2020-2021学年高中物理教科版选修3-1导学案 第三章 4 磁场对运动电荷的作用——洛伦兹力 Word版含答案

4.磁场对运动电荷的作用——洛伦兹力　
知识点一　洛伦兹力的方向
1.判断方法——左手定则:
(1)当电荷运动方向跟磁场方向垂直时:伸开左手,使大拇指和其余四指垂直且处于同一平面内,把手放入磁场中,让磁感线垂直穿入手心,四指指向正电荷的运动方向或负电荷运动的反方向,大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。
(2)当电荷运动方向跟磁场方向不垂直时:四指仍指向正电荷的运动方向或负电荷运动的反方向,磁感线仍然从掌心进入,但磁感线与手掌不垂直,洛伦兹力的方向仍垂直于电荷运动的方向,也垂直于磁场方向。
2.决定因素:
(1)电荷的电性(正、负)。
(2)速度方向。
(3)磁感应强度的方向。当电性一定时,其他两个因素决定洛伦兹力的方向,如果只让一个反向,则洛伦兹力必定反向;如果让两个同时反向,则洛伦兹力方向不变。
3.洛伦兹力不做功:由于洛伦兹力始终与电荷的运动方向垂直,故洛伦兹力一定不对电荷做功。
洛伦兹力方向与B方向、v方向的关系
无论是正电荷还是负电荷,它们所受洛伦兹力的方向一定同时与磁场B的方向和速度v的方向垂直,并且磁场B的方向和速度v的方向也垂直。这个说法对吗?
提示:洛伦兹力的方向垂直于磁场B的方向和速度v的方向所确定的平面,但磁场B的方向和速度v的方向不一定垂直。
【典例】阴极射线管中电子束由阴极沿x轴正方向射出,在荧光屏上出现如图所示的一条亮线。要使该亮线向z轴正方向偏转,可加上沿 (　　)
A.z轴正方向的磁场
B.y轴负方向的磁场
C.x轴正方向的磁场
D.y轴正方向的磁场
【解析】选B。若加一沿z轴正方向的磁场,根据左手定则,洛伦兹力方向沿y轴正方向,亮线向y轴正方向偏转,A错误。若加一沿y轴负方向的磁场,根据左手定则,洛伦兹力方向沿z轴正方向,亮线向上偏转,B正确。若加一沿x轴正方向的磁场,电子束不偏转,C错误。若加一沿y轴正方向的磁场,根据左手定则,洛伦兹力方向沿z轴负方向,亮线向下偏转,D错误。故选B。
1.下列说法正确的是 (　　)
A.运动电荷在磁感应强度不为零的地方,一定受到洛伦兹力的作用
B.运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用,则该处的磁感应强度一定为零
C.洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能,也不能改变带电粒子的速度
D.洛伦兹力对带电粒子不做功
【解析】选D。运动电荷在磁场中所受的洛伦兹力F=qvBsin θ,所以F的大小不但与q、v、B有关系,还与v与B的夹角θ有关系,当θ=0°或180°时,F=0,此时B不一定等于零,所以A、B错误;又洛伦兹力与粒子的速度始终垂直,所以洛伦兹力对带电粒子不做功,粒子的动能也就不变,但粒子速度方向改变,所以C错误,D正确。
2.(2020·宜宾高二检测)如图所示,美国物理学家安德森在研究宇宙射线时,在云雾室里观察到有一个粒子的径迹和电子的径迹弯曲程度相同,但弯曲方向相反,从而发现了正电子,获得了诺贝尔物理学奖。下列说法正确的是 (　　)
A.弯曲的轨迹是抛物线
B.电子受到电场力作用
C.云雾室中的磁场方向垂直纸面向外
D.云雾室中的磁场方向垂直纸面向里
【解析】选D。云雾室中所加的是磁场,则电子所受的是洛伦兹力作用,运动的轨迹是圆弧,由图示可知,电子刚射入磁场时,负电子所受洛伦兹力水平向左,正电子所受洛伦兹力水平向右,由左手定则可知,磁场方向垂直于纸面向里,A、B、C错误,D正确。故选D。
【加固训练】
1.如图所示的四幅图中,运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是 (　　)
【解析】选B。根据左手定则,A中F的方向应向上,B中F的方向应向下,故A错、B对。C、D中都是v平行于B,F=0,故C、D都错。
2.如图所示的磁感应强度B、电荷的运动速度v和磁场对电荷的作用力F的相互关系图中,画的正确的是(其中B、F、v两两垂直) (　　)
【解析】选C。由于B、F、v两两垂直,根据左手定则得A、B、D选项中电荷所受的洛伦兹力都与图示F的方向相反,故A、B、D错误,C正确。
知识点二　洛伦兹力的大小
1.洛伦兹力与安培力的关系:安培力是洛伦兹力的宏观表现,洛伦兹力是安培力的微观实质。
(1)方向:洛伦兹力的方向与运动电荷形成的等效电流的安培力方向相同。
(2)大小:一段通电导线所受安培力大小等于该段
导线内所有运动电荷所受洛伦兹力的矢量和。
2.对公式F浮=F洛=qvBsinθ的理解:
(1)适用条件:运动电荷的速度方向与磁场方向垂直,当v=0时,F洛=0,即相对磁场静止的电荷不受洛伦兹力作用。
(2)B、v夹角对洛伦兹力的影响:
①当θ=90°时,v⊥B,sin θ=1,F洛=qvB,即运动方向与磁场垂直时,洛伦兹力最大。
②当v∥B时,θ=0°,sin θ=0,F洛=0,即运动方向与磁场平行时,不受洛伦兹力。
③若不垂直,F洛=qvBsin θ。
3.洛伦兹力与电场力的比较:
比较项目 洛伦兹力 电场力
性　质 磁场对在其中运动的电荷的作用力 电场对放入其中电荷的作用力
产生条件 v≠0且v不与B平行 电场中无论电荷处于何种状态F≠0
大　小 F=qvB(v⊥B) F=qE
方　向 满足左手定则
F⊥B、F⊥v 正电荷受力方向与电场方向相同,负电荷受力方向与电场方向相反
做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功、负功,也可能不做功
作用效果 只改变电荷运动的速度方向,不改变速度大小 既可以改变电荷运动的速度大小,也可以改变电荷运动的方向
有同学说“电荷在磁场中不一定受洛伦兹力,因为只有运动的电荷才会受到洛伦兹力。”那么是不是只要电荷运动,就一定受到洛伦兹力的作用?
提示:这个同学的观点是正确的,但是只有电荷运动还不够,运动方向还不能和磁场在同一条直线上。电荷要受到洛伦兹力要满足两个条件:一是运动;二是运动方向不能和磁场在同一条直线上。
【典例】(2020·遂宁高二检测)甲、乙两个滑块叠放在一起共同沿光滑的斜面从顶端滑至底端,甲带正电,乙是不带电的绝缘块,甲、乙之间的接触面粗糙。空间存在着水平方向的匀强磁场,方向如图所示。在两个滑块共同下滑的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.甲滑块的加速度不断减小
B.乙滑块对斜面的压力保持不变
C.甲滑块所受的合力保持不变
D.乙滑块所受的摩擦力不断增大
【解析】选C。对甲、乙整体受力分析可知,整体受重力、斜面的支持力、甲的洛伦兹力,随速度增大,垂直斜面向上的洛伦兹力增大,整体对斜面的压力减小,沿斜面方向的加速度为a==gsinθ,所以甲的加速度不变,合力也不变,A、B错误,C正确;由于甲的加速度为gsinθ,所以甲、乙之间没有摩擦力,D错误。故选C。
(多选)如图所示,两个倾角分别为30°和60°的光滑斜面固定于水平面上,并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中。两个质量均为m、带电荷量均为+q的小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放,运动一段时间后,两小滑块都将飞离斜面,在此过程中 (　　)
A.甲滑块飞离斜面瞬间的速度比乙滑块飞离斜面瞬间的速度大
B.甲滑块在斜面上运动的时间比乙滑块在斜面上运动的时间短
C.甲滑块在斜面上运动的位移与乙滑块在斜面上运动的位移大小相同
D.两滑块在斜面上运动的过程中,重力的平均功率相等
【解析】选A、D。小滑块飞离斜面时,洛伦兹力与重力的垂直斜面的分力平衡,即mgcosθ=qvmB,解得vm= ,故斜面倾角越大,飞离时速度越小,甲飞离斜面速度大于乙,A正确;甲斜面倾角小,平均加速度小,但是末速度大,故甲在斜面上的运动时间比乙的长,B错误;根据动能定理mglsinθ=m,解得l=,故甲的位移大于乙的位移,C错误;重力的平均功率为重力乘以竖直方向的分速度的平均值,即P=mgsinθ=mg·sinθ,代入数据相等,D正确。
【加固训练】
1.用绝缘细线悬挂一个质量为m、带电荷量为+q的小球,让它处于如图所示的磁感应强度为B的匀强磁场中。由于磁场运动,小球静止在如图所示位置,这时悬线与竖直方向夹角为α,并被拉紧,则磁场的运动速度和方向是(　　)
A.v=,水平向右
B.v=,水平向左
C.v=,竖直向上
D.v=,竖直向下
【解析】选C。当磁场水平向右运动时,带电小球相对于磁场向左运动,由左手定则,洛伦兹力方向向下,小球无法平衡,故A项错误。当磁场以v=水平向左运动时,F=qvB=mg,方向竖直向上,小球可以平衡,但这时悬线上拉力为零,不会被拉紧,故B项错误。磁场以v=竖直向上运动时,则F=qvB=mgtan α,由左手定则,F方向向右,小球可以平衡,故C项正确,D项错误。
2.电子的速率v=3×106 m/s,垂直射入B=0.10 T的匀强磁场中,它受到的洛伦兹力是多大?
【解析】由题意知v垂直B,由洛伦兹力公式得:
F洛=qvB=1.60×10-19×3×106×0.10 N=4.8×10-14 N
答案:4.8×10-14 N
知识点三　带电粒子在匀强磁场中的运动
1.只存在洛伦兹力情况下两种常见的运动情况:
(1)匀速直线运动:带电粒子的速度方向与磁场方向平行(相同或相反),此时带电粒子所受洛伦兹力为零,带电粒子将以速度v做匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动:带电粒子垂直射入匀强磁场,由于洛伦兹力始终和运动方向垂直,因此不改变速度大小,但是不停地改变速度方向,所以带电粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力。
2.匀速圆周运动的轨道半径和周期:质量为m电荷量为q的带电粒子垂直磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中。
(1)若不计粒子重力,运动电荷只受洛伦兹力作用,由洛伦兹力提供向心力,即 qvB=m,可得r=。
(2)由轨道半径与周期的关系可得:T===。
3.有界磁场内部分圆周轨迹的分析方法:
(1)轨迹圆心两种确定方法。
①已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时,作这两速度的垂线,交点即为圆心。
②已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时,画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦),作它的中垂线,并画出已知点的速度的垂线,则弦的中垂线与速度的垂线的交点即为圆心。
(2)三种求半径的方法。
①根据半径公式r=求解。
②根据勾股定理求解,如图所示,若已知出射点相对于入射点侧移了x,则满足r2=d2+(r-x)2。
③根据三角函数求解,如图所示,若已知出射速度方向与水平方向的夹角为θ ,磁场的宽度为d,则有关系式r=。
(3)四种角度关系。
①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。
②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ=α=2θ=ωt)。
③相对的弦切角(θ)相等,与相邻的弦切角(θ')互补,即θ+θ'=180°,如图所示。
④进出同一直边界时速度方向与该直边界的夹角相等。
(4)两种求时间的方法。
①利用圆心角求解,若求出这部分圆弧对应的圆心角,则t=T。
②利用弧长s和速度v求解,t=。
(5)重要推论。
在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出。
【典例】(多选)(2020·天津等级考)如图所示,在xOy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B的匀强磁场,一带电粒子从y轴上的M点射入磁场,速度方向与y轴正方向的夹角θ=45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM=a,粒子电荷量为q,质量为m,重力不计。
则 (　　)
A.粒子带负电
B.粒子速度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D.N与O点相距(+1)a
【解析】选A、D。
由题意可画出粒子的运动轨迹如图所示,通过左手定则可知,粒子带负电,故A正确;在三角形OMO'中,由几何关系可知粒子运动半径为a,又Bqv=m,可知v=,故B、C错误;由几何关系得,ON=r+r=(+1)a,故D正确。
(多选)(2020·泸州高二检测)如图所示,ABCA为一个半圆形的有界匀强磁场,O为圆心,F、G分别为半径OA和OC的中点,D、E点位于边界圆弧上,且DF∥EG∥BO。现有三个相同的带电粒子(不计重力)以相同的速度分别从B、D、E三点沿平行于BO方向射入磁场,其中由B点射入磁场的粒子1恰好从C点射出,分别由D、E两点射入的粒子2和粒子3从磁场某处射出,则下列说法正确的是 (　　)
A.粒子2从O点射出磁场
B.粒子3从C点射出磁场
C.粒子1、2、3在磁场的运动时间之比为3∶2∶2
D.粒子2、3经磁场偏转角不同
【解析】选A、B、C。三个相同的带电粒子(不计重力)以相同的速度分别从B、D、E三点沿平行BO方向射入磁场,故三粒子运动半径、周期相同;由B点射入磁场,粒子1恰好从C点射出,粒子都向右偏转,且半径r=R;根据几何关系可以证明,DF=EG=Rsin60°=R,粒子3沿EG方向位移为R时,沿GC方向位移为,恰好从C点射出;同理,粒子2恰好从O点射出。A、B正确;粒子2、3转过的中心角为60°,粒子1转过的中心角为90°,所以粒子1、2、3在磁场的运动时间之比为3∶2∶2,故C正确,D错误。故选A、B、C。
【加固训练】
1.(2017·全国卷Ⅲ)如图,空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x≥0区域,磁感应强度的大小为B0;x<0区域,磁感应强度的大小为λB0(常数λ>1)。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场,此时开始计时,当粒子的速度方向再次沿x轴正向时,求(不计重力):
(1)粒子运动的时间。
(2)粒子与O点间的距离。
【解析】(1)粒子的运动轨迹如图所示:
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供,所以在x≥0区域有:qv0B0=
在x<0区域有:qv0(λB0)=
解得R1=　R2=
在x≥0区域运动时间t1=;
在x<0区域运动时间t2=;
粒子运动的时间t=t1+t2=。
(2)粒子与O点间的距离d=2(R1-R2)=
答案:(1)　(2)
2.带电粒子a、b在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,它们的质量与速率的乘积大小相等,a运动的半径大于b运动的半径。若a、b的电荷量分别为qa、qb,质量分别为ma、mb,周期分别为Ta、Tb,则一定有 (　　)
A.qaC.Ta【解析】选A。设质量与速率的乘积为p,则p=mv,又r=,联立可得q=,因为mv、B相同,所以q∝,又因为ra>rb,所以qarb,但不知道速度大小关系,无法判断周期关系,C错误。由=,虽然知道ra>rb,但不知道速度大小关系,故无法判断比荷关系,D错误。
3.电子质量为m,电荷量为q,从O点以速度v0与x轴成θ角射入磁感应强度为B的匀强磁场中,最后落在x轴上的P点,如图所示,求:
(1)OP的长度。
(2)电子由O点射入到落在P点所需的时间t。
【解析】
(1)过O点和P点做速度方向的垂线,两线交点C即为电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心,如图所示,则可知OP=2R·sin θ ①
Bqv0= ②
由①②式可解得:OP=sin θ
(2)由图中可知:2θ=ωt ③
又v0=ωR ④
由③④式可得:t=
答案:见解析
【拓展例题】考查内容:洛伦兹力在直线运动中的应用
【典例】如图所示,在磁感应强度为B的水平匀强磁场中,有一足够长的绝缘细棒OO'在竖直面内垂直于磁场方向放置,细棒与水平面夹角为α。一质量为m、带电量为+q 的圆环A套在OO'棒上,圆环与棒间的动摩擦因数为μ,且μ(1)圆环A的最大加速度为多大?获得最大加速度时的速度为多大?
(2)圆环A能够达到的最大速度为多大?
【解析】(1)由于μ对圆环A受力分析,根据牛顿第二定律有
沿棒的方向:mgsinα-f1=ma
垂直棒的方向:N1+qv1B=mgcosα
所以当f1=0(即N1=0)时,
a有最大值am,且am=gsinα
此时qv1B=mgcosα,解得:v1=。
(2)设当环A的速度达到最大值vm时,环受棒的弹力为N2,摩擦力f2=μN2。
此时应有a=0,即mgsinα=f2
在垂直棒的方向上N2+mgcosα=qvmB
解得:vm=
答案:(1)gsinα　　(2)
课堂检测·素养达标
1.如图所示,一束电子流沿管的轴线进入螺线管,忽略重力,电子在管内的运动应该是 (　　)
A.当从a端通入电流时,电子做匀加速直线运动
B.当从b端通入电流时,电子做匀加速直线运动
C.不管从哪端通入电流,电子都做匀速直线运动
D.不管从哪端通入电流,电子都做匀速圆周运动
【解析】选C。电子的速度v∥B,由F洛=qvBsin θ知F洛=0,电子做匀速直线运动,故本题选C。
2.(多选)(2020·宜宾高二检测)如图所示,x轴上方有垂直纸面向里且足够大的匀强磁场。两个质量、电荷量均相同的带电离子(不计重力),分别带正、负电荷,以相同速度从O点射入磁场中,射入方向与x轴正方向夹角均为θ,则正、负离子在磁场中 (　　)
A.运动时间相同
B.运动的轨道半径相同
C.重新回到x轴时速度方向相反
D.重新回到x轴时距O点的距离相等
【解析】选B、D。因两个离子质量相同,电荷量也相等,它们垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T=必相等;当θ不等于90°时,两个离子在磁场中做圆周运动的圆心角不等,所以在磁场中的运动时间就不相等,A错误;根据qvB=可得:R=,可知运动的轨道半径相同,故B正确;因离子进入磁场时射入方向与x轴夹角为θ,那么射出磁场时速度方向必与x轴夹角为θ,所以重新回到x轴时速度方向相同,C错误;重新回到x轴时距O点的距离为:x=2Rsinθ,因为半径相等,θ相等,则重新回到x轴时距O点的距离相等,D正确;故选B、D。
3.(多选)(2020·泸州高二检测)如图所示,半径为R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,磁场外有一粒子源,能沿直线发射速度大小不等的在一范围内的同种带电粒子,带电粒子的质量为m,电荷量为q(q>0),不计重力。现粒子以沿正对cO中点且垂直于cO方向射入磁场区域,发现带电粒子恰能从bd之间飞出磁场,则 (　　)
A.从b点飞出的带电粒子的速度最大
B.从d点飞出的带电粒子的速度最大
C.从d点飞出的带电粒子的运动时间最长
D.从b点飞出的带电粒子的运动时间最长
【解析】选A、C。粒子在磁场中,受到洛伦兹力作用做匀速圆周运动,根据题意作出粒子运动轨迹如图所示:
图中Ob为到达b点的轨迹的圆心,Od为到达d点的轨迹的圆心,根据几何关系可知,rb>rd,到达d点转过的圆心角比到达b点的圆心角大,根据r=可知,b的半径最大,d的半径最小,所以从b点飞出的带电粒子的速度最大,从d点飞出的带电粒子的速度最小,故A正确,B错误。周期T=,所以粒子运动的周期相等,到达d点转过的圆心角最大,b点转过的圆心角最小,所以d点飞出的带电粒子的运动时间最长,b点飞出的带电粒子的运动时间最短,C正确,D错误。故选A、C。
4.(2019·全国卷Ⅰ)如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后,沿平行于x轴的方向射入磁场;一段时间后,该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点,N点在y轴上,OP与x轴的夹角为30°,粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d,不计重力。求:
(1)带电粒子的比荷;
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【解析】(1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,加速后的速度大小为v。由动能定理有
qU=mv2 ①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m ②
由几何关系知d=r ③
联立①②③式得= ④
(2)由几何关系知,带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为
s=+rtan30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为
t= ⑥
联立②③④⑤⑥式得
t=(+) ⑦
答案:(1)　(2)(+)