人教高中数学选修2-3第二章 2．1．1离散型随机变量 教案

第二章
随机变量及其分布
2．1．1离散型随机变量
一、教学重难点：
重点：离散型随机变量的方差、标准差。
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决问题。
教学过程：
二、讲解新课：
思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1
,
2
，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和
0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1
)
.
在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．
定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random
variable
)．随机变量常用字母
X
,
Y，，，…
表示．
思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．
例如，在含有10件次品的100
件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X
将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0,
1,
2
,
3,
4
}
.
利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”
,
{X
=4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X<
3
｝在这里表示什么事件吗？“抽出
3
件以上次品”又如何用
X
表示呢？
定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
(
discrete
random
variable
)
.
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数
X
是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0,
1,2，….
思考3：电灯的寿命X是离散型随机变量吗？
电灯泡的寿命
X
的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以
X
不是离散型随机变量．
在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000
小时，那么就可以定义如下的随机变量：
与电灯泡的寿命
X
相比较，随机变量Y的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．
连续型随机变量:
对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上
（2）若是随机变量，是常数，则也是随机变量
三、讲解范例：
例1．
写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5
现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η
解：(1)
ξ可取3，4，5
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，…
η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
例2．
抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>
4”表示的试验结果是什么？
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点
例3
某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2
(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．
所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
四、课堂练习：
1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数；②长江上某水文站观察到一天中的水位；③某超市一天中的顾客量
其中的是连续型随机变量的是（
）
A．①；　　B．②；　　C．③；　　D．①②③
２.随机变量的所有等可能取值为，若，则（
）
A．；　　B．；　　C．；　　D．不能确定
3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（
）
A．；　　B．；　　C．；　　D．
4.如果是一个离散型随机变量，则假命题是(
)
A.
取每一个可能值的概率都是非负数；B.
取所有可能值的概率之和为1；
C.
取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D.
在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
答案：1.B
2.C
3.B
4.D