人教高中数学选修2-3 1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教案

1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学重难点：
教学重点：二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）
教学难点：
理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点。
利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透。
教学过程：3课时
第一课时
一、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数
定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值．∵，
∴相对于的增减情况由决定，，
当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
二、讲解范例：
例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式中，令，则，
即，
∴，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知.
例2．已知，求：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）当时，，展开式右边为
∴，
当时，，∴，
（2）令，
①
令，
②
①②
得：，∴
.
（3）由展开式知：均为负，均为正，
∴由（2）中①+②
得：，
∴
，
∴
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：
=，
∴原式中实为这分子中的，则所求系数为
第二课时
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
解：∵
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为
，
∴此展开式中x的系数为240
例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10
设第r+1项为常数项，又
令，
此所求常数项为180
例6．
设，
当时，求的值
解：令得：
，
∴，
点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例7．求证：．
证（法一）倒序相加：设
①
又∵　　　②
∵，∴，
由①+②得：，
∴，即．
（法二）：左边各组合数的通项为
，
∴
．
例8．在的展开式中,求:
①二项式系数的和;　
②各项系数的和;　
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;　
④奇数项系数和与偶数项系数和;　
⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.
解：设(
),
各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.
由于(
)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为.
②令,各项系数和为.
③奇数项的二项式系数和为,
偶数项的二项式系数和为.
④设,
令,得到…(1),
令,(或,)得…(2)
(1)+(2)得,
∴奇数项的系数和为;
(1)-(2)得,
∴偶数项的系数和为.
⑤的奇次项系数和为;
的偶次项系数和为.
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第三课时
例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：由题意,解得.
①的展开式中第6项的二项式系数最大,
即.
②设第项的系数的绝对值最大,
则
∴,得,即
∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项
例10．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令，则展开式中各项系数和为，
又展开式中二项式系数和为，
∴，．
（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，，
（2）设展开式中第项系数最大，则，
∴，∴，
即展开式中第项系数最大，．
例11．已知，
求证：当为偶数时，能被整除
分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式
∵，
∴，∵为偶数，∴设（），
∴
（）
，
当=时，显然能被整除，
当时，（）式能被整除，
所以，当为偶数时，能被整除
三、课堂练习：
1．展开式中的系数为
，各项系数之和为
．
2．多项式（）的展开式中，的系数为
3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（
）
A.4
B.5
C.6
D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应
（
）
A.低于5％
B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间
D.在8％以上
5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（
）
A.0
B.
C.
D.
6．求和：．
7．求证：当且时，．
8．求的展开式中系数最大的项
答案：1.
45,
0
2.
0
．提示：
3.
B
4.
C
5.
D
6.
7.
(略)
8.
四、小结
：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而
展开式的系数的最大的项等于，求的值答案：
2．设
求：①
②．答案：①；
②
3．求值：．答案：
4．设，试求的展开式中：
（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
答案：（1）；
（2）所有偶次项的系数和为；所有奇次项的系数和为
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