11.1.1空间几何体与斜二测画法 40张课件 2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第十一章 立体几何初步
11.1　空间几何体
11.1.1　空间几何体与斜二测画法
新课程标准
素养风向标
1.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
2.了解空间图形的不同表示形式.
1.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图,会画出某些建筑物或零件的直观图.(数学抽象)
2.掌握直观图与原图形之间的转换,并能根据直观图求解原图形的相关问题.(直观想象)
基础预习初探
空间几何体在生活中很常见,你知道这些几何体是如何画出来的吗?
观察下面的图形,回答有关问题:
(1)从图1到图2,图形中的角发生了怎样的变化?
提示:由直角变成锐角或钝角.
(2)从图1到图2,从图形中的位置关系和数量关系上观察,你能发现什么?
提示:从位置关系看:图1中平行的线段,在图2中保持平行.
从数量关系看:与y轴重合或平行的线段数量关系减半;与x轴重合或平行的线段数量关系不变.
【概念生成】
1.几何体的定义
如果只考虑一个物体占有的空间_____和_____,而不考虑其他因素,则这个空
间部分通常可抽象为一个几何体.
2.直观图的概念
把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内,使得既富有立体感,又
能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.
形状
大小
3.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x′轴和y′轴,使得
它们正方向的夹角为_____(或135°).
(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与______平行(或重合)的线段,
且长度_____.
平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与______平行(或重合)的线段,且长
度为原来长度的_____.
(3)连接有关线段,擦去作图过程中的_______.
45°
x′轴
不变
y′轴
一半
辅助线
核心互动探究
探究点一　画平面图形的直观图
【典例1】按如图所示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.

【思维导引】按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图.
【解析】画法:
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴
上取O′E′= OE,分别过G′和H′作y′轴的平行线,并在相应的平行线上取
G′A′= GA,H′D′= HD.
(4)连接A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,x′轴与y′轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
【类题通法】
直观图的画法
1.画水平放置的平面多边形的直观图,关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类:一类是在轴上或在与轴平行的线段上;另一类是不在轴上,且不在与轴平行的线段上,遇到这类顶点一般要过此点作与轴平行的线段,将其转化到与轴平行的线段上.
2.注意直观图中的“变”与“不变”.在用平面图形表示其直观图时,“不变”的有:
(1)平行关系不变;
(2)点的共线性不变;
(3)线的共点性不变.
“变”的有:(1)角的大小有变化;
(2)垂直关系有变化;
(3)某些线段的长度有变化.
提醒:同一个图形选取的坐标系不同,得到的直观图可能不同.
【定向训练】
　如图所示,在△ABC中,BC边上的高为AD,试用斜二测画法画出其直观图.
【解析】(1)先在三角形ABC中建立如图①所示的直角坐标系
xOy,再建立如图②所示的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.
(2)在坐标系x′O′y′中,在x′轴上截取O′B′=OB,O′C′=OC;在y′轴上截
取O′A′,使O′A′= OA.
(3)连接A′B′,C′A′,擦去辅助线得到△A′B′C′,即为△ABC的直观图.
探究点二　画空间几何体的直观图
【典例2】画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.
【思维导引】画轴→画底面→画顶点→成图.
【解析】画法:(1)画轴:
画O′x′轴、O′y′轴、O′z′轴,∠x′O′y′=45°(或135°), ∠x′O′z′ =90°,如图①.
(2)画底面:以O′为中心,在x′O′y′平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点:在O′z′轴上截取O′P,使O′P的长度是原四棱锥的高.
(4)成图:顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②.
【类题通法】
空间图形的直观图的画法
1.画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画z轴,并确定竖直方向上的相关的点,最后连点成图便可.
2.直观图画法口诀可以总结为:“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变”.
【定向训练】
　用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.
【解析】(1)画轴:画x′轴、y′轴、z′轴,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°.
(2)画底面:在面x′O′y′内,画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱:过A,B,C,D,E,F分别作z′轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′,FF′都等于侧棱长.
(4)成图:顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,F′各点,并加以整理就得到正六棱柱的直观图,如图所示.
【补偿训练】
画出长为1.6 cm,宽为1.4 cm,高为1.6 cm的长方体的直观图.
【解析】(1)画出x轴、y轴、z轴三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图所示.
(2)在x轴上取OA=1.6 cm,在y轴上取OC=0.7 cm,过点A作AB∥OC,过点C作CB∥OA,则四边形OABC为下底面.
(3)在z轴上取OO′=1.6 cm,过点O′作O′x′∥Ox,O′y′∥Oy,建立坐标系x′O′y′,重复(2)的步骤作出上底面O′A′B′C′.
(4)连接AA′,BB′,CC′,OO′,
即得到长方体OABC-O′A′B′C′的直观图.

探究点三　直观图的还原和计算问题
【典例3】如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法下的直观图,C′A′=2,B′D′∥y′轴,且B′D′=1.5.
(1)画出△ABC;
(2)求△ABC的面积.
【思维导引】解答本题的关键是点B位置的还原.
【解析】(1)步骤:①画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O′A′,即CA=C′A′;
②在x轴上取OD=O′D′,过点D作DB∥y轴,并使DB=2D′B′.③连接AB,BC,即得到△ABC,如图.
(2)因为B′D′∥y′轴,所以BD⊥AC.
又B′D′=1.5,且A′C′=2,
所以BD=3,AC=2.
所以S△ABC= BD·AC=3.
【类题通法】
1.直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
2.直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,则有S′= S或S=
2 S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原
图形面积.
【定向训练】
如图所示,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′,A1B1∥
C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形的形状,并求出原图形的面
积.
【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形.
由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,
直角腰的长度AD=2,
所以面积为S= ×2=5.
【补偿训练】
如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6 cm,C′D′=2 cm,则原图形的形状是________.?
【解析】如图所示,在原图形OABC中,应有OD=2O′D′
=2×2 =4 (cm),
CD=C′D′=2(cm),
所以OC= =6(cm),
所以OA=OC,故四边形OABC是菱形.
答案:菱形
【课堂小结】
课堂素养达标
1.有下列叙述:
①相等的角,在直观图中仍相等;
②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等;
③若两条线段互相平行,则在直观图中对应的线段仍互相平行;
④若两条线段互相垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.
其中正确的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.从原图到直观图只能保证平行的线段仍互相平行,故只有③正确.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A′等于 (　　)
A.45° B.135°
C.90° D.45°或135°
【解析】选D.因为∠A的两边平行于x轴、y轴,故∠A=90°.在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.
3.如图所示,为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为________.?
【解析】
画出直观图,BC对应B′C′,且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到x′轴的距离为 .
答案:
4.如图所示的直观图△A′O′B′,其平面图形的面积为________.?
【解析】由直观图可知其对应的平面图形AOB中,∠AOB=90°,OB=3,OA=4,
所以S△AOB= OA·OB=6.
答案:6