高中函数应用题模型全总结
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高中函数应用题模型全总结
函数应用题主要有以下几种常见模型：
1、一次函数模型
例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？
分析：每月所赚的钱=卖报收入的总价—付给报社的总价。而收入的总数分为三部分：①在卖出400份的20天里，收入为；②在可卖出250份的10天里在份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为；③没有卖掉的份报纸可退回报社，报社付出的钱。注意写出函数式的定义域。
解：设每天应从报社买份，易知。设每月赚元，得：
因为在其定义域上为增函数，
所以，当时，每月所获的利润最大，最大值为（元）。
答：每天应从报社买进400份，才能使每月所获的利润最大，每月可赚1170元。
评注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长,即为增函数，一次项系数为负时为减函数。
2、二次函数模型
例2某工厂生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品A征收附加税率为时，每年销售额将减少万件。据此，试问：
（1）若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求的范围；
（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时的值。
分析：将税务部门对商品A征收的税金表示出来，注意考虑一些实际情况。
解：（1）设每年征收的税金为万元，则，
由题意得：，
解之得：。
所以，的范围是。
（2）由题意知：，
，
由，
当时，。
答：当税率为4%时，税务部门获得最高税金128万元。
评注：在第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。
3、指数函数模型
例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？
分析：本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律。
解：（1）1年后该城市人口总数为：
，
2年后该城市人口总数为：
，
3年后该城市人口总数为：
，
年后该城市人口总数为：
。
（2）10年以后该城市人口总数为：（万）。
（3）设年以后该城市人口将达到120万人，
即，
（年）。
（4）设年增长率为，依题意有：，
即，
由计算器计算得：，
，
即年增长率应控制在0.9%以内。
评注：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示为 的形式。
4、分段函数模型
例4通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生注意力越大），经过实验分析得知：
,
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
分析：对于分段函数，分别求出各段中的最大值，通过比较就可以求出的最大值。
解：（1）当时，是增函数，且。
当时，是减函数，且。
所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟。
（2），
所以，讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中。
（3）当时，令，则。
当时，令，则。
所以，学生的注意力在180以上所持续的时间。
所以，经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。
评注：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先后或年同时构造、利用几个函数模型，即分段函数模型方可。
5、幂函数模型
例5在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度与电线半径的三次方成正比。
（1）写出函数解析式；
（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，求电流通过半径为毫米的电线时，其电流强度的表达式；
（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计算该电流的强度。
解：（1）（为常数）。
（2）由（1）知：，
解得：。
所以，电流通过半径为毫米的电线时，其电流强度的表达式为。
（3）由（2）中电流强度的表达式，将代入得：安。
评注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题，关键是分清各个量的物理意义及相关关系。
6、对数函数模型
例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示燕子的耗氧量。
（1）计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：（1）由题意，当燕子静止时，它的速度，
所以，，
解得：个单位。
（2）由耗氧量是80得：
。
函数应用题主要有以下几种常见模型：
1、一次函数模型
例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？
分析：每月所赚的钱=卖报收入的总价—付给报社的总价。而收入的总数分为三部分：①在卖出400份的20天里，收入为；②在可卖出250份的10天里在份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为；③没有卖掉的份报纸可退回报社，报社付出的钱。注意写出函数式的定义域。
解：设每天应从报社买份，易知。设每月赚元，得：
因为在其定义域上为增函数，
所以，当时，每月所获的利润最大，最大值为（元）。
答：每天应从报社买进400份，才能使每月所获的利润最大，每月可赚1170元。
评注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长,即为增函数，一次项系数为负时为减函数。
2、二次函数模型
例2某工厂生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品A征收附加税率为时，每年销售额将减少万件。据此，试问：
（1）若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求的范围；
（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时的值。
分析：将税务部门对商品A征收的税金表示出来，注意考虑一些实际情况。
解：（1）设每年征收的税金为万元，则，
由题意得：，
解之得：。
所以，的范围是。
（2）由题意知：，
，
由，
当时，。
答：当税率为4%时，税务部门获得最高税金128万元。
评注：在第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。
3、指数函数模型
例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？
分析：本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律。
解：（1）1年后该城市人口总数为：
，
2年后该城市人口总数为：
，
3年后该城市人口总数为：
，
年后该城市人口总数为：
。
（2）10年以后该城市人口总数为：（万）。
（3）设年以后该城市人口将达到120万人，
即，
（年）。
（4）设年增长率为，依题意有：，
即，
由计算器计算得：，
，
即年增长率应控制在0.9%以内。
评注：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示为 的形式。
4、分段函数模型
例4通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生注意力越大），经过实验分析得知：
,
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
分析：对于分段函数，分别求出各段中的最大值，通过比较就可以求出的最大值。
解：（1）当时，是增函数，且。
当时，是减函数，且。
所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟。
（2），
所以，讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中。
（3）当时，令，则。
当时，令，则。
所以，学生的注意力在180以上所持续的时间。
所以，经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。
评注：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先后或年同时构造、利用几个函数模型，即分段函数模型方可。
5、幂函数模型
例5在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度与电线半径的三次方成正比。
（1）写出函数解析式；
（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，求电流通过半径为毫米的电线时，其电流强度的表达式；
（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计算该电流的强度。
解：（1）（为常数）。
（2）由（1）知：，
解得：。
所以，电流通过半径为毫米的电线时，其电流强度的表达式为。
（3）由（2）中电流强度的表达式，将代入得：安。
评注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题，关键是分清各个量的物理意义及相关关系。
6、对数函数模型
例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示燕子的耗氧量。
（1）计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：（1）由题意，当燕子静止时，它的速度，
所以，，
解得：个单位。
（2）由耗氧量是80得：
。