10.2.2复数的乘法与除法 课件 2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册（44张PPT）
文档属性
| 名称 | 10.2.2复数的乘法与除法 课件 2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册（44张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 672.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-30 10:06:01 | ||
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文档简介
10.2.2 复数的乘法与除法
基础预习初探
1.回顾多项式乘法运算,类比复数的乘法运算:
(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2=____________.?
(2)z1 =____________.?
(3) =____________.?
提示:(1)z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=
(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)z1 =(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2.
(3) =(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi.
答案:(1)(ac-bd)+(ad+bc)i (2)a2+b2 (3)a2-b2+2abi
2.复数的除法运算与乘法运算有什么联系?怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算?
提示:复数的除法运算与乘法运算互为逆运算,可以由复数的乘法运算得到除法运算法则,即 =z?z1=zz2.
设复数a+bi除以非零复数c+di的商为x+yi,
即x+yi= 等价于(x+yi)(c+di)=a+bi,
通过相等复数解方程可得,(xc-yd)+(xd+yc)i=a+bi,
所以 消去y,解得x= ,
同理消去x,解得y=
所以 (c+di≠0).
【概念生成】
1.复数的乘法运算
(a+bi)(c+di)= _________________.
2.复数乘法的运算律
运算律
恒等式
交换律
z1z2=____
结合律
(z1z2)z3= ________
分配律
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(ac-bd)+(ad+bc)i
z2z1
z1(z2z3)
3.复数的乘方
n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn,即zn=z×z×…×z(n个z相乘).
当m,n都为正整数时,zmzn=____,(zm)n=___,(z1z2)n=____.
zm+n
zmn
4.复数的除法运算(分母实数化)
(1)如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z= (或
z=z1÷z2).
(2)一般地,给定复数z≠0,称 为z的倒数.
z1除以z2的商 也可以看成z1与z2的倒数之积.
(3)复数的除法法则:通过z2 =(c+di)(c-di)=c2+d2,可以实现复数除法的
“分母实数化”:
i(c+di≠0).
5.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)在复数范围内总有解
(1)Δ=b2-4ac≥0时,有两个实根.
(2)Δ<0时,有两个互为共轭的虚数根x1,2= ,根与系数的关系仍成
立 .
核心互动探究
探究点一 复数的乘法运算
【典例1】1.复平面内,若复数z满足z=(i-1)(2-i),则 对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.计算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).
【思维导引】1.利用复数的乘法运算结果判断.
2.利用复数的乘法运算法则进行计算.
【解析】1.选C.由于z=(i-1)(2-i)=2i-i2-2+i=-1+3i,则 =-1-3i, 对应的
点(-1,-3)在第三象限.
2.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2
=5(3-4i)=15-20i.
【类题通法】
复数乘法运算的注意事项
1.复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.
2.多个复数的乘法运算,可以利用乘法交换律和结合律进行简便运算,注意两个共轭复数的积是实数.
提醒:灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”进行复数乘法计算.
【定向训练】
1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b= ( )
A.-2 B.- C. D.2
【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.
2.(2020·全国Ⅱ卷)(1-i)4= ( )
A.-4 B.4 C.-4i D.4i
【解析】选A.(1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.
探究点二 复数的除法运算
【典例2】1.(2019·全国Ⅰ卷)设z= ,则|z|= ( )
A.2 B. C. D.1
2.定义运算 =ad-bc.
若复数x= ,y= ,则y=________.?
3.计算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].
【思维导引】1.通过复数的除法运算化简,再计算复数的模.
2.利用复数的除法运算化简x,根据新定义计算y.
3.先对括号内的复数进行计算,再进行复数除法运算.
【解析】1.选C.由z=
得|z|= .
2.因为x= =-i.
所以y= =8i.
答案:8i
3.方法一:因为 ,
所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷ =(1+i)
÷ =2-i.
方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷
=(1+i)× =2-i.
【类题通法】
复数除法运算的注意事项
1.将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.
2.多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序进行计算.
提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2020·天津高考)i是虚数单位,复数 =________.?
【解析】
答案:3-2i
2.定义实部与虚部互为相反数的复数为“反复数”,若z=a-i+ 为“反复
数”,则实数a=________.?
【解析】因为z=a-i+ =a-i+ = 依题意,
得
即(a-1) =0,解得a=1.
答案:1
探究点三 复数的乘方运算以及周期性
【典例3】1.计算i+i2+i3+…+i2 020=________.?
2.已知w=- + i,求证:w3=1.
【思维导引】1.计算in,n∈N*的值,明确周期性再计算.
2.直接将复数的乘方运算转化为乘法运算证明,也可以利用分析法证明.
【解析】1.计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,
i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…
所以i+i2+i3+…+i2 020=505×0=0.
答案:0
2.方法一:由w=- + i,
得w2=
所以w3=w2w=
方法二:由于w=- + i,
要证w3=1,只需证w3-1=0,
即证(w-1)(w2+w+1)=0,
即证w2+w+1=0,
即证w2+w=w(w+1)=-1,
因为w(w+1)= =-1,
所以等式得证.
【类题通法】
虚数单位乘方的周期性
in(n∈N*)的周期性
计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,
i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N*,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,
同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,
这就是说,如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.
(2)n可推广到整数集.
(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.
显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为
i的计算.一般地,有(1±i)2=±2i, =i, =-i.
【定向训练】
1.设f(n)= (n∈N+),则集合{f(n)}中元素的个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.无数个
【解析】选B.因为
所以f(n)= =in+(-i)n,
f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,
f(5)=0,f(6)=-2,f(7)=0,…
集合{f(n)}={0,2,-2},共有3个元素.
2.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则 的值为________.?
【解析】复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,可得a=1,
=1-i.
答案:1-i
3.已知复数z= ,则复数z=________.?
【解析】因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i+i2+i3+i4=0,而2 022=5×404+2,
所以z= =i.
答案:i
探究点四 实系数一元二次方程的求根公式
【典例4】在复数范围内解下列一元二次方程:
(1)x2+9=0;(2)x2-x+1=0.
【思维导引】(1)利用复数的乘方运算解方程.
(2)利用配方法解方程,也可以运用一元二次方程的求根公式解方程.
【解析】(1)由x2+9=0得x2=-9=(±3i)2,所以x=±3i.
(2)方法一:由x2-x+1=0
配方得x2-x+ =- ,
即
所以
解得
方法二:由x2-x+1=0,得Δ=(-1)2-4=-3,
由实系数一元二次方程的求根公式,
得x1,2=
【类题通法】
对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,设其两个复数根分别为x1,x2,
根与系数的关系仍然成立:x1+x2=- ,x1x2= .
【定向训练】
1.解方程x2+2x+3=0.
【解析】由方程x2+2x+3=0,得Δ=b2-4ac=-8,所以方程的两根为
x1,2=
2.已知一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,求a的值以及另一个
根.
【解析】方法一:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,
则(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.
方程为x2-2x+5=0,Δ=b2-4ac=-16,所以方程的两根为x1,2= =1±2i,
所以方程另一个根为1-2i.
方法二:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,则另一个根
为1-2i,由根与系数的关系,得x1+x2=- ,即a=2.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i,所以复平面内表示复数z的点位于第三象限.
2.在复平面内与复数z= 所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复
数为 ( )
A.1+2i B.1-2i
C.-2+i D.2+i
【解析】选C.复数z= =i(1-2i)=2+i,z对应的点的坐标是(2,1),
该点关于虚轴对称的点A(-2,1)对应的复数为-2+i.
3.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,则 =________,z的倒数为______.?
【解析】因为z= =2-i,所以 =2+i.
z的倒数为
答案:2+i
4.已知复数z满足z=(-1+3i)·(1-i)-4.
(1)求复数z的共轭复数.
(2)若ω=z+ai,且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.
【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数z的共轭复数为-2-4i.
(2)ω=-2+(4+a)i,复数ω对应向量为(-2,4+a),其模为
又复数z所对应向量为
(-2,4),其模为2 .由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得,
20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤0,
所以,实数a的取值范围是-8≤a≤0.
基础预习初探
1.回顾多项式乘法运算,类比复数的乘法运算:
(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2=____________.?
(2)z1 =____________.?
(3) =____________.?
提示:(1)z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=
(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)z1 =(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2.
(3) =(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi.
答案:(1)(ac-bd)+(ad+bc)i (2)a2+b2 (3)a2-b2+2abi
2.复数的除法运算与乘法运算有什么联系?怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算?
提示:复数的除法运算与乘法运算互为逆运算,可以由复数的乘法运算得到除法运算法则,即 =z?z1=zz2.
设复数a+bi除以非零复数c+di的商为x+yi,
即x+yi= 等价于(x+yi)(c+di)=a+bi,
通过相等复数解方程可得,(xc-yd)+(xd+yc)i=a+bi,
所以 消去y,解得x= ,
同理消去x,解得y=
所以 (c+di≠0).
【概念生成】
1.复数的乘法运算
(a+bi)(c+di)= _________________.
2.复数乘法的运算律
运算律
恒等式
交换律
z1z2=____
结合律
(z1z2)z3= ________
分配律
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(ac-bd)+(ad+bc)i
z2z1
z1(z2z3)
3.复数的乘方
n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn,即zn=z×z×…×z(n个z相乘).
当m,n都为正整数时,zmzn=____,(zm)n=___,(z1z2)n=____.
zm+n
zmn
4.复数的除法运算(分母实数化)
(1)如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z= (或
z=z1÷z2).
(2)一般地,给定复数z≠0,称 为z的倒数.
z1除以z2的商 也可以看成z1与z2的倒数之积.
(3)复数的除法法则:通过z2 =(c+di)(c-di)=c2+d2,可以实现复数除法的
“分母实数化”:
i(c+di≠0).
5.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)在复数范围内总有解
(1)Δ=b2-4ac≥0时,有两个实根.
(2)Δ<0时,有两个互为共轭的虚数根x1,2= ,根与系数的关系仍成
立 .
核心互动探究
探究点一 复数的乘法运算
【典例1】1.复平面内,若复数z满足z=(i-1)(2-i),则 对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.计算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).
【思维导引】1.利用复数的乘法运算结果判断.
2.利用复数的乘法运算法则进行计算.
【解析】1.选C.由于z=(i-1)(2-i)=2i-i2-2+i=-1+3i,则 =-1-3i, 对应的
点(-1,-3)在第三象限.
2.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2
=5(3-4i)=15-20i.
【类题通法】
复数乘法运算的注意事项
1.复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.
2.多个复数的乘法运算,可以利用乘法交换律和结合律进行简便运算,注意两个共轭复数的积是实数.
提醒:灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”进行复数乘法计算.
【定向训练】
1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b= ( )
A.-2 B.- C. D.2
【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.
2.(2020·全国Ⅱ卷)(1-i)4= ( )
A.-4 B.4 C.-4i D.4i
【解析】选A.(1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.
探究点二 复数的除法运算
【典例2】1.(2019·全国Ⅰ卷)设z= ,则|z|= ( )
A.2 B. C. D.1
2.定义运算 =ad-bc.
若复数x= ,y= ,则y=________.?
3.计算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].
【思维导引】1.通过复数的除法运算化简,再计算复数的模.
2.利用复数的除法运算化简x,根据新定义计算y.
3.先对括号内的复数进行计算,再进行复数除法运算.
【解析】1.选C.由z=
得|z|= .
2.因为x= =-i.
所以y= =8i.
答案:8i
3.方法一:因为 ,
所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷ =(1+i)
÷ =2-i.
方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷
=(1+i)× =2-i.
【类题通法】
复数除法运算的注意事项
1.将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.
2.多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序进行计算.
提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2020·天津高考)i是虚数单位,复数 =________.?
【解析】
答案:3-2i
2.定义实部与虚部互为相反数的复数为“反复数”,若z=a-i+ 为“反复
数”,则实数a=________.?
【解析】因为z=a-i+ =a-i+ = 依题意,
得
即(a-1) =0,解得a=1.
答案:1
探究点三 复数的乘方运算以及周期性
【典例3】1.计算i+i2+i3+…+i2 020=________.?
2.已知w=- + i,求证:w3=1.
【思维导引】1.计算in,n∈N*的值,明确周期性再计算.
2.直接将复数的乘方运算转化为乘法运算证明,也可以利用分析法证明.
【解析】1.计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,
i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…
所以i+i2+i3+…+i2 020=505×0=0.
答案:0
2.方法一:由w=- + i,
得w2=
所以w3=w2w=
方法二:由于w=- + i,
要证w3=1,只需证w3-1=0,
即证(w-1)(w2+w+1)=0,
即证w2+w+1=0,
即证w2+w=w(w+1)=-1,
因为w(w+1)= =-1,
所以等式得证.
【类题通法】
虚数单位乘方的周期性
in(n∈N*)的周期性
计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,
i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N*,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,
同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,
这就是说,如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.
(2)n可推广到整数集.
(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.
显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为
i的计算.一般地,有(1±i)2=±2i, =i, =-i.
【定向训练】
1.设f(n)= (n∈N+),则集合{f(n)}中元素的个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.无数个
【解析】选B.因为
所以f(n)= =in+(-i)n,
f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,
f(5)=0,f(6)=-2,f(7)=0,…
集合{f(n)}={0,2,-2},共有3个元素.
2.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则 的值为________.?
【解析】复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,可得a=1,
=1-i.
答案:1-i
3.已知复数z= ,则复数z=________.?
【解析】因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i+i2+i3+i4=0,而2 022=5×404+2,
所以z= =i.
答案:i
探究点四 实系数一元二次方程的求根公式
【典例4】在复数范围内解下列一元二次方程:
(1)x2+9=0;(2)x2-x+1=0.
【思维导引】(1)利用复数的乘方运算解方程.
(2)利用配方法解方程,也可以运用一元二次方程的求根公式解方程.
【解析】(1)由x2+9=0得x2=-9=(±3i)2,所以x=±3i.
(2)方法一:由x2-x+1=0
配方得x2-x+ =- ,
即
所以
解得
方法二:由x2-x+1=0,得Δ=(-1)2-4=-3,
由实系数一元二次方程的求根公式,
得x1,2=
【类题通法】
对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,设其两个复数根分别为x1,x2,
根与系数的关系仍然成立:x1+x2=- ,x1x2= .
【定向训练】
1.解方程x2+2x+3=0.
【解析】由方程x2+2x+3=0,得Δ=b2-4ac=-8,所以方程的两根为
x1,2=
2.已知一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,求a的值以及另一个
根.
【解析】方法一:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,
则(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.
方程为x2-2x+5=0,Δ=b2-4ac=-16,所以方程的两根为x1,2= =1±2i,
所以方程另一个根为1-2i.
方法二:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,则另一个根
为1-2i,由根与系数的关系,得x1+x2=- ,即a=2.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i,所以复平面内表示复数z的点位于第三象限.
2.在复平面内与复数z= 所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复
数为 ( )
A.1+2i B.1-2i
C.-2+i D.2+i
【解析】选C.复数z= =i(1-2i)=2+i,z对应的点的坐标是(2,1),
该点关于虚轴对称的点A(-2,1)对应的复数为-2+i.
3.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,则 =________,z的倒数为______.?
【解析】因为z= =2-i,所以 =2+i.
z的倒数为
答案:2+i
4.已知复数z满足z=(-1+3i)·(1-i)-4.
(1)求复数z的共轭复数.
(2)若ω=z+ai,且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.
【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数z的共轭复数为-2-4i.
(2)ω=-2+(4+a)i,复数ω对应向量为(-2,4+a),其模为
又复数z所对应向量为
(-2,4),其模为2 .由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得,
20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤0,
所以,实数a的取值范围是-8≤a≤0.