江西省师大附中2012届高三下学期开学考试（数学理）

江西师大附中高三数学(理)开学考试试卷
命题人：张和良 审题人：蔡卫强 2012.1.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的．）
1．若复数z满足（i是虚数单位），则z ＝（ ）
A． B． C． D．
2．平面α⊥平面β, α∩β＝l, 点P∈α, 点Q∈l, 那么PQ⊥l是PQ⊥β的 （ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10:S5＝1:2，则S15:S5＝ ( )
A． 1:2 B． 1:3
C． 2:3 D． 3:4
4．如图给出的是计算的值的一个程序框图，
其中判断框内应填入的条件是 （ ）
A．i>10 B．i<10
C．i>20 D．i<20
5．将函数的图象向右平移个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线对称,则的最小正值为 ( )
A. B. C. D.
6．若函数在上可导，且，则 ( )
A. B． C． D．无法确定
7．若点是的外心，且，，则实数的值为( )
A． B． C． D．
8．由曲线和直线
所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
9．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆(a>b>0)的右焦点交椭圆于A．B两点,P为直线上任意一点,则∠APB为 （ ）
A．钝角 B．直角 C．锐角 D．都有可能
10．已知,实数、、满足 ,(0<<<)若实数是函数y=的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）
11．设，则的最小值为 ．
12．已知变量满足约束条件，若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围是 ．
13．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．则它的体积为 ．
14．对于定义在R上的函数f(x),有下述命题:
①若f(x)为奇函数,则的图象关于点A(1,0)对称;
②若对x∈R,有＝,则f(x)的图象关于直线x＝1对称;
③若函数的图象关于直线x＝1对称,则f(x)为偶函数;
④函数与函数的图象关于直线x＝1对称.
其中正确命题的序号是______________.
15．（不等式选做题）
若不等式，对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）
16．（本题满分12分）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.
17.（本题满分12分）设、、分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，若向量，且 ．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
18．（本题满分12分）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上射影D落在BC上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若点D恰为BC中点，且，求的大小；
（III）若，且当时，求二面角的大小．
19．（本题满分12分）已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且（
（Ⅰ）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使 得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由
20．（本题满分13分）已知函数，
（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（III）当时，证明：
21．（本题满分14分）在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
江西师大附中高三(理)数学答案2012.1.30
一、选择题 ACDAB CDDCD
二、填空题 11．8 12．(1，+∞) 13．72 14．①③ 15．
三、解答题
16．（本题满分12分）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.
解：设点P的坐标为（x，y），由题设有， 即．
整理得 x2+y2－6x+1=0． ①
因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±，
直线PM的方程为y=±（x＋1）． ②
将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋，x＝2－．
代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；
（2＋，－1－）或（2－，1－）．∴直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．
17.（本题满分12分）设、、分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，若向量 ，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
解：（Ⅰ） 由，得
即 , 亦即
所以
（Ⅱ） 因,
而, 所以，有最小值.
当时，取得最小值. 又，则有最大值.
故的最大值为.
18．（本题满分12分）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上射影D落在BC上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若点D恰为BC中点，且，求的大小；
（III）若，且当时，求二面角的大小．
解：（I）∵B1D⊥平面ABC，AC平面ABC，∴
又∵，，∴AC⊥平面
（II）
∴四边形为菱形， 又∵D为BC的中点，
∴为侧棱和底面所成的角，∴
∴，即侧棱与底面所成角．
（III）以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a,0,0），B(0,a,0)，，平面ABC的法向量，设平面ABC1的法向量为，
由，即， ，
∵二面角大小是锐二面角， ∴二面角的大小是.
19．（本题满分12分）已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且（
（Ⅰ）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使 得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由 ( http: / / www. / )
解：（Ⅰ）设P的坐标为，由 得
∴（化简得 ∴P点在双曲线上，其方程为
（Ⅱ）设A、B点的坐标分别为、，由 得
， ∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，
即 解得
∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD， ∴，即
∴ ∴
∴, 即存在符合要求.
20．（本题满分13分）已知函数，
（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（III）当时，证明：
解：（Ⅰ）在上恒成立，
令 ，有 得 得 .
（Ⅱ）假设存在实数，使（）有最小值3，
①当时，在上单调递减，，（舍去），
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件.
③当时，在上单调递减，，（舍去），
综上，存在实数，使得当时有最小值3.
（III）令，由（2）知，.令，，
当时，，在上单调递增
∴ 即
21．（本题满分14分）在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
解：（Ⅰ）解法一：， ，
．由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由，，可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设，　　　①
　　　　　　　　 ②
当时，①式减去②式，
得，
．
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
．　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
第4题
第8题
正视图
侧视图
俯视图