC，OB＝OC，∴AH是BC的垂直平分线，即AH⊥BC.∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.
又∵DE∥AH，∴EF⊥DE.∴四边形DEFG是矩形．
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
19．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证PA＝EF.
运用：
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为_______________________；
(2，1.5)
(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．(共30张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
第3课时
矩形的判定
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1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AC＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
A
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在BC边上，且BC＝3AD．
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
解:∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴DE＝AB，AF＝DC.∵AB＝DC，∴DE＝AF.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形．
(2)当AB＝DC时，求证：四边形AEFD是矩形．
4．【中考·上海】已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
B
5．【中考·十堰】已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
B
6．【中考·菏泽】如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( )
A．互相平分
B．相等
C．互相垂直
D．互相垂直平分
C
7．在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的是( )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；
④AC＝BD．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
B
8.【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．
9．在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形( )
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
【答案】C
10．【中考·云南】如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAO＝∠ABO.∴∠ABO＝∠CDO.∵∠AOB:∠ODC＝4:3，
∴∠BAO:∠AOB:∠ABO＝3:4:3.
11．【中考·怀化】已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形AECF是矩形．
解：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°.
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
12．【中考·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证△BDE≌△FAE；
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE.
又∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE；
(2)求证：四边形ADCF为矩形．
解：∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.
又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.∴四边形ADCF为矩形．
13．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.
∵∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150°.
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．(共25张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
第2课时
矩形性质的应用
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1．如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连接CF，且CF＝AF，过点A作AE⊥FC于点E，连接CA．
(1)求证AD＝AE；
(2)连接CA，若∠DCA＝70°，求∠CAE的度数．
解：由(1)知△ADC≌△AEC，
∴∠CAE＝∠CAD.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.
∴∠CAD＝90°－∠DCA＝90°－70°＝20°.
∴∠CAE＝20°.
2．【中考·湘西州】如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.
(1)求证△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝12
cm，BC＝6
cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2
cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1
cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t
s表示移动的时间(0≤t≤6)．
(1)当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
4．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.求证：
(1)BF＝DF；
(2)AE∥BD．
5．如图①，四边形ABCD是矩形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
(1)求证：AM＝AD＋MC.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？并说明理由．
6．如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于点F.求证EF＝DF.
【答案】C
8．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CF折叠，使点D与AB的中点E重合，求AF:FD的值．
9．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕．
(1)求证△FGC≌△EBC；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．(共13张PPT)
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阶段核心方法
判定平行四边形的五种常用方法
第十八章
平行四边形
4
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1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．
求证：四边形FMEN为平行四边形．
证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，
∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，AF＝AC，∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，
即∠ABC＝∠DBE.
2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
5．【中考·哈尔滨】如图①，在?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH.
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形．(四边形AGHD除外)(共31张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
第7课时
正方形及其性质
4
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AC＝BD
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B
1．?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：__________，使得?ABCD为正方形．
AC＝BD
(答案不唯一)
A
3．【中考·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( )
A．(6，3)
B．(3，6)
C．(0，6)
D．(6，6)
D
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C
【答案】D
【答案】D
【答案】B
9．【中考·恩施州】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
10．【中考·武威】如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证△AEM≌△ANM；
(2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2，
∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN.
∵BE＝DN，∴MN＝EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝5.
∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2.
即52＝(x－3)2＋(x－2)2，解得x＝6或－1(舍去)，
∴正方形ABCD的边长为6.
12．【中考·天门】如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF，求证：
(1)AE⊥BF；(共19张PPT)
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阶段核心应用
特殊平行四边形间的关系的综合应用
第十八章
平行四边形
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4．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明．
(2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由．
(3)连接AE，AF，当点O在AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．
(4)在(3)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
ED
B
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A
E
B
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D
AE
M
B
F
N
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D(共18张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
第5课时
菱形性质的应用
4
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1．【中考·宁波】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．(1)求证：BG＝DE；
(2)若E为AD的中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
?
2．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.
(1)求证：△DCE≌△BCE；
(2)求证：∠AFD＝∠EBC；
证明：∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠EBC.
∵在菱形ABCD中，CD∥AB，
∴∠CDE＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠EBC.
(3)若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．
解：点F在AB之间时，由(2)知∠AFD＝∠EBC，
易知∠EBC＋∠EBF＝90°，∠FEB＝∠FBE，
∠AFD＝∠FEB＋∠FBE，∴∠AFD＝∠EBC＝60°，
∠FEB＝∠FBE＝30°.∴∠EFB＝180°－60°＝120°.
点F在AB延长线上时，
由(2)知∠AFD＝∠EBC.
易知∠ABE＋∠EBC＝90°，∠ABE＝∠BEF＋∠BFE，
∠BEF＝∠BFE，∴∠EFB＝30°.
综上可得∠EFB的度数为120°或30°.
3．如图，在?ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得到△GFC．
(1)求证：BE＝DG；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC.
∴∠CGD＝∠GCF.
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移得到的，∴CG⊥BC，AE＝CG，∠AEB＝90°.
∴∠GCF＝90°.∴∠CGD＝∠GCF＝90°，
∴∠AEB＝∠CGD＝90°.
∵AE＝CG，AB＝CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL)．∴BE＝DG.
(2)若四边形ABFG是菱形，且∠B＝60°，求AB∶BC的值．
解：∵四边形ABFG是菱形，
∴AB＝BF.
连接AF，由已知易得△ABF为等边三角形．
4．如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE＋CF＝m.
(1)证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
(2)求△BEF面积的最小值．(共33张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.1
平行四边形
第2课时
平行四边形的对角线性质
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1．【2019·柳州】如图，在?ABCD中，全等三角形的对数共有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
【答案】C
2．【2020·益阳】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( )
A.10
B.8
C.7
D.6
D
3．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有4对全等三角形．
其中正确结论的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD.
∴∠CDF＝∠ABE.
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°.
∴△CFD≌△AEB(AAS)．
∴DF＝BE，CF＝AE(①正确)．
【答案】B
4.【2019·遂宁】如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
A.28
B.24
C.21
D.14
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵?ABCD的周长为28，∴AB＋AD＝14.
∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的垂直平分线．
∴BE＝ED.∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋ED＋AE＝AB＋AD＝14.
【答案】D
【答案】D
【答案】D
7．如图，若?ABCD的周长为36
cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4
cm，DF＝5
cm，?ABCD的面积为( )
A.40
cm2
B.32
cm2
C.36
cm2
D.50
cm2
【点拨】∵?ABCD的周长为36
cm，∴AB＋BC＝18
cm①.
∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4
cm，DF＝5
cm，∴4AB＝5BC②.
由①②得AB＝10
cm，BC＝8
cm，
∴?ABCD的面积为AB·DE＝10×4＝40(cm2)．
【答案】A
8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A.3
B.6
C.12
D.24
【点拨】本题运用了割补法，将分散的阴影部分通过割补转化为规则的几何图形，从而求出面积．
【答案】C
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.
求证：OE＝OF.
错证：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC.∵OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.又∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS）.∴OE＝OF.
诊断：错解误认为已知E，O，F三点共线，从而得到∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个条件．
10．【2020·重庆A】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是，∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴AE＝CF.
11．【中考·本溪】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求?ABCD的周长．
12．如图，点O为?ABCD的对角线AC，BD的交点，∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，BD＝8，点E是OD上的一动点，点F是OB上的一动点(E，F不与端点重合)，且DE＝OF，连接AE，CF.
(1)求线段EF的长．
(2)若△OAE的面积为S1，△OCF的面积为S2，S1＋S2的值是否发生变化？若不变，求出这个定值；若变化，请说明随着DE的增大，S1＋S2的值是如何发生变化的．
解：S1＋S2的值不变．理由如下：连接AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC.
∴S△AOF＝S△COF.∵DE＝OF，
∴S△ADE＝S△AOF＝S△COF.
13．如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO.∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.(共29张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.1
平行四边形
第3课时
平行四边形的判定
4
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A
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C
B
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，那么这个条件可以是( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠D＝180°
D
A
3.顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②BC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D这4个条件中任取2个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种
B．4种
C．3种
D．1种
【答案】C
4．【2019·泸州】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC
D．AC⊥BD
B
【点拨】由?ABCD可得AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠DEB＝∠CBF，∠ADB＝∠CBD.
A．由∠ABD＝∠DCE，结合∠ABD＝∠CDB可得∠CDB＝∠DCE，∴BD∥CE.
又∵DE∥BC，∴四边形BCED为．
B．由DF＝CF，∠DFE＝∠CFB，∠DEB＝∠CBF，可得△DEF≌△CBF(AAS)．
∴EF＝BF.∴四边形BCED为平行四边形．
【答案】C
D．由∠AEC＝∠CBD，结合∠ADB＝∠CBD可得∠ADB＝∠AEC，∴BD∥CE.
又∵DE∥BC，∴四边形BCED为平行四边形．
由C中条件无法判定四边形BCED为平行四边形．
C
7.四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列4个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选2个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．6种
B．5种
C．4种
D．3种
【点拨】选①②，①③，①④，③④均可使四边形ABCD为平行四边形．
【答案】C
8．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：
①OE＝OF；
②DE＝BF；
③∠ADE＝∠CBF；
④∠ABE＝∠CDF.
其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【点拨】给出条件①OE＝OF，由题易知OD＝OB，∴四边形DEBF为平行四边形，故①正确．
给出条件③∠ADE＝∠CBF，由题易知∠DAE＝∠BCF，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF(ASA)．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC，∴∠DEO＝∠BFO.∴DE∥BF.∴四边形DEBF为平行四边形，故③正确．给出条件④，理由同③，亦可判定四边形DEBF为平行四边形．只有给出条件②无法判定四边形DEBF为平行四边形．
【答案】B
9．【2020·陕西】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.
求证AD＝BE.
证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC.
∴AB∥DE.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE.
10．【2020·淮安】如图，在?ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
(1)求证△AOF≌△COE；
(2)连接AE，CF，则四边形AECF________(填“是”或“不是”)平行四边形．
是
11．【中考·大庆】如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BF＝BE.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
12．如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
解：上述结论还成立．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，AD∥BC.
∴∠ADE＝∠BCD，∠BCD＝∠CBF.
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE＝AD，CB＝CF，∴∠ADE＝∠AED，∠CBF＝∠CFB.∴∠AED＝∠CFB.
又∵∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴ED＝BF，AE＝CF.
∵DC＝AB，∴DC＋ED＝AB＋BF，即EC＝AF.
又∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．(共28张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.1
平行四边形
第1课时
平行四边形的边、角性质
4
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D
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，在?ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( )
A．13
B．14
C．15
D．18
D
2.若以A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C
3.【中考·邵阳】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是( )
A．AE＝CF
B．∠AEB＝∠CFD
C．∠EAB＝∠FCD
D．BE＝DF
【答案】A
【答案】C
5．【中考·温州】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作?BCDE，则∠E的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
D
6.如图，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠E＝∠CDF
B．EF＝DF
C．AD＝2BF
D．BE＝2CF
【答案】D
7．【中考·铜仁】设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12
cm，EF与CD的距离是5
cm，则AB与EF的距离等于________
cm.
【答案】7或17
8．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，下列说法错误的是( )
A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B．CE＝FG
C．线段CD的长度就是l1与l2之间的距离
D．AC＝BD
C
9．在?ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3
cm和4
cm两部分，则?ABCD的周长为( )
A．20
cm
B．22
cm
C．10
cm
D．20
cm或22
cm
【答案】D
10．【中考·孝感】如图，在?ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF，连接EF，分别与BC，AD相交于点G，H.
求证EG＝FH.
11．【中考·重庆B】如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
(2)求证BE＝DF.
12．【中考·永州】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积．
13．【中考·安徽】如图，点E在?ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
(1)求证：△BCE≌△ADF；(共33张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
第8课时
正方形的判定
4
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B
B
B
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B
B
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见习题
见习题
见习题
13
见习题
C
1．【中考·绵阳】如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有( )
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
B
B
3.【中考·台州】小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )
A．1次
B．2次
C．3次
D．4次
B
【答案】D
5．【中考·巴中】下列命题是真命题的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．四边相等的平行四边形是正方形
C
A
6．【2020·台州】下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是( )
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②
D．由①推出③，由③推出②
7．【2020·襄阳】已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
B
8．【2020·绍兴】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B
9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下列条件：①AB＝AD;
②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO;
④四边形ABCD为矩形；
⑤四边形ABCD为菱形；
⑥四边形ABCD为正方形．
C
则下列推理不成立的是( )
A．①④?⑥
B．①③?⑤
C．①②?⑥
D．②③?④
10．【中考·青岛】如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF.
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD．
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
(2)若H是边AB上一点(H与A，B不重合)，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2.当AB＝2时，求AH的长．
13．【中考·天水】如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．(共32张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
第4课时
菱形及其性质
4
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C
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9
见习题
10
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见习题
12
见习题
见习题
13
见习题
1．如图，若要使?ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝AC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
C
2．【2020·武威】如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节A，E间的距离．若A，E间的距离调节到60
cm，菱形的边长AB＝20
cm，则∠DAB的度数是( )
A．90°
B．100°
C．120°
D．150°
C
3．【中考·贵阳】如图，菱形ABCD的周长是4
cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
A
【答案】B
5．【中考·无锡】下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
C
6．【中考·黑龙江龙东地区】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为( )
A．72
B．24
C．48
D．96
【答案】C
【答案】D
【答案】B
9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10
cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为________________cm.
10．【中考·百色】如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF.
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的长．
解：∵E是AD的中点，
且BE⊥AD，
∴直线BE为AD的垂直平分线，
∴BD＝AB＝2.
11．【中考·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.
求证：(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝BF＋EF.
解：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，AF＝DE.
∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF，
∴DE＝BF＋EF.
12．【中考·北京】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
13．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．
(1)求证：AE＝EC．
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时
，点F在线段BC的什么位置？并说明理由．(共14张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
第9课时
正方形的性质和判定的综合应用
4
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1
2
3
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE交DF于点M.求证AM⊥DF.
2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.
(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，
请说明理由．
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
解：DN－BM＝MN.理由如下：
如图，在DN上截取DE＝BM，连接AE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.
又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE(SAS)．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，
∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.
又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN(SAS)．
∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.
3．如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，且AF＝AE，连接BF，BE，DE.
(1)求证BF＝DE.
(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是正方形吗？请说明理由．
4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.
(1)求证：不管滚动多长时间，连接四个
小球所得的四边形PQRS总是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
又∵AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.
∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.
∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴四边形PQRS是菱形．
又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.
∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.
∴四边形PQRS是正方形．即不管小球滚动多长时间，连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．
(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？
解：当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时四边形PQRS的面积最大，此时的面积等于正方形ABCD的面积．
解：当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形ABCD四边中点时，四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半．
(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？(共29张PPT)
RJ版八年级下
第十八章
平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
第6课时
菱形的判定
4
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6
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1
2
3
5
OA＝OC(答案不唯一)
D
D
D
见习题
8
见习题
C
B
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9
见习题
10
11
见习题
见习题
1．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
OA＝OC
(答案不唯一)
2．【中考·南通】下列条件中，能判定?ABCD是菱形的是( )
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
C．AD＝BD
D．AC⊥BD
D
【答案】D
【答案】B
5．【中考·泰安】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；
④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
由∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
可证△ADE≌△CBF(ASA)．∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确．
∴DE－DN＝BF－BM，即NE＝MF.
∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形．∴EM∥FN，故②正确．
∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD.∴△AOD是等边三角形．
∴∠ADO＝60°.∴∠ABD＝90°－∠ADO＝30°.∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°.∴∠ODN＝∠ABD.
∴DE＝BE.∴四边形DEBF是菱形，故④正确．
【答案】D
6.【中考·咸宁】如图，在?ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF＝BE.连接EF.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE.∵AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形．
解：如图所示，点P即为所求，
7．【中考·大庆】下列说法中不正确的是( )
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
【答案】C
8．【中考·新疆】如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.
(1)求证AE＝CF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF.
∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE.
∴∠AED＝∠CFB.
∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴AE＝CF.
(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
解：由(1)知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：四边形AECF是菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
10．【中考·青岛】如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证△ADE≌△CBF.
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
解：如图，当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形．
理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.
∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD.即AC⊥EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵DE＝BF，∴OE＝OF.∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．
11．【中考·娄底】如图，在?ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)求证AE⊥DE.(共29张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.2
特殊的平行四边形
第1课时
矩形及其性质
4
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6
7
1
2
3
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D
D
C
B
A
8
D
B
C
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10
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12
9
13
30°
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
D
2．【2020·黔东南州】如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于( )
A．25°
B．30°
C．50°
D．60°
C
3.【2020·湖州】七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图①所示．分别用这两副七巧板试拼如图②中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( )
A．1和1
B．1和2
C．2和1
D．2和2
【答案】D
【点拨】中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示．
4．【2020·怀化】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【点拨】由题易知S△AOD＝S△BOC＝S△COD＝S△AOB＝2.
∴S矩形ABCD＝4S△AOB＝8.
B
【答案】A
7．【2020·黄石】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【答案】D
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝________.
30°
10．【中考·张家界】如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．
(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；
(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．
12．【2019·哈尔滨】已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
(1)如图①，求证AE＝CF；
解：△ABE，△CDF，△BCE，△ADF.
13．如图①，在矩形ABCD(AB(1)如图②，若EF与AD的延长线交于点F，证明EA＝EF仍然成立．(共26张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.1
平行四边形
第4课时
平行四边形的性质和判定的应用
4
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7
1
2
3
5
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
解：由(1)得四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.
∵AE＝CF，∴BE＝DF.∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．∴BF∥DE.
∴四边形EGFH是平行四边形．
∴EF与GH互相平分．
7．如图，△ABC为等边三角形，D，F分别为BC，AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求证：△ACD≌△CBF.
M
C
E
N
B
返回
F
A
B
A
D
B
E
E
D
D
B
F
B
C
①
E
F
A
A
B
D
D
E
F
E
B
D
C
①
E
A
B
D
DE
B
C
E
→PD
B
Q
E
B
C
B
C(共34张PPT)
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第十八章
平行四边形
18.1
平行四边形
第5课时
三角形的中位线
4
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1
2
3
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B
A
D
B
8
8
B
16
C
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9
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【2020·广州】在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE.若∠C＝68°，则∠AED＝( )
A.22°
B.68°
C.96°
D.112°
B
D
【答案】A
4.【中考·营口】如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是( )
【答案】C
5．【2019·河池】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( )
A.∠B＝∠F
B.∠B＝∠BCF
C.AC＝CF
D.AD＝CF
B
6．【2020·沈阳】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为________．
8
7．【2020·凉山州】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则?ABCD的周长等于________．
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD.由OE∥AB，易知OE是△ABD的中位线．∴AB＝2OE，AD＝2AE.
∵△AOE的周长等于5，∴OA＋AE＋OE＝5.
∴AE＋OE＝5－OA＝5－1＝4.∴AD＋AB＝2AE＋2OE＝8.∴?ABCD的周长＝2×(AD＋AB)＝2×8＝16.
【答案】16
8．如图，在△ABC(纸片)中，AB＝BC>AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有( )
①△BDF是等腰直角三角形；
②∠DFE＝∠CFE；
③DE是△ABC的中位线；
④BF＋CE＝DF＋DE.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
9．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D.已知AB＝10，AC＝16.
(1)求证BN＝DN；
(2)求MN的长．
10．如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
11．(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长与BA，CD的延长线分别交于M，N.求证：∠BME＝∠CNE.
【点拨】中欲证相等的两个角所在三角形不全等，考虑到E，F分别是AD，BC的中点故可连接BD，取其中点构造三角形中位线，利用三角形中位线的性质进行等角的转换
(2)若BD，CE是△ABC的内角平分线，(1)中的其余条件不变(如图②)，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
