连城一中2020—2021学年下期高一年级月考一数学试卷
(考试时间:120分钟
总分:150分)
第Ⅰ卷(非选择题
共60分)
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1、已知复数,,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2、已知复数,(),则“”是“为纯虚数”的(
)
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3、在中,若,
则(
)
A.
B.
C.
D.
4、在中,角的对边分别是,,则=(
)
A.
B.
C.
D.
5、已知向量,其中,,且,则向量和的夹角是(
)
A.
B.
C.
D.
6、在中,分别是角的对边,若,
则的形状一定是(
)
A.
直角三角形
B.
等腰三角形
C.
等边三角形
D.
等腰直角三角形
7、已知,,且,则=(
)
A.
B.
C.
D.
8、如图在中,是的中点,是的三等分点(靠近点),若(),
则
(
)
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9、在复平面内点所对应的复数分别为,则下列结论正确的是( )
A.
的共轭复数虚部为
B.
C.
为纯虚数
D.
若,则点对应的复数是
10、下列命题中,正确的命题为(
)
A.
对于向量,若,则或
B.若为单位向量,且∥,则;
C.若与共线,与共线,则与共线
D.
四边形中,
11、设平面向量两两所成的夹角相等,且,,,则的值可能为( )
A.
B.
C.
D.
12、在中,内角的对边分别为,且,则下列叙述
正确的有(
)
A.
B.
若,则的面积的最大值为
C.
若,,且,
则
D.
若,且满足条件的不存在,则边的取值范围是
第Ⅱ卷(非选择题
共90分)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13、若,则
.
14、设平面向量,若,则
.
15、如图,冠豸山上原有一条笔直的山路,现在又新架设了一条索道,小李在山脚处看索道,
测得张角;从处攀登4千米到达处,回头看索道,测得张角;
从处再攀登8千米方到达处,则索道的长为
_千米.
16、在中有如下结论:“若点为的重心,则”.设分别为
内角的对边,点为的重心.
若,则内角的大小为
_;当时,的面积为
_.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17、(本题共10分)
设复数(其中),.
(Ⅰ)若是实数,求的值;
(Ⅱ)若是纯虚数,求.
18、(本题共12分)
已知两个非零向量.
(Ⅰ)若向量是夹角为120°的单位向量,试确定实数,使和垂直;
(Ⅱ)若,求证:三点共线.
19、(本题共12分)
在①;②;③
三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
问题:在中,内角的对边分别为
,且满足
,.
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若为上一点,,且,求.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分).
20、(本题共12分)
在中,内角的对边分别为,向量
,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求角的大小及向量在方向上的投影向量.
【提示:向量在方向上的投影向量为,其中为与同向的单位向量,
为与的夹角】
21、(本题共12分)
在平行四边形中,,若分别是边上的点,且满足,
.
(Ⅰ)当,时,求向量和夹角的余弦值;
(Ⅱ)当时,求的取值范围.
22、(本题共12分)
冠豸山为国家级重点风景名胜区,位于连城县城东1.5公里老虎岩处.冠豸山景区面积123平方公里,核心景区53平方公里.由獬豸冠、石门湖、竹安寨、九龙湖、旗石寨等九大游览区组成,包含三叠潭、香榔幽谷、老虎岩、观音峰、丹梯云栈、一线天等百余个景点,琳琅满目.区内奇峰比肩,山水相应,以“雄奇”、“秀美”著称,素有“上游第一观”的美誉。现拟在某景区建一主题游戏园,该游戏园为四边形区域;受地形的限制,现有2种拟建方案:
(Ⅰ)方案一:四边形区域中,三角形区域为主题活动园区,其中,,;为游客通道(不考虑宽度),且,通道围成的三角形区域为游客休闲中心,供游客休息.记游客通道与的长度和为,求的长度及的最大值;
(Ⅱ)方案二:在四边形区域中,若,,求该园通道的取值范围.
方案一
方案二
试卷第1页,总3页
第4页,连城一中2020—2021学年下期高一年级月考一数学试卷
参考答案及评分标准
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
A
A
B
C
D
二、多项选择题:共4小题,每小题5分,共20分.
全选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
题号
9
10
11
12
答案
B
C
B
D
A
C
B
C
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.
14.
15.
16.
,
【16、解析】由a+b+c=a+b+c(--)=+=0,
因为与不共线,∴a-c=b-c=0,∴a=b=c.
∴在△ABC中,由余弦定理可求得cos
A=,∴A=.
若a=3,则b=3,c=3,S△ABC=bcsin
A=×3×3×=.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
解:(Ⅰ)∵=5+(a-4)i是实数,
∴a=4,z1=2+4i,
.................2分
∴z1z2=(2+4i)(3-4i)=22+4i;.................5分
(Ⅱ)∵是纯虚数,
∴,
故..................10分
18解:(Ⅰ)和垂直
…………………3分
………………………………6分
(Ⅱ),
…………………11分
三点共线………………………………12分
19.
解:(Ⅰ)选条件①,由正弦定理及
得
…………………2分
………………………3分
……………………………4分
…………………………5分
……………………………6分
选条件②,
……………3分
…………………………6分
选条件③,由
得
……………………………2分
……………………………5分
…………………………………6分
(Ⅱ)由可得,…………………8分
得,…………………9分
所以.…………………10分
在中,由正弦定理得.
即
…………………12分
20.
解:(Ⅰ)由,得cos(A-B)cos
B-sin(A-B)sin
B=-,
所以cos
A=-.因为0
所以sin
A===.
(Ⅱ)由正弦定理,得=,则sin
B===,
因为a>b,所以A>B,且B一定为锐角,则B=.
由余弦定理得(4)2=52+c2-2·5c·,
解得c=1,c=-7(舍去),
故向量在方向上的投影向量为
21、解:
22、解:(Ⅰ)在中,,,,
由正弦定理得,
所以
………………………2分
在中,,,
设,则,且
………………………3分
由正弦定理得,
所以
…………………………5分
所以
…………………………7分
因为,所以当时,取得最大值
…………………………………8分
(Ⅱ)延长,交于点,延长,交于点,过点作,
交于点,易得,将平移,当分别通过时,的长度取极限值。
当分别通过时,在等腰三角形中,由正弦定理得得
当分别通过时,在等腰三角形中,由正弦定理得得
故通道的取值范围为
试卷第1页,总3页
第2页,