连城一中2020—2021学年下期高一年级月考一数学试卷
（考试时间：120分钟
总分：150分）
第Ⅰ卷（非选择题
共60分）
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、已知复数，，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2、已知复数，（），则“”是“为纯虚数”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3、在中，若,
则（
）
A.
B.
C.
D.
4、在中，角的对边分别是，，则=（
）
A.
B.
C.
D.
5、已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是（
）
A．
B．
C．
D．
6、在中，分别是角的对边，若，
则的形状一定是（
）
A.
直角三角形
B.
等腰三角形
C.
等边三角形
D.
等腰直角三角形
7、已知，，且，则=(
)
A.
B.
C.
D.
8、如图在中，是的中点，是的三等分点（靠近点），若（），
则
(
)
A．
B.
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、在复平面内点所对应的复数分别为,则下列结论正确的是( )
A.
的共轭复数虚部为
B.
C.
为纯虚数
D.
若，则点对应的复数是
10、下列命题中,正确的命题为（
）
A.
对于向量，若，则或
B.若为单位向量，且∥，则；
C.若与共线，与共线，则与共线
D.
四边形中，
11、设平面向量两两所成的夹角相等，且，，，则的值可能为( )
A．
B．
C．
D．
12、在中,内角的对边分别为,且,则下列叙述
正确的有（
）
A.
B.
若,则的面积的最大值为
C.
若,,且,
则
D.
若，且满足条件的不存在，则边的取值范围是
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、若，则
．
14、设平面向量，若，则
．
15、如图，冠豸山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，
测得张角；从处攀登4千米到达处，回头看索道，测得张角；
从处再攀登8千米方到达处，则索道的长为
_千米．
16、在中有如下结论：“若点为的重心，则”．设分别为
内角的对边，点为的重心.
若，则内角的大小为
_；当时，的面积为
_.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本题共10分）
设复数（其中），．
（Ⅰ）若是实数，求的值；
（Ⅱ）若是纯虚数，求．
18、（本题共12分）
已知两个非零向量．
（Ⅰ）若向量是夹角为120°的单位向量，试确定实数，使和垂直；
（Ⅱ）若，求证：三点共线．
19、（本题共12分）
在①；②；③
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，内角的对边分别为
,且满足
，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若为上一点，,且,求．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)．
20、（本题共12分）
在中，内角的对边分别为,向量
，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求角的大小及向量在方向上的投影向量.
【提示：向量在方向上的投影向量为，其中为与同向的单位向量，
为与的夹角】
21、（本题共12分）
在平行四边形中，，若分别是边上的点，且满足，
.
（Ⅰ）当,时,求向量和夹角的余弦值；
（Ⅱ）当时,求的取值范围.
22、（本题共12分）
冠豸山为国家级重点风景名胜区，位于连城县城东1.5公里老虎岩处．冠豸山景区面积123平方公里，核心景区53平方公里．由獬豸冠、石门湖、竹安寨、九龙湖、旗石寨等九大游览区组成，包含三叠潭、香榔幽谷、老虎岩、观音峰、丹梯云栈、一线天等百余个景点，琳琅满目．区内奇峰比肩，山水相应，以“雄奇”、“秀美”著称，素有“上游第一观”的美誉。现拟在某景区建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域；受地形的限制，现有2种拟建方案：
（Ⅰ）方案一：四边形区域中，三角形区域为主题活动园区，其中,,；为游客通道（不考虑宽度），且，通道围成的三角形区域为游客休闲中心，供游客休息．记游客通道与的长度和为，求的长度及的最大值；
（Ⅱ）方案二：在四边形区域中，若，，求该园通道的取值范围．
方案一
方案二
试卷第1页，总3页
第4页，连城一中2020—2021学年下期高一年级月考一数学试卷
参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
A
A
B
C
D
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.
全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号
9
10
11
12
答案
B
C
B
D
A
C
B
C
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
14.
15.
16.
，
【16、解析】由a＋b＋c＝a＋b＋c(－－)＝＋＝0，
因为与不共线，∴a－c＝b－c＝0，∴a＝b＝c.
∴在△ABC中，由余弦定理可求得cos
A＝，∴A＝.
若a＝3，则b＝3，c＝3，S△ABC＝bcsin
A＝×3×3×＝.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
解：（Ⅰ）∵＝5＋（a－4）i是实数，
∴a＝4，z1＝2＋4i，
.................2分
∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；.................5分
（Ⅱ）∵是纯虚数，
∴，
故．.................10分
18解：（Ⅰ）和垂直
…………………3分
………………………………6分
（Ⅱ），
…………………11分
三点共线………………………………12分
19.
解：（Ⅰ）选条件①，由正弦定理及
得
…………………2分
………………………3分
……………………………4分
…………………………5分
……………………………6分
选条件②，
……………3分
…………………………6分
选条件③，由
得
……………………………2分
……………………………5分
…………………………………6分
（Ⅱ）由可得,…………………8分
得，…………………9分
所以.…………………10分
在中，由正弦定理得.
即
…………………12分
20.
解：（Ⅰ）由，得cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin
B＝－，
所以cos
A＝－.因为0
所以sin
A＝＝＝.
（Ⅱ）由正弦定理，得＝，则sin
B＝＝＝，
因为a>b，所以A>B，且B一定为锐角，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2·5c·，
解得c＝1，c＝－7(舍去)，
故向量在方向上的投影向量为
21、解：
22、解：（Ⅰ）在中，,,，
由正弦定理得,
所以
………………………2分
在中，，，
设，则，且
………………………3分
由正弦定理得,
所以
…………………………5分
所以
…………………………7分
因为，所以当时，取得最大值
…………………………………8分
（Ⅱ）延长,交于点，延长,交于点,过点作,
交于点,易得,将平移，当分别通过时，的长度取极限值。
当分别通过时，在等腰三角形中，由正弦定理得得
当分别通过时，在等腰三角形中，由正弦定理得得
故通道的取值范围为
试卷第1页，总3页
第2页，