8.4用因式分解法解一元二次方程 课件（共23张PPT）
文档属性
| 名称 | 8.4用因式分解法解一元二次方程 课件（共23张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-29 12:37:33 | ||
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文档简介
第八章 一元二次方程
4 用因式分解法解一元二次方程
知识点一 用因式分解法解一元二次方程
因式
分解法
依据
步骤
知识点一 用因式分解法解一元二次方程
因式
分解法
把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的乘积的形式，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法
依据
若ab＝0，则a＝0或b＝0
步骤
（1）移项:将方程的右边化为0；
（2）化积:把方程左边分解成两个一次因式的乘积的形式；
（3）转化:令每个因式都等于零，转化为两个一元一次方程；
（4）求解:解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
例1 解下列一元二次方程:
（1）2x2-8x＝0；
（2）x（2x-1）＝3（2x-1）；
（3）（x＋3）2＝4.
例1 解下列一元二次方程:
（1）2x2-8x＝0；
（2）x（2x-1）＝3（2x-1）；
（3）（x＋3）2＝4.
解析 （1）因式分解，得2x（x-4）＝0.于是有2x＝0或x-4＝0，∴x1＝0，x2＝4.
（2）原方程可变形为x（2x-1）-3（2x-1）＝0.因式分解，得（2x-1）（x-3）＝0，于是有2x-1＝0或x-3＝0，∴x1＝ ，x2＝3.
（3）原方程可变形为（x＋3）2-4＝0.因式分解，得（x＋3＋2）（x＋3-2）＝0.于是有x＋5＝0或x＋1＝0，∴x1＝-5，x2＝-1.
例1 解下列一元二次方程:
（1）2x2-8x＝0；
（2）x（2x-1）＝3（2x-1）；
（3）（x＋3）2＝4.
解析 （1）因式分解，得2x（x-4）＝0.于是有2x＝0或x-4＝0，∴x1＝0，x2＝4.
（2）原方程可变形为x（2x-1）-3（2x-1）＝0.因式分解，得（2x-1）（x-3）＝0，于是有2x-1＝0或x-3＝0，∴x1＝ ，x2＝3.
（3）原方程可变形为（x＋3）2-4＝0.因式分解，得（x＋3＋2）（x＋3-2）＝0.于是有x＋5＝0或x＋1＝0，∴x1＝-5，x2＝-1.
温馨提示 若方程中有括号，不要急于去掉括号，观察方程是否可采用因式分解法求解.
知识点二 用合适的方法解一元二次方程
方法名称
理论依据
适用范围
直接开
平方法
配方法
公式法
因式
分解法
知识点二 用合适的方法解一元二次方程
方法名称
理论依据
适用范围
直接开
平方法
平方根的意义
形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（m≠0，p≥0）的一元二次方程
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式
分解法
若ab＝0，则a＝0或b＝0
一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式的一元二次方程
（1）在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法.
（2）如果二次项系数为1，一次项系数为偶数，那么用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法.
例2 用适当的方法解下列方程:
（1）5（x-1）2＝125； （2）x2＋4x-2＝0；
（3）x2-1＝2（x＋1）； （4）x2-5x-1＝0.
温馨提示
用配方法和公式法可以解所有的一元二次方程，但公式法较为简单直接开平方法和因式分解法适用于特殊的方程对于一个一元二次方程，要善于观察，根据其特点选择合适的方法.
经典例题
题型一 用合适的方法解一元二次方程
例1 用合适的方法解下列方程:
（1）x2-6x＝-9；
（2）x（2x-1）＝3（1-2x）；
（3）x2-3x-10＝0.
题型一 用合适的方法解一元二次方程
题型二 用换元法解一元二次方程
例2 阅读下列材料:在因式分解中，把多项式的某些部分看做一个整体，并用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
例: 用换元法分解因式(x2-4x＋1)(x2-4x＋2)-12.
设x2-4x＝y，
原式＝（y＋1）（y＋2）-12
＝y2＋3y-10＝（y＋5）（y-2）
＝（x2-4x＋5）（x2-4x-2）.
（1）请你用换元法对多项式（x2-3x＋2）（x2-3x-5）-8进行因式分解；
（2）凭你的数感，大胆尝试解方程:
（x2-2x＋1）（x2-2x-3）＝0.
分析
（1）根据材料，用换元法进行分解因式；
（2）设t＝x2-2x.将已知方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值，进而解关于x的一元二次方程即可.
解析
（1）设x2-3x＝y，
原式＝（y＋2）（y-5）-8＝y2-3y-18＝（y-6）（y＋3）
＝（x2-3x-6）（x2-3x＋3）.
（2）设t＝x2-2x，
则（t＋1）（t-3）＝0，解得t＝-1或t＝3.
当t＝-1时，x2-2x＝-1，即（x-1）2＝0，解得x1＝x2＝1；
当t＝3时，x2-2x＝3，即(x-3)(x＋1)＝0，
解得x3＝3，x4＝-1.
综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝-1.
易错易混
易错点 错用等式的性质解方程
例 解方程:（x-2）2＝2（x-2）
易错点 错用等式的性质解方程
例 解方程:（x-2）2＝2（x-2）
解析 移项，得（x-2）2-2（x-2）＝0，
∴（x-2）（x-2-2）＝0，
∴x-2＝0或x-4＝0，∴x1＝2，x2＝4.
易错点 错用等式的性质解方程
例 解方程:（x-2）2＝2（x-2）
解析 移项，得（x-2）2-2（x-2）＝0，
∴（x-2）（x-2-2）＝0，
∴x-2＝0或x-4＝0，∴x1＝2，x2＝4.
易错警示 若方程两边同时除以（x-2），得x-2＝2，则解得x＝4.造成错解的原因是方程两边同时除以（x-2）时，没有注意到x-2可能等于0的情况，违背了等式的性质，从而漏解.
4 用因式分解法解一元二次方程
知识点一 用因式分解法解一元二次方程
因式
分解法
依据
步骤
知识点一 用因式分解法解一元二次方程
因式
分解法
把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的乘积的形式，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法
依据
若ab＝0，则a＝0或b＝0
步骤
（1）移项:将方程的右边化为0；
（2）化积:把方程左边分解成两个一次因式的乘积的形式；
（3）转化:令每个因式都等于零，转化为两个一元一次方程；
（4）求解:解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
例1 解下列一元二次方程:
（1）2x2-8x＝0；
（2）x（2x-1）＝3（2x-1）；
（3）（x＋3）2＝4.
例1 解下列一元二次方程:
（1）2x2-8x＝0；
（2）x（2x-1）＝3（2x-1）；
（3）（x＋3）2＝4.
解析 （1）因式分解，得2x（x-4）＝0.于是有2x＝0或x-4＝0，∴x1＝0，x2＝4.
（2）原方程可变形为x（2x-1）-3（2x-1）＝0.因式分解，得（2x-1）（x-3）＝0，于是有2x-1＝0或x-3＝0，∴x1＝ ，x2＝3.
（3）原方程可变形为（x＋3）2-4＝0.因式分解，得（x＋3＋2）（x＋3-2）＝0.于是有x＋5＝0或x＋1＝0，∴x1＝-5，x2＝-1.
例1 解下列一元二次方程:
（1）2x2-8x＝0；
（2）x（2x-1）＝3（2x-1）；
（3）（x＋3）2＝4.
解析 （1）因式分解，得2x（x-4）＝0.于是有2x＝0或x-4＝0，∴x1＝0，x2＝4.
（2）原方程可变形为x（2x-1）-3（2x-1）＝0.因式分解，得（2x-1）（x-3）＝0，于是有2x-1＝0或x-3＝0，∴x1＝ ，x2＝3.
（3）原方程可变形为（x＋3）2-4＝0.因式分解，得（x＋3＋2）（x＋3-2）＝0.于是有x＋5＝0或x＋1＝0，∴x1＝-5，x2＝-1.
温馨提示 若方程中有括号，不要急于去掉括号，观察方程是否可采用因式分解法求解.
知识点二 用合适的方法解一元二次方程
方法名称
理论依据
适用范围
直接开
平方法
配方法
公式法
因式
分解法
知识点二 用合适的方法解一元二次方程
方法名称
理论依据
适用范围
直接开
平方法
平方根的意义
形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（m≠0，p≥0）的一元二次方程
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式
分解法
若ab＝0，则a＝0或b＝0
一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式的一元二次方程
（1）在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法.
（2）如果二次项系数为1，一次项系数为偶数，那么用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法.
例2 用适当的方法解下列方程:
（1）5（x-1）2＝125； （2）x2＋4x-2＝0；
（3）x2-1＝2（x＋1）； （4）x2-5x-1＝0.
温馨提示
用配方法和公式法可以解所有的一元二次方程，但公式法较为简单直接开平方法和因式分解法适用于特殊的方程对于一个一元二次方程，要善于观察，根据其特点选择合适的方法.
经典例题
题型一 用合适的方法解一元二次方程
例1 用合适的方法解下列方程:
（1）x2-6x＝-9；
（2）x（2x-1）＝3（1-2x）；
（3）x2-3x-10＝0.
题型一 用合适的方法解一元二次方程
题型二 用换元法解一元二次方程
例2 阅读下列材料:在因式分解中，把多项式的某些部分看做一个整体，并用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
例: 用换元法分解因式(x2-4x＋1)(x2-4x＋2)-12.
设x2-4x＝y，
原式＝（y＋1）（y＋2）-12
＝y2＋3y-10＝（y＋5）（y-2）
＝（x2-4x＋5）（x2-4x-2）.
（1）请你用换元法对多项式（x2-3x＋2）（x2-3x-5）-8进行因式分解；
（2）凭你的数感，大胆尝试解方程:
（x2-2x＋1）（x2-2x-3）＝0.
分析
（1）根据材料，用换元法进行分解因式；
（2）设t＝x2-2x.将已知方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值，进而解关于x的一元二次方程即可.
解析
（1）设x2-3x＝y，
原式＝（y＋2）（y-5）-8＝y2-3y-18＝（y-6）（y＋3）
＝（x2-3x-6）（x2-3x＋3）.
（2）设t＝x2-2x，
则（t＋1）（t-3）＝0，解得t＝-1或t＝3.
当t＝-1时，x2-2x＝-1，即（x-1）2＝0，解得x1＝x2＝1；
当t＝3时，x2-2x＝3，即(x-3)(x＋1)＝0，
解得x3＝3，x4＝-1.
综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝-1.
易错易混
易错点 错用等式的性质解方程
例 解方程:（x-2）2＝2（x-2）
易错点 错用等式的性质解方程
例 解方程:（x-2）2＝2（x-2）
解析 移项，得（x-2）2-2（x-2）＝0，
∴（x-2）（x-2-2）＝0，
∴x-2＝0或x-4＝0，∴x1＝2，x2＝4.
易错点 错用等式的性质解方程
例 解方程:（x-2）2＝2（x-2）
解析 移项，得（x-2）2-2（x-2）＝0，
∴（x-2）（x-2-2）＝0，
∴x-2＝0或x-4＝0，∴x1＝2，x2＝4.
易错警示 若方程两边同时除以（x-2），得x-2＝2，则解得x＝4.造成错解的原因是方程两边同时除以（x-2）时，没有注意到x-2可能等于0的情况，违背了等式的性质，从而漏解.