2020-2021学年沪科 版八年级下册数学 第18章 勾股定理 单元测试题（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年沪科 版八年级下册数学 第18章 勾股定理 单元测试题（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 244.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-29 18:32:16 | ||
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文档简介
2020-2021学年八年级下册数学沪科新版《第18章
勾股定理》单元测试题
一．选择题
1．在直角三角形中，两个锐角的关系是（ ）
A．互余
B．互补
C．相等
D．以上都不对
2．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．1，2，5
B．15，8，17
C．9，12，13
D．
3．要登上12
m高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5
m，则梯子的长度至少为（ ）
A．12m
B．13m
C．14m
D．15m
4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A．121
B．120
C．132
D．不能确定
5．在y轴上，与点A（3，﹣2）的距离等于3的点有（ ）
A．1个
B．2个
C．4个
D．0个
6．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．
cm
B．13cm
C．
cm
D．
cm
7．观察图形，可以验证（ ）
A．a2+b2＝c2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
8．以线段AB为一边的等腰直角三角形有（ ）
A．1个
B．2个
C．4个
D．6个
9．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．7，24，25
B．3，4，5
C．3，4，5
D．4，7，8
二．填空题
10．一座桥横跨由西向东的一条河，桥长24m，一小船从桥南头出发，向正北方向驶去，由于水流原因，到达北岸后，发现已偏离桥北头10m，则小船实际行驶了
．
11．一长方体如图，在A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点的食物，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是
．
12．写四组勾股数组．
，
，
，
．
13．（1）如图①，在Rt△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC＝
．
（2）如图②，∠ACB＝90°，E、F为AB上的点，AE＝AC，BC＝BF，则∠ECF＝
．
14．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：
S梯形＝（上底+下底）?高＝（a+b）?（a+b），即S梯形＝（
）①
S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表示相应图形的面积）
＝
+
+
，即S梯形＝（
）②
由①、②，得a2+b2＝c2．
15．直角三角形两直角边的长为8和6，则斜边长为
，斜边上的高为
．
16．设一个直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，那么，以c+h、a+b、h为边构成的三角形的形状是
．
17．若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为
，它到原点的距离为
．
18．已知Rt△ABC的两直角边长分别为3cm，4cm，斜边长为5cm，则斜边上的高等于
cm．
三．解答题
19．试判断以A（﹣1，﹣1）、B（5，﹣1）、C（2，2）为顶点的三角形的形状．
20．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的高，求证：∠BCD＝∠A．
21．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，点A，D在BE的同侧，求BD的长．
22．4个全等的直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？
23．如图，一轮船以16n
mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n
mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？
24．葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．
（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少？
（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m？如果爬行10圈到达树顶，则树干多高？
25．已知两点P1（﹣2，3），P2（4，﹣5），求P1、P2两点的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：直角三角形中，两个锐角互余．
故选：A．
2．解：（1）12+22≠52，故选项错误；
（2）152+82＝172，故选项正确；
（3）92+122≠132，故选项错误；
（4）（）2+（）2＝（）2，但不都是正整数，故选项错误．
故选：B．
3．解：如图所示：
∵AC＝12m，BC＝5m，
∴在Rt△ABC中，AB＝＝13m，
故选：B．
4．解：设另一直角边为x，斜边为y．
根据勾股定理得：
y2＝x2+121，即y2﹣x2＝121，
（y+x）（y﹣x）＝121＝121×1，
∵x，y为自然数，
∴x+y＝121，y﹣x＝1，
∴x＝60，y＝61，
∴周长为：11+61+60＝132．
故选：C．
5．解：在y轴上，与点A（3，﹣2）的距离等于3的点有（0，﹣2），
即只有1个点．
故选：A．
6．解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm），
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝＝13（cm）．
故选：B．
7．解：梯形面积＝，
三个三角形面积之和＝，
，
可得：c2＝a2+b2，
故选：A．
8．解：以线段AB为斜边的等腰直角三角形有2个，分别位于线段AB的两侧；
以AB为直角边的等腰直角三角形，以A为直角顶点的有2个，分别位于AB的两侧，同理以B为直角顶点的有2个．
则以线段AB为一边的等腰直角三角形有6个．
故选：D．
9．解：A、∵72+242＝252，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（3）2+（4）2≠（5）2，∴不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵32+42＝52，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+（7）2＝（8）2，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
二．填空题
10．解：小船要行驶的路程为向南行驶了24米，偏离桥北头的距离为与桥的方向垂直的方向，
即AB＝24米，BC＝10米，
在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
所以实际行驶的路程为AC＝＝26（米）．
故答案为：26m．
11．解：展开长方体的侧面（如图），连接AB
在图（1）中由勾股定理，得
AB＝＝2，
在图（2）中由勾股定理，得
AB＝＝10，
在图（3）中由勾股定理，得
AB＝＝2
∵10＜2＜2，
∴蚂蚁爬行的最短距离10．
故答案为：10．
12．解：四组勾股数组可以是：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41．
故答案为：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41（答案不唯一）．
13．解：（1）∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+40°＝85°，
∵∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝＝65°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝85°﹣65°＝20°．
故答案为：20°；
（2）∵AE＝AC，BC＝BF，
∴∠AEC＝∠ACE＝，∠BFC＝∠BCF＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ECF＝∠BCF+∠ACE﹣∠ACB
＝+﹣90°
＝﹣90°
＝135°﹣90°
＝45°．
故答案为：45°．
14．解：因为，
又因为S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ＝ab+c2+ab＝，
所以＝，
得c2＝a2+b2．
故答案为：a2+2ab+b2，
ab，
c2，
ab，2ab+c2．
15．解：∵直角三角形的两直角边分别为6和8，
∴斜边＝＝10，
设斜边上的高为h，S△＝×6×8＝×10×h，
则h＝4.8．
故答案是：10；4.8．
16．解：∵直角三角形斜边上的高是h，∴h＝，
∵（a+b）2+h2
＝a2+b2+2ab+h2，
＝c2+2ab+h2，
∴（c+h）2＝c2+h2+2ch，
∵h＝，
∴（c+h）2＝c2+h2+2c?＝c2+2ab+h2，
∴（a+b）2+h2＝（c+h）2，
∴此三角形是直角三角形．
17．解：∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标是2或﹣2；
∵点到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标是3或﹣3，即点P的坐标为（3，2），（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（3，﹣2）；
点P到原点的距离为＝．
故答案填：（3，2）或（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）或（3，﹣2）；．
18．解：如图，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，CD为斜边AB上的高
∵S△ABC＝AC?BC＝CD?AB，
∴×3×4＝×5?CD
∴CD＝2.4cm．
三．解答题
19．解：∵AB＝5﹣1＝6，AC＝＝3，BC＝＝3，
∴AC＝BC，且AC2+BC2＝36＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
20．证明：在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余），
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠A＝∠BCD（同角的余角相等）．
21．解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴CB＝CD＝CE＝DE＝4，∠DCE＝∠CDE＝60°，
∴BE＝BC+CE＝8，∠BDC＝∠DBC＝30°，
∴∠BDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，
∴BD＝＝＝4．
22．解：∵大正方形的面积＝（a+b）2，四个直角三角形的面积和＝4×ab＝2ab，中间的正方形的面积＝c2
∴2ab+c2＝（a+b）2
2ab+c2＝a2+b2+2ab
∴c2＝a2+b2
23．解：∵一轮船以16n
mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，
另一轮船以12n
mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，
∴∠BAC＝90°，离开港口A2h后，AB＝32n
mi1e，AC＝24n
mi1e，
∴BC＝＝40（n
mi1e）．
答：离开港口A2h后，两船相距40n
mi1e．
24．解：（1）如图，以树枝周长为矩形的长，绕树枝一圈上升高为矩形的宽，将树枝的侧面展开，则矩形的对角线为最短路径；
以AC＝3m，BC＝4m作矩形，连接AB，利用勾股定理可知AB＝＝5（m），
即它爬行路程是5米．
（2）∵树的周长为8m，绕一圈爬行10m，
∴爬行一圈升高为：＝6m，
如果爬行10圈到达树顶，则树干高为：6×10＝60（m），
答：爬行一圈升高6m，如果爬行10圈到达树顶，则树干60m高．
25．解：如图所示，
过P1、P2分别作x轴、y轴的垂线相交于A点．
则A点的坐标为A（﹣2，﹣5）
∴P1A＝|﹣5﹣3|＝8，P2A＝|﹣2﹣4|＝6，
∴P1P2＝＝＝10．
勾股定理》单元测试题
一．选择题
1．在直角三角形中，两个锐角的关系是（ ）
A．互余
B．互补
C．相等
D．以上都不对
2．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．1，2，5
B．15，8，17
C．9，12，13
D．
3．要登上12
m高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5
m，则梯子的长度至少为（ ）
A．12m
B．13m
C．14m
D．15m
4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A．121
B．120
C．132
D．不能确定
5．在y轴上，与点A（3，﹣2）的距离等于3的点有（ ）
A．1个
B．2个
C．4个
D．0个
6．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．
cm
B．13cm
C．
cm
D．
cm
7．观察图形，可以验证（ ）
A．a2+b2＝c2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
8．以线段AB为一边的等腰直角三角形有（ ）
A．1个
B．2个
C．4个
D．6个
9．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．7，24，25
B．3，4，5
C．3，4，5
D．4，7，8
二．填空题
10．一座桥横跨由西向东的一条河，桥长24m，一小船从桥南头出发，向正北方向驶去，由于水流原因，到达北岸后，发现已偏离桥北头10m，则小船实际行驶了
．
11．一长方体如图，在A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点的食物，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是
．
12．写四组勾股数组．
，
，
，
．
13．（1）如图①，在Rt△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC＝
．
（2）如图②，∠ACB＝90°，E、F为AB上的点，AE＝AC，BC＝BF，则∠ECF＝
．
14．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：
S梯形＝（上底+下底）?高＝（a+b）?（a+b），即S梯形＝（
）①
S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表示相应图形的面积）
＝
+
+
，即S梯形＝（
）②
由①、②，得a2+b2＝c2．
15．直角三角形两直角边的长为8和6，则斜边长为
，斜边上的高为
．
16．设一个直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，那么，以c+h、a+b、h为边构成的三角形的形状是
．
17．若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为
，它到原点的距离为
．
18．已知Rt△ABC的两直角边长分别为3cm，4cm，斜边长为5cm，则斜边上的高等于
cm．
三．解答题
19．试判断以A（﹣1，﹣1）、B（5，﹣1）、C（2，2）为顶点的三角形的形状．
20．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的高，求证：∠BCD＝∠A．
21．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，点A，D在BE的同侧，求BD的长．
22．4个全等的直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？
23．如图，一轮船以16n
mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n
mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？
24．葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．
（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少？
（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m？如果爬行10圈到达树顶，则树干多高？
25．已知两点P1（﹣2，3），P2（4，﹣5），求P1、P2两点的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：直角三角形中，两个锐角互余．
故选：A．
2．解：（1）12+22≠52，故选项错误；
（2）152+82＝172，故选项正确；
（3）92+122≠132，故选项错误；
（4）（）2+（）2＝（）2，但不都是正整数，故选项错误．
故选：B．
3．解：如图所示：
∵AC＝12m，BC＝5m，
∴在Rt△ABC中，AB＝＝13m，
故选：B．
4．解：设另一直角边为x，斜边为y．
根据勾股定理得：
y2＝x2+121，即y2﹣x2＝121，
（y+x）（y﹣x）＝121＝121×1，
∵x，y为自然数，
∴x+y＝121，y﹣x＝1，
∴x＝60，y＝61，
∴周长为：11+61+60＝132．
故选：C．
5．解：在y轴上，与点A（3，﹣2）的距离等于3的点有（0，﹣2），
即只有1个点．
故选：A．
6．解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm），
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝＝13（cm）．
故选：B．
7．解：梯形面积＝，
三个三角形面积之和＝，
，
可得：c2＝a2+b2，
故选：A．
8．解：以线段AB为斜边的等腰直角三角形有2个，分别位于线段AB的两侧；
以AB为直角边的等腰直角三角形，以A为直角顶点的有2个，分别位于AB的两侧，同理以B为直角顶点的有2个．
则以线段AB为一边的等腰直角三角形有6个．
故选：D．
9．解：A、∵72+242＝252，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（3）2+（4）2≠（5）2，∴不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵32+42＝52，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+（7）2＝（8）2，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
二．填空题
10．解：小船要行驶的路程为向南行驶了24米，偏离桥北头的距离为与桥的方向垂直的方向，
即AB＝24米，BC＝10米，
在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
所以实际行驶的路程为AC＝＝26（米）．
故答案为：26m．
11．解：展开长方体的侧面（如图），连接AB
在图（1）中由勾股定理，得
AB＝＝2，
在图（2）中由勾股定理，得
AB＝＝10，
在图（3）中由勾股定理，得
AB＝＝2
∵10＜2＜2，
∴蚂蚁爬行的最短距离10．
故答案为：10．
12．解：四组勾股数组可以是：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41．
故答案为：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41（答案不唯一）．
13．解：（1）∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+40°＝85°，
∵∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝＝65°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝85°﹣65°＝20°．
故答案为：20°；
（2）∵AE＝AC，BC＝BF，
∴∠AEC＝∠ACE＝，∠BFC＝∠BCF＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ECF＝∠BCF+∠ACE﹣∠ACB
＝+﹣90°
＝﹣90°
＝135°﹣90°
＝45°．
故答案为：45°．
14．解：因为，
又因为S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ＝ab+c2+ab＝，
所以＝，
得c2＝a2+b2．
故答案为：a2+2ab+b2，
ab，
c2，
ab，2ab+c2．
15．解：∵直角三角形的两直角边分别为6和8，
∴斜边＝＝10，
设斜边上的高为h，S△＝×6×8＝×10×h，
则h＝4.8．
故答案是：10；4.8．
16．解：∵直角三角形斜边上的高是h，∴h＝，
∵（a+b）2+h2
＝a2+b2+2ab+h2，
＝c2+2ab+h2，
∴（c+h）2＝c2+h2+2ch，
∵h＝，
∴（c+h）2＝c2+h2+2c?＝c2+2ab+h2，
∴（a+b）2+h2＝（c+h）2，
∴此三角形是直角三角形．
17．解：∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标是2或﹣2；
∵点到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标是3或﹣3，即点P的坐标为（3，2），（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（3，﹣2）；
点P到原点的距离为＝．
故答案填：（3，2）或（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）或（3，﹣2）；．
18．解：如图，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，CD为斜边AB上的高
∵S△ABC＝AC?BC＝CD?AB，
∴×3×4＝×5?CD
∴CD＝2.4cm．
三．解答题
19．解：∵AB＝5﹣1＝6，AC＝＝3，BC＝＝3，
∴AC＝BC，且AC2+BC2＝36＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
20．证明：在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余），
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠A＝∠BCD（同角的余角相等）．
21．解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴CB＝CD＝CE＝DE＝4，∠DCE＝∠CDE＝60°，
∴BE＝BC+CE＝8，∠BDC＝∠DBC＝30°，
∴∠BDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，
∴BD＝＝＝4．
22．解：∵大正方形的面积＝（a+b）2，四个直角三角形的面积和＝4×ab＝2ab，中间的正方形的面积＝c2
∴2ab+c2＝（a+b）2
2ab+c2＝a2+b2+2ab
∴c2＝a2+b2
23．解：∵一轮船以16n
mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，
另一轮船以12n
mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，
∴∠BAC＝90°，离开港口A2h后，AB＝32n
mi1e，AC＝24n
mi1e，
∴BC＝＝40（n
mi1e）．
答：离开港口A2h后，两船相距40n
mi1e．
24．解：（1）如图，以树枝周长为矩形的长，绕树枝一圈上升高为矩形的宽，将树枝的侧面展开，则矩形的对角线为最短路径；
以AC＝3m，BC＝4m作矩形，连接AB，利用勾股定理可知AB＝＝5（m），
即它爬行路程是5米．
（2）∵树的周长为8m，绕一圈爬行10m，
∴爬行一圈升高为：＝6m，
如果爬行10圈到达树顶，则树干高为：6×10＝60（m），
答：爬行一圈升高6m，如果爬行10圈到达树顶，则树干60m高．
25．解：如图所示，
过P1、P2分别作x轴、y轴的垂线相交于A点．
则A点的坐标为A（﹣2，﹣5）
∴P1A＝|﹣5﹣3|＝8，P2A＝|﹣2﹣4|＝6，
∴P1P2＝＝＝10．