11.3.3平面与平面平行 课件 2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册（43张PPT）

11.3.3　平面与平面平行
基础预习初探
1.观察长方体ABCD-A′B′C′D′知,平面ABCD与平面A′B′C′D′互相平行,那么在平面ABCD内直线m与在平面A′B′C′D′内的直线l有怎样的位置关系呢?
2.如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个平面也相交.那么如何将文字语言转化为图形语言和符号语言?
继续探究:
　(1)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与平面α平行吗?
提示:平行.
(2)观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
思考1　平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗?
提示:是的.
思考2　过BC的平面BCC1B1交平面A1B1C1D1于B1C1,B1C1与BC是什么关系?
提示:平行.
【概念生成】
1.两个平面的位置关系
位置
关系
图示
表示法
公共点
个数
两平面
平行

_______
____
两平面
相交

________
_________
_______
α∥β
0个
α∩β=l
无数个点
(共线)
2.平面与平面平行的判定与性质
(1)平面与平面平行的判定
①文字语言:如果一个平面内有两条_____直线分别平行于另一个平面,那么这
两个平面平行.
②符号语言:a?β,b?β,_______,a∥α,b∥α?β∥α.
③图形语言:如图所示.
相交
a∩b=P
(2)平面与平面平行的性质定理
①文字语言:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线_____.
②符号语言:α∥β,α∩γ=a, _________?a∥b.
③图形语言:如图所示.
④作用:证明两直线_____.
平行
β∩γ=b
平行
核心互动探究
探究点一　平面与平面平行的判定
【典例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是棱C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面MNP∥平面A1BD.
【思维导引】利用三角形中位线原理合理作出辅助线构造三角形,证明MN∥A1D.PN∥BD.
【证明】如图,连接B1C.
由已知得A1D∥B1C,且MN∥B1C,所以MN∥A1D.
又因为MN?平面A1BD,A1D?平面A1BD,
所以MN∥平面A1BD.
连接B1D1,同理可证PN∥平面A1BD.
又因为MN?平面MNP,PN?平面MNP,
且MN∩PN=N,所以平面MNP∥平面A1BD.
【延伸探究】若本例条件不变,求证:平面CB1D1∥平面A1BD.
【证明】因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以DD1???? BB1,所以BDD1B1为平行四边形,
所以BD∥B1D1,
又BD?平面CB1D1,B1D1?平面CB1D1,
所以BD∥平面CB1D1,同理A1D∥平面CB1D1.
又因为BD?平面A1DB,A1D?平面A1DB,且BD∩A1D=D,所以平面CB1D1∥平面A1BD.
　【类题通法】
判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法:证明两个平面没有公共点,通常采用反证法.
(2)利用判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条直线分别平行,则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
【定向训练】
　如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,
所以B,C,H,G四点共面.
(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,
所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB,A1G=EB,
所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,
所以A1E∥平面BCHG.
又因为A1E?平面A1EF,EF?平面A1EF且A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.
【补偿训练】
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,
PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.
求证:平面MNQ∥平面PBC.
【证明】因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP.
又因为BP?平面PBC,NQ?平面PBC,
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形.
所以BC∥AD,所以MQ∥BC.
又因为BC?平面PBC,MQ?平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ?平面MQN,NQ?平面MQN,且MQ∩NQ=Q,
所以平面MNQ∥平面PBC.
探究点二　面面平行性质定理的应用
【典例2】如图所示,平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在平行四边形A′B′C′D′外,且AA′,BB′,CC′,DD′互相平行,求证:四边形ABCD是平行四边形.

【思维导引】充分利用?A′B′C′D′的平行关系及AA′,BB′,CC′,DD′间的平行关系,先得出线面平行,再得面面平行,最后由平面平行的性质定理得线线平行.
【证明】因为四边形A′B′C′D′是平行四边形,
所以A′D′∥B′C′.
因为A′D′?平面BB′C′C,B′C′?平面BB′C′C,
所以A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.
因为A′D′?平面AA′D′D,AA′?平面AA′D′D,
且A′D′∩AA′=A′,所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又因为AD,BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D,
平面BB′C′C的交线,所以AD∥BC.
同理可证AB∥CD.所以四边形ABCD是平行四边形.
　【类题通法】
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
【定向训练】
　如图,α∥β∥γ,直线a与b分别交α,β,γ于点A,B,C和点D,E,F.
(1)求证: ;
(2)若AB=BC,AD=2,BE= ,CF=4,求直线AD与CF所成的角.
【解析】(1)连接AF交平面β于点G,
连接AD,BE,CF,BG,EG.
由β∥γ,平面ACF∩β=BG,平面ACF∩γ=CF,
得BG∥CF,则
同理,由α∥β,可得GE∥AD,则
所以
(2)因为BG∥CF,GE∥AD,
所以∠BGE(或其补角)就是直线AD与CF所成的角.
因为 所以BG=2,GE=1,
又BE= ,CF=4,
所以由余弦定理可得cos∠BGE= ,得∠BGE=120°.
故直线AD与CF所成的角为60°.
探究点三　平行关系的综合应用
【典例3】设AB,CD为夹在两个平行平面α,β之间的线段,且直线AB,CD为异面直线,M,P分别为AB,CD的中点.求证:MP∥平面β.
【思维导引】经过直线MP作辅助平面,通过面面平行证明线面平行.
【证明】如图,过点A作AE∥CD交平面β于点E,连接DE,BE.
因为AE∥CD,所以AE,CD确定一个平面,设为γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=DE.
又α∥β,所以AC∥DE(平面平行的性质定理),
取AE的中点N,连接NP,MN,
因为M,P分别为AB,CD的中点,
所以NP∥DE,MN∥BE.
又NP?β,DE?β,MN?β,BE?β,
所以NP∥β,MN∥β,
又因为NP?平面MNP,MN?平面MNP,且NP∩MN=N,所以平面MNP∥β.
因为MP?平面MNP,MP?β,所以MP∥β.
　【类题通法】
解决平行关系的综合问题的方法
(1)在遇到线面平行时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.
(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.
【定向训练】
　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,使得平面D1BQ∥平面PAO?
【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,
连接PQ,如图,易证四边形PQBA是平行四边形,
所以QB∥PA.
又因为AP?平面APO,QB?平面APO,
所以QB∥平面APO.
因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO,
又因为D1B?平面D1BQ,QB?平面D1BQ且D1B∩QB=B,
所以平面D1BQ∥平面PAO.
【补偿训练】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图.
(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=FC.
【解析】(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
AD???? B1C1,
所以四边形AB1C1D是平行四边形,
所以AB1∥C1D.
又因为C1D?平面C1BD,AB1?平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1=B1,AB1?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接A1C,连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1?平面AB1D1,
所以点E也在平面AB1D1内,
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点;
连接AC交BD于O,连接C1O与A1C交于点F,
则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
证明A1E=EF=FC的过程如下:
因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,
平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,
平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,
所以E是A1F的中点,即A1E=EF;
同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,
即CF=FE,所以A1E=EF=FC.
【课堂小结】
三种平行关系的转化
三种平行关系是紧密相连的,可以任意转化,其相互转化关系如图所示:
课堂素养达标
1.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是 (　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能确定
【解析】选C.如图所示,由图可知C正确.
2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,下列推理正确的是 (　　)
A.若α与β相交,a?α,b?β,则a与b一定相交
B.若a?α,b?β,a∥b,则α∥β
C.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥β
D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b
【解析】选D.A错误,a与b,可能平行也可能是异面直线;由平面与平面平行的判定定理知B,C错误;由平面与平面平行的性质定理知,D正确.
3.已知a,b,c为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是 (　　)
A.若a∥b,b?α,则a∥α
B.若a?α,b?β,a∥b,则α∥β
C.若α∥β,a∥α,则a∥β
D.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c
【解析】选D.若a∥b,b?α,则a∥α或a?α,故A不正确.
若a?α,b?β,a∥b,则α∥β或α与β相交,故B不正确.
若α∥β,a∥α,则a∥β或a?β,故C不正确.
如图,由a∥b可得b∥α,易证b∥c,故D正确.
4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是______.?
【解析】由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,平面ABCD∩平面A1C1B=l,
所以l∥A1C1.
答案:平行