18.1.2平行四边形判定 教案
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文档简介
平行四边形的判定
【教学目标】
1.掌握平行四边形的判定定理,
并能与性质定理、定义综合应用.
理解平行四边形的判定定理与性质定理的区别和联系.
2.通过探索式证明法的教学,
开拓学生思路,
发展学生思维能力.
通过判定定理的证明和应用,
使学生逐步掌握说理的基本方法.
3.通过对判定定理的探求,
培养学生主动探究的习惯和逻辑推理的意识.
通过对判定定理的应用,
体现几何证明的方法美,
激发学生学习的兴趣.
教学重难点
1.
教学重点：平行四边形的判定定理及其应用.
2.
教学难点：综合应用判定定理和性质定理.
3.
关键：弄清平行四边形的性质定理与判定定理的区别和联系.
【教学过程】
(一)新课引入
上两节课我们学行四边形的定义和性质定理.
现在请同学们回忆一下,
什么是平行四边形？
平行四边形的定义就是：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的定义既是平行四边形的性质,
又是平行四边形的一个判定方法.
那么,
我们要判定一个四边形是平行四边形,
除了根据定义来判定外,
还有判定定理吗？答案是肯定的.
接下来我们就一起来学习平行四边形的判定.
(二)讲解新课
（板书标题）
§4.4
平行四边形的判定(一)
1．平行四边形的判定定理
我们知道,
平行四边形的两组对角相等.
也就是说,
如果四边形是平行四边形,
那么
,
.
那么,
上述命题的逆命题是否也成立呢？
如图,
如果一个四边形的对角相等,
即,
,
问四边形是否为平行四边形？
要证明四边形是平行四边形,
由定义需证明它们的两组对边分别平行,
即证,
.
而题设中已知等角,
.
我们很容易想到四边形的内角和定理.
由四边形的内角和定理,
有
于是
即
同理
四边形是平行四边形
因此,
我们得到了平行四边形的判定定理1.
平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
类似地,
平行四边形的两组对边相等,
我们还会想到：两组对边分别相等的四边形是不是平行四边形呢？
如图,
在四边形中,
如果,
,
问四边形是否为平行四边形？
判定平行四边形的依据目前只有定义和判定定理1,
我们试用定义来探究四边形是不是平行四边形,
即须证明两组对边分别平行成立与否.
为了解决这个问题,
我们把四边形问题转化为三角形问题来处理.
连结.
在△和△中
,
,
.
△≌△
四边形是平行四边形
从而我们又得到了平行四边形的判定定理2.
平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理1、2的证明采用了探索式的证明方法,
即根据题设和已有知识,
经过推理得出结论,
然后总结成定理.
下面我们采用规范证法来证明平行四边形的判定定理3.
平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
这是一个用文字语言描述出来的命题,
我们将其转化为数学语言来表达.
已知：如图,
四边形的对角线、相交于点,
并且,
.
求证：四边形是平行四边形.
分析：要判断一个四边形是平行四边形,
除了用平行四边形的定义外,
还可用已证实了的判定定理1和判定定理2来判断.
已知条件中有,
,
而它们分别在△和△中,
我们易证△≌△,
从而找到了证题的思路.
证明：
,
,
.
△≌△
同理
四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
2．判定定理与性质定理的区别和联系
判定定理1、2、3分别与相应性质定理互为逆定理.
为了加深理解,
我们来看下面的例子.
例：已知：如图,
、是
对角线上的两点,
并且.
求证：四边形是平行四边形.
分析：已知四边形是平行四边形,
我们运用性质定理可得
的对边平行并且相等,
对角相等,
对角线互相平分.
而题中要证四边形是平行四边形,
我们运用判定定理或定义来判定.
题中给出,
并且它们均在
的对角线上,
我们可以考虑作其另一条对角线,
交于点,
从而有,
.
又因为,
所以,
即.
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证.
证明：连结，交于点.
四边形是平行四边形.
,
又
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
提问：此题还有什么方法,
证明四边形是平行四边形,
根据已知条件我们可以证明△≌△、△≌△.
从而,
,
利用两组对边分别相等来证明.
但是,
显然第二种方法比第一种方法麻烦,
也就是说要找出较简捷的证法,
准确地使用判定定理,
就要先分析图形的性质及所具备的条件.
比如证四边形是平行四边形,
由于易得,
所以再考虑第二个条件就应该是.
由此可见：条条道路通罗马.
(三)小结
本节课我们学行四边形的判定定理1、2、3的证明及其应用.
弄清了性质定理与判定定理的区别和联系.
到目前为止,
我们判定平行四边形的方法就有四种：定义判定、判定定理1、判定定理2、判定定理3,
因此在应用时应根据已知条件合理选用.
【教学目标】
1.掌握平行四边形的判定定理,
并能与性质定理、定义综合应用.
理解平行四边形的判定定理与性质定理的区别和联系.
2.通过探索式证明法的教学,
开拓学生思路,
发展学生思维能力.
通过判定定理的证明和应用,
使学生逐步掌握说理的基本方法.
3.通过对判定定理的探求,
培养学生主动探究的习惯和逻辑推理的意识.
通过对判定定理的应用,
体现几何证明的方法美,
激发学生学习的兴趣.
教学重难点
1.
教学重点：平行四边形的判定定理及其应用.
2.
教学难点：综合应用判定定理和性质定理.
3.
关键：弄清平行四边形的性质定理与判定定理的区别和联系.
【教学过程】
(一)新课引入
上两节课我们学行四边形的定义和性质定理.
现在请同学们回忆一下,
什么是平行四边形？
平行四边形的定义就是：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的定义既是平行四边形的性质,
又是平行四边形的一个判定方法.
那么,
我们要判定一个四边形是平行四边形,
除了根据定义来判定外,
还有判定定理吗？答案是肯定的.
接下来我们就一起来学习平行四边形的判定.
(二)讲解新课
（板书标题）
§4.4
平行四边形的判定(一)
1．平行四边形的判定定理
我们知道,
平行四边形的两组对角相等.
也就是说,
如果四边形是平行四边形,
那么
,
.
那么,
上述命题的逆命题是否也成立呢？
如图,
如果一个四边形的对角相等,
即,
,
问四边形是否为平行四边形？
要证明四边形是平行四边形,
由定义需证明它们的两组对边分别平行,
即证,
.
而题设中已知等角,
.
我们很容易想到四边形的内角和定理.
由四边形的内角和定理,
有
于是
即
同理
四边形是平行四边形
因此,
我们得到了平行四边形的判定定理1.
平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
类似地,
平行四边形的两组对边相等,
我们还会想到：两组对边分别相等的四边形是不是平行四边形呢？
如图,
在四边形中,
如果,
,
问四边形是否为平行四边形？
判定平行四边形的依据目前只有定义和判定定理1,
我们试用定义来探究四边形是不是平行四边形,
即须证明两组对边分别平行成立与否.
为了解决这个问题,
我们把四边形问题转化为三角形问题来处理.
连结.
在△和△中
,
,
.
△≌△
四边形是平行四边形
从而我们又得到了平行四边形的判定定理2.
平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理1、2的证明采用了探索式的证明方法,
即根据题设和已有知识,
经过推理得出结论,
然后总结成定理.
下面我们采用规范证法来证明平行四边形的判定定理3.
平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
这是一个用文字语言描述出来的命题,
我们将其转化为数学语言来表达.
已知：如图,
四边形的对角线、相交于点,
并且,
.
求证：四边形是平行四边形.
分析：要判断一个四边形是平行四边形,
除了用平行四边形的定义外,
还可用已证实了的判定定理1和判定定理2来判断.
已知条件中有,
,
而它们分别在△和△中,
我们易证△≌△,
从而找到了证题的思路.
证明：
,
,
.
△≌△
同理
四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
2．判定定理与性质定理的区别和联系
判定定理1、2、3分别与相应性质定理互为逆定理.
为了加深理解,
我们来看下面的例子.
例：已知：如图,
、是
对角线上的两点,
并且.
求证：四边形是平行四边形.
分析：已知四边形是平行四边形,
我们运用性质定理可得
的对边平行并且相等,
对角相等,
对角线互相平分.
而题中要证四边形是平行四边形,
我们运用判定定理或定义来判定.
题中给出,
并且它们均在
的对角线上,
我们可以考虑作其另一条对角线,
交于点,
从而有,
.
又因为,
所以,
即.
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证.
证明：连结，交于点.
四边形是平行四边形.
,
又
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
提问：此题还有什么方法,
证明四边形是平行四边形,
根据已知条件我们可以证明△≌△、△≌△.
从而,
,
利用两组对边分别相等来证明.
但是,
显然第二种方法比第一种方法麻烦,
也就是说要找出较简捷的证法,
准确地使用判定定理,
就要先分析图形的性质及所具备的条件.
比如证四边形是平行四边形,
由于易得,
所以再考虑第二个条件就应该是.
由此可见：条条道路通罗马.
(三)小结
本节课我们学行四边形的判定定理1、2、3的证明及其应用.
弄清了性质定理与判定定理的区别和联系.
到目前为止,
我们判定平行四边形的方法就有四种：定义判定、判定定理1、判定定理2、判定定理3,
因此在应用时应根据已知条件合理选用.