3.4基本不等式
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3.4均值不等式单元测试卷
(A卷)
一.选择题(本题共6小题)
1.若,则的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
2.若,且,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.若,则下列不等式中成立的是( )
(A) (B)
(C) (D)
4.已知,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
5.已知,、的等差中项为是,且,则的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
6.某工厂第一年年产值为,第二年的增长率为,第三年的增长率,这两年的平均增长率为,则有( )
(A) (B) (C) (D)
二.填空题(本题共有4小题)
7.若,且,则的最小值为_____.
8.若两正数、的等差中项为,它们的等比中项为,则和的大小关系为____.
9.若,则函数的最大值为_______.
10.有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为,上下空白宽都为,左右空白宽都为,则四周空白部分面积的最小值为________.
三.解答题(本题共4小题)
11.已知,求函数的最值.
12.若对于满足的任意正数、,不等式恒成立,试求实数的取值范围.
13.若,且,求的最大值.
14.一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长,问这个矩形的长和宽各为多少时,花园的面积最大 最大面积是多少
(B卷)
一.选择题(本题共4小题)
1.若,则有( )
(A)最小值 (B)最大值 (C)最小值 (D)最大值
2.已知,且,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.下列结论中正确的是( )
(A)当且时, (B)当时, (C)当时,的最小值是 (D)当时,无最大值
4.下列函数中,最小值为的是( )
(A) (B) (C) (D)
二.填空题(本题共2小题)
5.若,则函数的最小值为______.
6.在面积与周长的数值相等的所有直角三角形中,面积的最小值为_______.
三.解答题(本题共有2小题)
7.若,求函数的最小值.
8.某单位需要建造一个长方形有盖储水池,其容积为,深为.如果池底每平方米的造价为元,池顶每平方米的造价为元,池壁每平方米的造价为元.问怎样设计水池底的长与宽,能使总造价最低 最低总造价是多少
(备选题)
一.选择题(本题共3小题)
1.若,则函数的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
2.若,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.周长为的一根铁丝,做成一个矩形,则其面积的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
二.填空题(本题共3小题)
4.若正数、满足,则的最小值为__________.
5.若,且满足,则的最大值为_________.
6.周长为的铁丝围成一个直角三角形,则其面积的最大值为_________.
三.解答题(本题共3小题)
7.设,且、为常数,求函数的最小值.
8.已知,求函数的最小值.
9.甲、乙两地相距千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过每小时千米.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度(单位:)的平方成正比,且比例系数为;固定部分为元.为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶
答案(A卷)
一.ADBCCB
1.由,得(当且仅当,即时,取等号).
2.因为,所以由(当且仅当,且,即时,取等号).
3.由,由
.又,故.
4.由,得(当且仅当,即时,取等号),则有,所以.
5.由条件,得,即.因为,所以有
(当且仅当且,即
时,取等号).
6.由题意有,则
,即(当且仅当,即时,取等号).
二.7. 8. 9. 10.
7.因为,所以由(当且仅当且,即时,取等号).
8.由条件,得,而,则有(当且仅当时取等号).
9.由,得.则,所以有
(当且仅当,即时,取等号).
10.设印刷部分的宽为,高为,则,则空白部分的面积为
(当且仅当,且,即时,取等号)
三.11解:若，则；若,则=≤
(当且仅当，即时取“=”）,则.
∴的最小值和最大值分别为和2.
12.解:≥16（当且仅当，，即时取“=”）.因此,对于满足题意的任意,使不等式恒成立,只需,即,故实数的取值范围为.
13.解:∵≤（当且仅当,即时，取“=”）,
∴的最大值为.
14.解:设矩形花园的长为米,宽为米(其中,则有,则矩形花园的面积为(当且仅当,且,即时,取等号).
故矩形花园面积的最大值为.
B卷
一.DABC
1.由,得,则(当且仅当,即时,取等号).
2. 由,得,则由
(当且仅当且,即时,取等号).
3.A中的不一定为正数;C中不能取到等号;D中的在区间上为单调递增函数,故有最大值.
4.A中的不一定为正数;B中的等号不能成立;D中的不一定为正数.
二.5. 6.
5.由,知,则
(当且仅当,即时,取等号).
6.由,则有
(当且仅当且,即
时,取等号).
三.7.解:由,得,则有
(当且仅当,即时,取等号).
故的最小值为.
8.解:设池底矩形的长为,宽为,则有.则水池的总造价为:
(元) (当且仅当且,即时,取等号).所以当池底设计为一个边长为的正方形时,总造价最低,且最低总造价为元.
备选题
一.BAD
1.由,得,则(当且仅当,即时,取等号).
2.设,则
,即.
3.设矩形的长为,宽为,则有,则其面积为
(当且仅当且,即时,取等号).
二.4. 5. 6.
4.由,得,解得(当且仅当且,即时,取等号).
5.因为,所以由,
,解得(当且仅当且,即时,取等号).
6.设直角边长为,则有,由此可得
.故其面积
(当且仅当且,即时,取等号).
三.7.解:由,可知,且,和为常数.则有
(当且仅当,即时,取等号).
故的最大值为.
8.解:由,得,则有
(当且仅当,即时,取等号).
故的最小值为.
9.解:设汽车的运输成本为,则有.
当且,即时,,即运输成本的最小值为.
当时,易证函数在区间上是单调递增函数,故当时, 即运输成本的最小值为.
(A卷)
一.选择题(本题共6小题)
1.若,则的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
2.若,且,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.若,则下列不等式中成立的是( )
(A) (B)
(C) (D)
4.已知,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
5.已知,、的等差中项为是,且,则的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
6.某工厂第一年年产值为,第二年的增长率为,第三年的增长率,这两年的平均增长率为,则有( )
(A) (B) (C) (D)
二.填空题(本题共有4小题)
7.若,且,则的最小值为_____.
8.若两正数、的等差中项为,它们的等比中项为,则和的大小关系为____.
9.若,则函数的最大值为_______.
10.有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为,上下空白宽都为,左右空白宽都为,则四周空白部分面积的最小值为________.
三.解答题(本题共4小题)
11.已知,求函数的最值.
12.若对于满足的任意正数、,不等式恒成立,试求实数的取值范围.
13.若,且,求的最大值.
14.一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长,问这个矩形的长和宽各为多少时,花园的面积最大 最大面积是多少
(B卷)
一.选择题(本题共4小题)
1.若,则有( )
(A)最小值 (B)最大值 (C)最小值 (D)最大值
2.已知,且,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.下列结论中正确的是( )
(A)当且时, (B)当时, (C)当时,的最小值是 (D)当时,无最大值
4.下列函数中,最小值为的是( )
(A) (B) (C) (D)
二.填空题(本题共2小题)
5.若,则函数的最小值为______.
6.在面积与周长的数值相等的所有直角三角形中,面积的最小值为_______.
三.解答题(本题共有2小题)
7.若,求函数的最小值.
8.某单位需要建造一个长方形有盖储水池,其容积为,深为.如果池底每平方米的造价为元,池顶每平方米的造价为元,池壁每平方米的造价为元.问怎样设计水池底的长与宽,能使总造价最低 最低总造价是多少
(备选题)
一.选择题(本题共3小题)
1.若,则函数的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
2.若,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.周长为的一根铁丝,做成一个矩形,则其面积的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
二.填空题(本题共3小题)
4.若正数、满足,则的最小值为__________.
5.若,且满足,则的最大值为_________.
6.周长为的铁丝围成一个直角三角形,则其面积的最大值为_________.
三.解答题(本题共3小题)
7.设,且、为常数,求函数的最小值.
8.已知,求函数的最小值.
9.甲、乙两地相距千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过每小时千米.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度(单位:)的平方成正比,且比例系数为;固定部分为元.为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶
答案(A卷)
一.ADBCCB
1.由,得(当且仅当,即时,取等号).
2.因为,所以由(当且仅当,且,即时,取等号).
3.由,由
.又,故.
4.由,得(当且仅当,即时,取等号),则有,所以.
5.由条件,得,即.因为,所以有
(当且仅当且,即
时,取等号).
6.由题意有,则
,即(当且仅当,即时,取等号).
二.7. 8. 9. 10.
7.因为,所以由(当且仅当且,即时,取等号).
8.由条件,得,而,则有(当且仅当时取等号).
9.由,得.则,所以有
(当且仅当,即时,取等号).
10.设印刷部分的宽为,高为,则,则空白部分的面积为
(当且仅当,且,即时,取等号)
三.11解:若，则；若,则=≤
(当且仅当，即时取“=”）,则.
∴的最小值和最大值分别为和2.
12.解:≥16（当且仅当，，即时取“=”）.因此,对于满足题意的任意,使不等式恒成立,只需,即,故实数的取值范围为.
13.解:∵≤（当且仅当,即时，取“=”）,
∴的最大值为.
14.解:设矩形花园的长为米,宽为米(其中,则有,则矩形花园的面积为(当且仅当,且,即时,取等号).
故矩形花园面积的最大值为.
B卷
一.DABC
1.由,得,则(当且仅当,即时,取等号).
2. 由,得,则由
(当且仅当且,即时,取等号).
3.A中的不一定为正数;C中不能取到等号;D中的在区间上为单调递增函数,故有最大值.
4.A中的不一定为正数;B中的等号不能成立;D中的不一定为正数.
二.5. 6.
5.由,知,则
(当且仅当,即时,取等号).
6.由,则有
(当且仅当且,即
时,取等号).
三.7.解:由,得,则有
(当且仅当,即时,取等号).
故的最小值为.
8.解:设池底矩形的长为,宽为,则有.则水池的总造价为:
(元) (当且仅当且,即时,取等号).所以当池底设计为一个边长为的正方形时,总造价最低,且最低总造价为元.
备选题
一.BAD
1.由,得,则(当且仅当,即时,取等号).
2.设,则
,即.
3.设矩形的长为,宽为,则有,则其面积为
(当且仅当且,即时,取等号).
二.4. 5. 6.
4.由,得,解得(当且仅当且,即时,取等号).
5.因为,所以由,
,解得(当且仅当且,即时,取等号).
6.设直角边长为,则有,由此可得
.故其面积
(当且仅当且,即时,取等号).
三.7.解:由,可知,且,和为常数.则有
(当且仅当,即时,取等号).
故的最大值为.
8.解:由,得,则有
(当且仅当,即时,取等号).
故的最小值为.
9.解:设汽车的运输成本为,则有.
当且,即时,,即运输成本的最小值为.
当时,易证函数在区间上是单调递增函数,故当时, 即运输成本的最小值为.