（新教材）2020-2021学年高中物理粤教版必修第三册导学案 1.5 电势差及其与电场强度的关系 Word版含答案

第五节　电势差及其与电场强度的关系
核心素养点击
物理观念 (1)理解电势差的概念，知道电势差与电势零点的选取无关；掌握电势差的表达式UAB＝φA－φB及UAB＝；知道电势差的正、负号与电势高低之间的对应关系。
(2)理解匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed或E＝，了解其适用条件。
科学思维 (1)通过类比电场强度、电势的定义方法，理解UAB＝的意义，知道电势差UAB与WAB、q无关；会应用公式UAB＝φA－φB及UAB＝进行计算，并在应用中培养逻辑推理能力。
(2)会推导关系式U＝Ed；能利用关系式U＝Ed分析非匀强电场相关问题；对比有关电场强度的三个表达式及适用条件，并在具体问题中准确选用公式解决有关问题；会用等分法确定等势面和电场线。
　
1．填一填
(1)定义
电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫电压。
(2)公式
设电场中点A的电势为φA，点B的电势为φB，则A、B两点之间的电势差为：UAB＝φA－φB，B、A两点之间的电势差为：UBA＝φB－φA，所以UAB＝－UBA。
(3)电势差的正负
电势差是标量，但有正、负。电势差的正、负表示两点电势的高低。所以电场中各点间的电势差可依次用代数法相加。
(4)电场力做功与电势差的关系：UAB＝。
(5)电势差的影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动电荷q及电场力是否做功无关。
2．判一判
(1)电场中A、B两点的电势差，不仅与A、B两点的位置有关，还与零电势点的选取有关。(×)
(2)电场中任意两点的电势差，均与是否放入试探电荷无关。(√)
(3)若UAB>0，说明φA>φB，但无法判断φA、φB的正负。(√)
3．想一想
把电荷从电场中电势较高的地方移动到电势较低的地方，电场力做正功还是负功？
提示：根据UAB＝φA－φB，电势差为正。由WAB＝qUAB，若q为负电荷，电场力做负功；若q为正电荷，则电场力做正功。
1．填一填
(1)关系式：U＝Ed或E＝。
(2)物理意义：匀强电场中任意两点之间的电势差等于场强与这两点沿电场方向的距离的乘积。
(3)适用条件：匀强电场。
(4)公式E＝的意义
①意义：在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向距离为每单位长度的两点间的电势差。
②电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏特每米，符号为V/m,1 V/m＝1 N/C。
2．判一判
(1)E＝是匀强电场中场强与电势差的关系式，仅适用于匀强电场。(√)
(2)E＝是场强的定义式，仅适用于匀强电场。(×)
(3)E＝是点电荷电场的场强公式，仅适用于真空中的点电荷产生的电场。(√)
3．想一想
如图所示，A、B两点不在同一直线上。
则电场强度E和电势差UAB之间有什么关系？
提示：正电荷从A移动到B，所受电场力方向水平向右，与位移夹角为α，故电场力做功为W＝Eqscos α，scos α＝d，所以W＝Eqscos α＝Eqd，利用电势差和功的关系W＝qUAB，比较这两个式子可得UAB＝Escos α＝Ed，或E＝＝，d为AB沿电场线方向的距离，也是A、B所在等势面间的距离，或者说是A、B两点间距离s在电场强度方向上的投影。
　　
电场中A、B、C、D四点的电势如图所示。
(1)A、C及A、B间的电势差各为多少？哪个较大？
提示：(1)UAC＝15 V，UAB＝10 V，UAC＞UAB。
(2)若取D点电势为零，则A、B、C三点的电势各为多少？A、C及A、B间的电势差各为多少？通过以上计算说明电势、电势差各具有什么特点？
提示：φA＝18 V，φB＝8 V，φC＝3 V，UAC＝15 V，UAB＝10 V　
电势的大小与零电势点的选取有关，电势差的大小与零电势点的选取无关。　　　　
有一电荷量为q＝－3×10－6 C的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服电场力做功6×10－4 J。从B点移到C点时电场力做功9×10－4 J。
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如果B点电势为0，则A、C两点的电势各为多少？点电荷在A、C两点的电势能各为多少？
[解析]　(1)法一：先求电势差的绝对值，再判断正、负
|UAB|＝＝ V＝200 V。
因负电荷从A点移到B点克服电场力做功，必是从高电势点移向低电势点，即φA>φB，UAB＝200 V。
|UBC|＝＝ V＝300 V。
因负电荷从B点移到C点电场力做正功，必是从低电势点移到高电势点，即
φB<φC，UBC＝－300 V，
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝(300－200)V＝100 V。
法二：直接代入数值符号求解
电荷由A点移向B点克服电场力做功，即电场力做负功，
WAB＝－6×10－4 J，
UAB＝＝ V＝200 V；
电荷由B点移到C点电场力做正功，
UBC＝＝ V＝－300 V；
UCA＝UCB＋UBA＝100 V。
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＋φB＝200 V
由UBC＝φB－φC得
φC＝φB－UBC＝0－(－300)V＝300 V。
点电荷在A点的电势能
EpA＝qφA＝－3×10－6×200 J＝－6×10－4 J
点电荷在C点的电势能
EpC＝qφC＝－3×10－6×300 J＝－9×10－4 J。
[答案]　(1)UAB＝200 V　UBC＝－300 V
UCA＝100 V
(2)φA＝200 V　φC＝300 V
EpA＝－6×10－4 J　EpC＝－9×10－4 J
[素养训练]
1．[多选]关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，下列说法正确的是(　　)
A．电势与电势差均是相对量，均与零电势点的选取有关
B．UAB和UBA是不同的，它们存在关系：UAB＝－UBA
C．φA、φB都有正负，所以电势是矢量
D．若φB＝0，则φA＝UAB
解析：选BD　电势差与零电势点的选取无关，A错误；UAB＝－UBA，B正确；电势虽有正、负之分，但电势是标量，C错误；由UAB＝φA－φB知，若φB＝0，则φA＝UAB，D正确。
2．在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为(　　)
A．φA>φB>φC B．φA<φC<φB
C．φC>φA>φB D．φC>φB>φA
解析：选C　由UAB＝φA－φB＝75 V，可知φA比φB高75 V，UBC＝－200 V，表示φC比φB高200 V，所以三点电势高低为φC>φA>φB，故选C。
　　
　
如图所示的一个匀强电场，电场强度大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间相距为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功。
提示：WAB＝Fd＝qEd　WAB＝qUAB。
(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系。
提示：UAB＝Ed。
(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
提示：UAC＝Ed。　　　　
[重难释解]
1．电场强度与电势差的关系
大小关系 由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势
方向关系 电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向
物理意义 电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢
2．在非匀强电场中，利用公式E＝定性分析问题
由E＝可以得出结论：在等差等势面越密的地方电场强度就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab如图所示，在匀强电场中，电荷量为q＝5.0×10－10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)a、b两点的电势差Uab；
(2)匀强电场的电场强度大小和方向。
[解题指导]　
(1)电场力对电荷做功一定时，初、末位置的电势差一定，其数值可由U＝求解。
(2)匀强电场的电场强度可由公式E＝求解。
[解析]　(1)因为正电荷从a到b和从a到c，电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知电场强度方向与ac平行，垂直指向bc。
Uab＝＝ V＝60 V。
(2)由U＝Ed可得
E＝＝＝ V/m＝375 V/m
电场强度方向平行于ac，且由a指向c。
[答案]　(1)60 V　(2)375 V/m　方向平行于ac，且由a指向c
计算电场强度应注意的问题
(1)在选取公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。
(2)应用公式UAB＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿电场强度方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿电场强度方向上的距离，则应通过数学知识转化为沿电场强度方向上的距离。
[素养训练]
1．雷雨天，当空气中的电场强度超过2.5×104 N/C，空气就会被“击穿”而放电。已知一片带电的乌云距离地面400 m高，那么发生闪电前瞬间乌云与地面间的电势差至少为(　　)
A．62.5 V B．6 250 V
C．107 V D．105 V
解析：选C　乌云与地面间的距离d＝400 m，则闪电前瞬间乌云与地面之间的电势差的大小为：U＝Ed＝2.5×104×400 V＝1×107 V，故A、B、D错误，C正确。
2．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为 L m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V，φB＝－5 V，φC＝15 V，由此可以判断(　　)
A．电场强度的方向由C指向B
B．电场强度的方向垂直AD连线斜向上
C．电场强度的大小为 V/m
D．电场强度的大小为 V/m
解析：选D　D为BC的中点，则φD＝5 V，AD连线为一等势线，电场强度的方向垂直AD连线斜向下，选项A、B错误；由B到AD的距离d＝Lcos 30° m＝L m，则电场强度E＝＝ V/m，选项C错误，选项D正确。
3．如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
A．UOP＝－10sin θ(V) B．UOP＝10sin θ(V)
C．UOP＝－10cos θ(V) D．UOP＝10cos θ(V)
解析：选A　本题主要考查匀强电场中电场强度与电势的关系，意在考查U＝Ed中d的物理意义。由图知UOP＝－E·PO·sin θ＝－10sin θ(V)。
　　
[重难释解]
1．关于电场强度E的几个表达式
公式 适用范围 说明
E＝ 任何电场 定义式，q为试探电荷的电荷量
E＝k 真空中点电荷形成的电场 Q为场源电荷的电荷量，E表示跟点电荷相距r处的某点的电场强度
E＝ 匀强电场 U为沿电场线方向上相距为d的两点间的电势差
2．关于电场强度与电势的理解
(1)电场强度为零的地方电势不一定为零，如等量同种点电荷连线的中点；电势为零的地方电场强度也不一定为零，如等量异种点电荷连线的中点。
(2)电场强度相等的地方电势不一定相等，如匀强电场；电势相等的地方电场强度不一定相等，如点电荷周围的等势面。
有两块平行金属板A、B相隔6 cm，接在36 V的直流电源上。电源的正极接地，C点在两板间且到A板的距离为2 cm。
(1)求A、B两板间的场强大小和方向；
(2)以地面为电势的零点，则C点的电势为多大？
[解题指导]　
(1)A、B两板间的电场为匀强电场。
(2)电场中某点的电势等于该点与零电势点间的电势差。
[解析]　(1)板间场强的大小E＝＝ V/m＝6×102 V/m，场强方向由A板垂直指向B板。
(2)UAC＝EdAC＝6×102×2×10－2 V＝12 V
由UAC＝φA－φC，得φC＝φA－UAC＝0－12 V＝－12 V。
[答案]　(1)6×102 V/m　方向由A板垂直指向B板　(2)－12 V
上述典例中，若改为B板接地，其他条件不变，则C点电势多高？若C点放一电子，则电子的电势能多大？
提示：UCB＝EdBC＝6×102×4×10－2 V＝24 V
则φC＝UCB＋φB＝24 V
EpC＝－eφC＝－3.84×10－18 J。
[素养训练]
1．关于静电场，下列说法正确的是(　　)
A．电场强度为0的地方，电势也为0
B．任一点的电场强度方向总是指向该点电势降落最快的方向
C．电场线越密的地方相等距离两点的电势差越大
D．根据公式Uab＝Ed可知，在匀强电场中a、b间的距离越大，电势差就越大
解析：选B　电场强度与电势没有直接关系，电场强度为0时，电势不一定为0；电势为0，电场强度不一定为0，故A错误；沿电场线方向电势降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向，故B正确；电场线越密的地方电场强度越大，但是若两点间不沿电场线方向，则电势差不一定越大，故C错误；公式Uab＝Ed中d为沿电场线的距离，若a、b两点不沿电场线方向，则两点间距离越大电势差不一定越大，故D错误。
2．如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5 cm，电势差为25 V，在电场中P点固定放置电荷量为5×10－9 C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的(　　)
A．上方30 cm B．下方30 cm
C．上方25 cm D．下方25 cm
解析：选B　匀强电场的场强E＝＝ V/m＝500 V/m，设距P点L处的合场强为零，则k＝9×109× V/m＝500 V/m，故L＝0.3 m，负点电荷在距P点L处的电场竖直向上，该点在P点的下方，B正确。
一、培养创新意识和创新思维
1．如图所示为电子束焊接机，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中两点。K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速。不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是(　　)
A．A、K之间的电场强度均为
B．B点电势大于C点电势
C．B点电场强度大于C点电场强度
D．电子由K到A的电势能减少了eU
解析：选D　A、K之间建立的是非匀强电场，公式U＝Ed不适用，因此A、K之间的电场强度不等于，故A错误；B、C所在等势面是与电场线垂直的圆弧，如图所示，根据沿电场线方向电势降低，可知B点电势小于C点电势，故B错误；电场线的疏密程度表示电场强度大小，从图中可知B点所在位置的电场线较疏，C点所在位置的电场线较密，故B点的电场强度小于C点的电场强度，故C错误；电子由K到A，受到的电场力方向和运动方向一致，所以电场力做正功，电势能减小，电势能减少了WKA＝UKA·(－e)＝eU，故D正确。
二、注重学以致用和思维建模
2．[多选]细胞膜的厚度等于700 nm(1 nm＝10－9 m)，当膜的内外层之间的电压达0.4 V时，即可让一价钠离子渗透。设细胞膜内的电场为匀强电场，已知一价钠离子的电荷量为＋1.6×10－19 C，则钠离子在渗透时(　　)
A．膜内电场强度为1.04×106 V/m
B．膜内电场强度为5.71×105 V/m
C．每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于6.4×10－20 J
D．每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于1.28×10－19 J
解析：选BC　由匀强电场中电势差与电场强度的关系：E＝＝ V/m＝5.71×105 V/m，A错误，B正确；电场力做的功：W＝qU＝1.6×10－19×0.4 J＝6.4×10－20 J，C正确，D错误。
3．[选自人教版新教材课后习题]带有等量异种电荷、相距 10 cm的平行板A和B之间有匀强电场(如图)，电场强度E为2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板3 cm，D点距A板2 cm。
(1)C、D两点哪点电势高？两点的电势差UCD等于多少？
(2)如果把B板接地，则C点和D点的电势φC和φD各是多少？如果把A板接地，则φC和φD各是多少？在这两种情况中，UCD相同吗？
(3)一个电子从C点移动到D点，静电力做多少功？如果使电子从C点先移到P点，再移到D点，静电力做的功是否会发生变化？
解析：(1)由沿着电场线方向，电势逐渐降低知D点电势比C点电势高
UCD＝－EdCD＝－2×104×5×10－2 V＝－1.0×103 V。
(2)B板接地时，φC＝EdCB＝2×104×3×10－2 V＝600 V
φD＝EdDB＝2×104×8×10－2 V＝1.6×103 V
UCD＝φC－φD＝(600－1.6×103)V＝－1 000 V
A板接地时，φC＝0－EdCA＝－2×104×7×10－2 V＝－1.4×103 V
φD＝0－EdDA＝－2×104×2×10－2 V＝－400 V
UCD＝φC－φD＝[－1.4×103－(－400)]V＝－1 000 V
在这两种情况中，UCD都是－1 000 V。
(3)WCD＝eUCD＝－1.6×10－19×(－1 000)J＝1.6×10－16 J
如果使电子先从C点移到P点，再移到D点，静电力做的功不会发生变化，因为静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关。
答案：见解析