2020-2021学年 北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形的证明 单元测试 (Word版 含解析)

第一章
三角形的证明
单元测试
一．选择题
1．已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（　　）
A．12
B．9
C．10
D．12或9
2．等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（　　）
A．50°
B．40°
C．40°或100°
D．50°或100°
3．平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
5．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（　　）
A．α
B．4α﹣360°
C．α+90°
D．180°﹣α
7．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（　　）
A．8cm
B．9cm
C．10cm
D．11cm
8．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5.5
9．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是（　　）
A．不变
B．一直变小
C．先变大后变小
D．先变小后变大
10．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：
①AD是△ABC的高；
②AD是△ABC的中线；
③ED＝FD；
④AB＝AE+BF．
其中正确的个数有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二．填空题
11．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为　
　°．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为2的等边三角形，则A点的坐标是　
　．
13．如图，AC＝AD＝AB，AD∥BC，∠C＝70°，则∠D＝　
　°．
14．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝　
　．
15．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8，∠B＝15°，则EC的长为　
　．
16．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E．若AD＝12，则DE＝　
　；△EDC与△ABC的面积关系是：＝　
　．
17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝　
　度．
18．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是　
　．
19．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠AOC＝90°，∠A＝13°，则∠C＝　
　°．
20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，若∠ABD＝∠ADC＝90°，AC平分∠DAB，DE＝4，BC＝，则AE的长为　
　．
三．解答题
21．如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°，BD＝3，求CD．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC交∠ABC的平分线BD于点D，求证：AC＝AD．
23．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
24．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；
（2）求证：∠B＝2∠BCF．
25．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于E．
求：（1）∠BCD的度数；
（2）若DE＝3，求AB的长．
26．如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M．N为AB上的一点，D为BC的中点，DN＝BC．
（1）求证CN⊥AB．
（2）若∠A＝55°，则∠MDN＝　
　°．
27．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；
（2）若∠ABC＝29°，∠C＝47°，求∠CDE度数．
28．知识储备：
（1）如图1，AD是△ABC的高，则△ABC的面积S△ABC＝BC?AD．
比例的性质：若，则．
知识运用：
（2）如图2，BE是△ABC的角平分线，运用上述知识，求证：；
知识延展：
（3）如图3，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角形．
参考答案
一．选择题
1．解：①若5为腰长，2为底边长，
∵5，5，2能组成三角形，
∴此时周长为：5+5+2＝12；
②若2为腰长，5为底边长，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形，故舍去；
∴周长为12．
故选：A．
2．解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴底角是×（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
3．解：∵点A、B的坐标分别为A（1，1），B（2，0）．
∴AB＝，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（2，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．
故选：C．
4．解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
故选：C．
5．解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2BD＝2．
故选：B．
6．解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
7．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AE+BE＝CE+BE＝AB＝5cm，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝5+4＝9（cm）．
故选：B．
8．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵△ABD的面积为9，AB＝6，
∴DE＝，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴DE＝3，
∴DP≥3，
故选：A．
9．解：∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∴点D在BC边上从B至C的运动过程中，
∴AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，
故选：D．
10．解：∵BC恰好平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBD，
∵AC∥BF，
∴∠C＝∠FBD，
∴∠C＝∠ABC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BD，所以①②正确；
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH，
∵AC∥BF，DE⊥AC，
∴DF⊥BF，
∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，
∴DH＝DF，
∴DE＝DF，所以③正确；
在△ADE和△ADH中，
，
∴△ADE≌△ADH（HL），
∴AH＝AE，
同理可得BH＝BF，
∴AB＝AH+BH＝AE+BF，所以④正确．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝（180°﹣40°）÷2＝70°．
故答案为：70．
12．解：过A作AE⊥x轴于E，
∵△ABO是等边三角形，边长为2，
∴OA＝2，OE＝BE＝1，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AE＝＝＝，
即点A的坐标为（1，﹣）．
故答案为：（1，﹣）．
13．解：∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∴∠BAD＝110°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝（180°﹣∠BAD）＝35°，
故答案为：35．
14．解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝2，
∴AB＝2CD＝2×2＝4，
故答案为：4．
15．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝8，
∴BE＝AE＝8，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×8＝4，
∴EC＝AC＝4，
故答案为：．
16．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠BAC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵AD＝12，
∴DE＝AD＝6；
∵DE⊥AC，
∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴EC＝DC，
∴BC＝4EC，
∵S△EDC＝×6×EC＝3EC，S△ABC＝×12×BC＝6BC＝24EC，
∴．
故答案为：6，．
17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，
由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝30°，
故答案为：30．
18．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC?2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
19．解：如图，连接OB，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠A＝13°，
∴∠AOB＝180°﹣13°﹣13°＝154°，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣154°＝116°，
∵OE垂直平分BC，
∴∠C＝∠OBC＝（180°﹣116°）＝32°．
故答案为：32．
20．解：过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H，CJ⊥BD于J．
∵CA平分∠DAN，CD⊥AD，CH⊥AH，
∴∠DAC＝∠BAC，CD＝CH，
∵∠ADC＝∠ABD＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠CAB+∠AEB＝90°，
∴∠ACD＝∠AEB，
∵∠DEC＝∠AEB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC＝CH＝4，
∵∠CJB＝∠JBH＝∠H＝90°，
∴四边形BHCE是矩形，
∴BE＝CH＝4，EC＝BH＝＝＝，
∴DE＝＝＝，
∴JE＝DE﹣DJ＝4﹣＝，EB＝BJ﹣EJ＝4﹣＝，
∴EC＝＝＝，
∵CJ∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
故答案为：
三．解答题
21．证明：∵∠ADC＝60°，∠BAD＝30°，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，
∴BD＝AD＝3，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
∴CD＝2AD＝6．
22．证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠D，
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AC＝AD．
23．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC?DH＝8×4＝16．
24．证明：（1）连接DF，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF＝AB＝BF，
∵DC＝BF，
∴DC＝DF，
∵点E是CF的中点．
∴DE⊥CF；
（2）∵DC＝DF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，
∵DF＝BF，
∴∠FDB＝∠B，
∴∠B＝2∠BCF．
25．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，
∴CD＝AD，DE⊥AC，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，
（2）∵∠B＝60°
∴∠BCD＝∠B＝60°
∴BD＝CD，
∴BD＝CD＝AD＝AB，
∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，
∴AD＝2DE＝6，
∴AB＝2AD＝12．
26．（1）证明：∵BM⊥AC，点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝DM＝BC，
∵DN＝BC，
∴DM＝DN＝BD＝CD，
∴∠DBN＝∠BND，∠DNC＝∠DCN，
∵∠NBD+∠BNC+∠NCD＝180°，
∴2∠BND+2∠CND＝180°，
∴∠BND+∠CND＝90°，
即∠CNB＝90°，
∴CN⊥AB；
（2）解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠BNC＝∠BMC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴DN＝BD，DM＝CD，
∴∠BND＝∠NBD，∠DMC＝∠MCD，
∴∠BND+∠DMC＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝125°，
∴∠AND+∠AMD＝360°﹣125°＝235°，
∴∠MDN＝360°﹣∠A﹣∠AND﹣∠AMD＝70°，
故答案为：70．
27．解：（1）∵BD垂直平分AE，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+AD+CD+CE＝18，CD+CE+DE＝6，
∴2AB＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝29°，∠C＝47°，
∴∠BAC＝104°，
∵AB＝BE，∠ABC＝29°，
∴∠BAE＝∠AEB＝，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAE＝104°﹣＝，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠CDE＝2∠DAE＝57°．
28．2．证明：作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分别是F，G，H，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EG，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
3．证明：由（1）知，
∴，
∵AB+AE＝BC+CE，
∴，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．