2012年中考数学第二轮复习专题讲解（12讲）

中考数学专题5 多种函数交叉综合问题
【例1】将直线沿轴向下平移后，得到的直线与轴交于点，与双曲线交于点．
⑴求直线的解析式；
⑵若点的纵标为，求的值（用含有的式子表示）．
【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单,看看就行.
【解析】将直线沿轴向下平移后经过x轴上点A（），
设直线AB的解析式为．
则．
解得．
∴直线AB的解析式为．
　　　图3
（2）设点的坐标为，
∵直线经过点，
∴．
∴．
∴点的坐标为，
∵点在双曲线上，
∴．
∴．
【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．
（1）求出这两个函数的解析式；
（2）结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，
【思路分析】第一问直接看图写出A，B点的坐标（-6,-2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m，建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。
【解析】
解：（1）由图象知反比例函数的图象经过点B(4，3)，
∴．　　　　∴m=12． -
∴反比例函数解析式为．
由图象知一次函数的图象经过点A(－6，－2) ， B(4，3)，
∴ 解得 --
∴一次函数解析式为．
（2）当0【例3】已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜.
【解析】
解：（1）将分别代入中，
得，，
∴，．
∴反比例函数的表达式为：；
正比例函数的表达式为．
（2）观察图象得，在第一象限内，当时，
反比例函数的值大于正比例函数的值．
（3）．
理由：∵，
∴，即．
∵，
∴．
∴．（很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积）
∴．
∴．
∴ 　
【例4】已知：与两个函数图象交点为，且，是关于的一元二次方程的两个不等实根，其中为非负整数．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）如果与函数和交于两点（点在点的左侧），线段，求的值．
【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出k的范围，加上非负整数这一条件得出k的具体取值。代入方程即可求出m，n，继而求得解析式。注意题中已经给定m【解析】（1）
∵为非负整数，∴
∵为一元二次方程
∴
(2)把代入方程得, 解得
∵
∴
把代入与
可得
(3)把代入与
可得，，由，可得
解得，经检验为方程的根。
∴
【例5】已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为．
（1）求与的值；
（2）设一次函数的图像与轴交于点，连接，求的度数．
【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而∠BAO=∠ABO,然后求出∠BAO即可。
解：（1）∵点在双曲线上，
∴
又∵在直线上，
∴ .
（2）过点A作AM⊥x轴于点M.
∵ 直线与轴交于点，
∴ .
解得 .
∴ 点的坐标为.
∴ .
∵点的坐标为，
∴.
在Rt△中，,
∴.
∴.-
由勾股定理，得 .
∴
∴.
∴.-
【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2，y的比较，3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如y的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。
第二部分 发散思考
【思考1】如图，A、B两点在函数的图象上.
（1）求的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用1-6的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。
【思考2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，直线分别交轴、轴于两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．
【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从A引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。
【思考3】已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．
（I）用含k的式子表示方程的两实数根；
（II）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y =的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．
【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。
【思考4】如图，反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B，OA、0C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA：0C=2：1．
（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；
（2）若直线平分矩形OABC面积，求的值
【思路分析】本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过比例可以很轻易发现B点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积意味着一定过B点，代入即可。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
（1）由图象可知，函数（）的图象经过点，
可得．
设直线的解析式为．
∵，两点在函数的图象上，
∴　　　　解得
∴直线的解析式为．
（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ．
【思考2解析】
（1）把，代入，得：．
反比例函数的解析式为．
把，代入得．
把，；，分别代入
得， （第16题答图）
解得，一次函数的解析式为．
（2）过点作轴于点．
点的纵坐标为1，．
由一次函数的解析式为得点的坐标为，
．
在和中，，，
．
．
【思考3解析】
解：（I） kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
　　　　． ∴或
（II），∴．
而，∴，．
由题意，有
解之，得．
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
【思考4解析】
（１）由题意，设B，则
∵B在第一象限，　　　　　
B(４,２)
∴矩形OABC对角线的交点Ｅ为
（２）∵直线平分矩形OABC必过点
∴1=2x2+m
m=-3
y
x
6
B
A
O
1
1
6
x
y
A
B
O
D
C
x
y
A
B
O
E
D
C
（第22题）三．归纳与猜想
1、 知识综述
归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
二、理解掌握
例1、用等号或不等号填空：
（1）比较2x与x 2＋1的大小
①当x＝2时，2x x 2＋1；
②当x＝1时，2x x 2＋1；
③当x＝－1时，2x x 2＋1．
（2）可以推测：当x取任意实数时，2x x 2＋1．
分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。
解：（1）＜，＝，＜； （2）≤。
例2、观察下列分母有理化的计算：
，，，
…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
=＿＿＿＿。
分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。还要注意相消后所剩下的是什么。
解：
=
=
=2002—1
=2001。
例3、 观察下列数表：
1 2 3 4 … 第一行
2 3 4 5 … 第二行
3 4 5 6 … 第三行
4 5 6 7 … 第四行
… … … …
第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n行与第n列交叉点上的数应为＿＿＿＿。（用含正整数n的式子表示）
分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。
解： 11 ， 2n—1.
例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。
操作的次数 1 2 3 ... 10 ..... n ……
正方形个数 4 7 10 ……
分析：解本题的关键是：先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。
解：操作的次数是 10时，正方形个数为31；操作的次数是 n时，正方形个数为1+3n.
例5、 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是＿＿＿＿＿＿。


n=2 n=3 n=4
S=3 S=6 S=9
分析：题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以S=3n—3。
解：S=3n—3。
三、拓宽应用
例6、⑴如下表：方程1，方程2，方程3，……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：
序号 方程 方程的解
1 ＿＿ ＿＿
2
3
… … … …
⑵若方程的解是，，求a，b的值，该方程是不是⑴中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？
⑶请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。
分析：通过解方程不难求出：x1=3,x2=4，将，代入方程易求a=12,b=5。
本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。
解：（1）解方程得，x1=3,x2=4；
（2）将，代入方程，易求得a=12,b=5；
（3）第n个方程是：，它的解是：。
例7、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直放行上的边长均为b）：
●在图1中，将线段向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）
●在图2中，将折线向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）
（图1） （图2） （图3）
⑴在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；
⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
=＿＿＿＿；=＿＿＿＿；=＿＿＿＿
⑶联想与探索：
如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。
分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。（1）和（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b，这样面积就不难求了。
解：（1）
（2）=ab--b；=ab--b；=ab—b;
(3) 空白部分表示的草地面积是ab—b。（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b）
例8、阅读下列材料，按要求解答问题。
⑴观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：∠A=2∠B。我们由此出发来进行思考。在图a中，作斜边上的高CD，由于∠B=30°，可知c=2b，∠ACD=30°，于是AD=，BD=，由△CDB∽△ACB ，可知，即，同理，于是。
图a 图b 图c
对于图b由勾股定理有，由于b=c，故也有，这两块三角尺都具有性质，在△ABC中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一个猜测：
如图c，在△ABC中，若∠CAB=2∠ABC，则，在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？选出一个正确的将其序号填在括号内（ ）
1 分类的思想方法；②转化的思想方法；③由特殊到一般的思想方法；④数形结合的思想方法。
⑵这个猜测是否正确？请证明。
分析：通过阅读可以发现：本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。故选③；一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。
解：（1）③；
（2）猜测是正确的。
证明：延长BA到D，使AD=AC=b，连结CD，则∠ACD=∠ADC，
∵∠BAC=∠ACD+∠ADC，∴∠BAC=2∠ADC
∵∠BAC=2∠ABC ∠ABC=∠ADC，且BC=CD=a，∴△ACD∽△CBD
想一想：还有其他证明方法吗？
四、巩固训练
1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数：
＿＿＿
2、观察下列图形并填表。
1
1 1
2
梯形的个数 1 2 3 4 5 6 …… n
周长 5 8 11 14 ……
3、 下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与n之间的关系可以用式子＿＿＿＿来表示。
· · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
n=2 · · · · · · ·
S=4 n=3 · · · · · ·
S=8 n=4 · · · · ·
S=12 n=5 S=16
4、⑴判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”
①（ ） ②（ ）
③ （ ） ④（ ）
⑵你判断完以上各题后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围：＿＿＿＿＿＿＿＿。
⑶请用数学知识说明你所写的式子的正确性。
5、已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。（1）如图9，能否在AB上确定一个点E，使AC=AE·AB，为什么？（2）如图10，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB。如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系并说明理由。（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）
A A D
C C E O
O
P
B B
图9 图10
本题三个小题全是结论探索题。
参考答案
1、， 2、17，20，2+3n 3、4n-4 4、（1）√√√√，（2）
5、（1）能，连结BC，作∠ACE=∠B。（证明略） （2）PB是⊙O的切线（证明略）
（3）是。（提示：利用切割线定理和PE=PB、PD=2PE）。
C
∴
∴
D
A
B
a
a
b
b
c中考数学专题2 图形位置关系
第一部分 真题精讲
【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．
【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】
（1）证明：联结OD． ∵ D为AC中点， O为AB中点，
∴ OD为△ABC的中位线． ∴OD∥BC．
∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.
∴ DE为⊙O的切线．
（2）解：联结DB． ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°.
∵ D为AC中点， ∴AB=AC．
在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=， ∴EC=. （三角函数的意义要记牢）
由勾股定理得：DC=.
在Rt△DCB 中， BD=．由勾股定理得： BC=5.
∴AB=BC=5.
∴⊙O的直径为5.
【例2】已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点.
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径.
【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。
【解析】证明：连接.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ . ∴ .
∴ ∥. （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）
∵ ,
∴ .∴ .
∵ 是⊙O半径，
∴ 为⊙O的切线.
（2）∵ ,，，
∴ .
由勾股定理，得.
∴ .（通过三角函数的转换来扩大已知条件）
∵ 是⊙O直径，
∴ .∴ .
又∵ , ,
∴ . （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）
在Rt△中，==5.
∴ 的半径为.
【例3】已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点
在⊙上，且
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若点是劣弧上一点，与相交
于点，且，，
求⊙的半径长.
【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。
【解析】
（1）证明：连接.
∵，
∴.
∴是等边三角形.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）
又∵点在⊙上，
∴是⊙的切线 .
（2）解：∵是⊙的直径，
∴.
在中， ,
∴设则，
∴ .
∴ . （设元的思想很重要）
∵,
∴ ∽ .
∴ .
∵,
∴ .
∴.………………………………………5分
【例4】如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的值．
【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。
【解析】
（1）证明：如图，连结，则．
∴．
∵ ，∴．
∴是的中点．
∵是的中点，
∴．
∵于F．
∴．
∴是的切线．
( 2 ) 连结，∵是直径, ∴．（直径的圆周角都是90°）
∴．
∴．
设，则．
在中，．
在中，．（这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）
∴．解得．即．
在中．
∴ ．
【例5】如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.
【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。
【解析】
（1）结论：与相切
证明：连接
∵点、在圆上，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∴ （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）
在和
∴
∴
∵与相切
∴
∴
∴
∴与相切
（2）∵，四边形是平行四边形
∴，，
∵
∴
∴
∴ （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）
∴
∴ .
【总结】 经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。
第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。
第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题， 如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。
该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。
第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：
如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三等分，以OB为圆心画，求证：与AC相切。
本题中并未说明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就非常麻烦。但是换个角度想，如果连接AO之后再证明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常严密了。
（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO，BO都用AB表示出来即可证明相等，而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。）
至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT△当中就可以非常方便的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。
第二部分 发散思考
【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。
（解法见后）
【思考2】已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交
⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.
【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD拆分成两个角去证明和为90°。
（解法见后）
【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.
【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。
【思考4】如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，
D为上一点， CE⊥AD于E.
求证：AE= BD +DE．
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。
【思考5】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．
（1） 求证：DE是⊙O的切线；
（2） 若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．
【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.
∴ ∠EAB+∠E=90°.
∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，
∴ ∠EAB+∠BAD =90°.
∴ AD是⊙O的切线.
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.
∵ AE=2AO=6, AB=4,
∴ . ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,
∴
∴
∴ .
【思考2解析】
解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图3，连结OB．-
∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D，
∴ ∠2=∠CBD．
∵ AB∥OC ，
∴ ∠2=∠A ．
∴ ∠A=∠CBD．
∵ OB=OC，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ∠OBD=90°．
∴ 直线BD与⊙O相切．
（2）解：∵ ∠D=∠ACB ，，
∴ ．
在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB = 4，，
∴ ，．
∴ ．
【思考3解析】
1）证明：连结，则．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，是角平分线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴与相切．
（2）解：在中，，是角平分线，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
设的半径为，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
解得．
∴的半径为．
【思考4解析】
证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD．
在△ACF和△BCD中，
∴ △ACF≌△BCD．
∴ CF=CD.
∵ CE⊥AD于E，
∴ EF=DE.
∴ .
【思考5解析】
证明：（1）连接OC,
3
2
1
F
A
M
C
E
G
B
O一．情境应用问题
Ⅰ、综合问题精讲：
以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】如图（8），在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米.
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)．
解：(1)100；（2）；
⑶作于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受
台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米）
∴城市O不会受到侵袭。
点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数
知识来解决，也可借助于方程．
【例2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海
域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10
海里外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里／时的速度
向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：
⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置)
⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．
解：设需要t小时才能追上，则A B=24 t，OB=26t．
（l）在Rt△AOB中，OB2= OA2+ A B2，
即（26t）2=102 +（24 t）2
解得t=±l，t=－1不合题意，舍去，t=l，
即需要1小时才能追上．
（2）在Rt△AOB中，因为sin∠AOB== =≈0.9231 ，所以∠AOB≈6 7．4°，
即巡逻艇的追赶方向为北偏东67．4°．
点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图．
【例3】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
⑴按该公司要求可以有几种购买方案？
⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。
由题意，得，
解这个不等式，得，即x可以取0、1、2三个值，
所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。
【例4】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少
解：根据题意，可有三种购买方案；
方案一：只买大包装，则需买包数为：；
由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元)
方案二：只买小包装．则需买包数为：
所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元)
方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装 包．小包装包．所需费用为W元。
则
∵，且为正整数，
∴9时，290(元)．
∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。
答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。
点拨：数学知识来源于生活，服务于生活，对于实际问题，要富有创新精神和初中能力，借助于方程或不等式来求解。
【例5】如图2-2-4所示，是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在有O、A两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰角分别为α，β，OA=2米，tanα=, tanβ=,位于点O正上方2 米处的点D的发身装置可以向目标C同身一个火球点燃火炬，该火球运行地轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米(图中E点)。
⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；
⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标C？
解：⑴由题意可知：抛物线顶点坐标为(12,20)，D点的坐标为(0，2)，所以抛物线解析式为即
∵点D在抛物线上，所以2=
∴抛物线解析式为：
⑵过点C作CF丄x轴于F点，设CF=b，AF=a，则
解得：
则点C的坐标为(20,12)，当x=20时，函数值y=
所以能点燃目标C．
点拨：本题是三角函数和抛物线的综合应用题，解本题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化为数学问题来解决．七．函数及图象
一、总述
函数及其图象是初中数学的重要内容。函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。
二、复习目标
1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标。
2、会从不同角度确定自变量的取值范围。
3、会用待定系数法求函数的解析式。
4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。
5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。
三、知识要点
(一)平面直角坐标系中，x轴上的点表示为(x，0)；y轴上的点表示为(0，y)；坐标轴上的点不属于任何象限。
(二)一次函数
解析式：y = kx + b(k、b是常数，k ≠0)，
当b = 0时，是正比例函数。
(1)当k ＞0时，y 随 x 的增大而增大；
(2)当k ＜0时，y 随x 的增大而减小。
(三)二次函数
1、解析式：
(1)一般式：y = ax2 + bx + c (a≠0 );
(2)顶点式：y = a ( x – m ) 2+ n，顶点为(m , n);
(3)交点式：y = a (x – x1 ) ( x－x2 )，与x 轴两交点是(x1,0)，(x2,0)。
2、抛物线位置由a、b、c决定。
(1)a决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上;a＜0开口向下。
(2)c决定抛物线与y轴交点的位置：
① c＞0图象与y轴交点在x轴上方；
② c＝0图象过原点；
③ c＜0图象与y轴交点在x轴下方。
(3)a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴。
① a、b同号对称轴在y轴左侧；
② b = 0对称轴是y轴；
③ a、b异号对称轴在y轴右侧。
(4)顶点。
(5)△= b2－4ac决定抛物线与 x 轴交点情况：
① △＞0抛物线与 x 轴有两个不同交点；
② △＝0抛物线与 x 轴有唯一的公共点；
③ △＜0抛物线与 x 轴无公共点。
(四)反比例函数
解析式：。
(1)k＞0时，图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；
(2)k＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.
四、例题选讲
例1．为预防“非典”，小明家点艾条以净化空气，经测定艾条点燃后的长度y cm与点燃时间 x 分钟之间的关系是一次函数，已知点燃6分钟后的长度为17.4 cm，21分钟后的长度为8.4 cm。
（1）求点燃10分钟后艾条的长度。
（2）点燃多少分钟后，艾条全部烧完。
解：（1）令 y=k·x+b，
当 x=6 时，y=17.4，当x=21时 y=8.4，则
(2)艾条全部烧完，即y=0，
令，解得：x=35，
因此，点燃35分钟后艾条全部烧完。
例2．小明从斜坡O点处抛出网球，网球的运动曲线方程是，斜坡的直线方程是，其中y是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）。
⑴网球落地时撞击斜坡的落点为A ，求出A 点的垂直高度，以及A 点与O点的水平距离。
⑵求出网球所能达到的最高点的坐标。
分析: （1）∵A 点的垂直高度就是点A的纵坐标，
A 点与O点的水平距离就是点A的横坐标，而点A既在抛物线上又在直线上
∴只要解抛物线方程和直线方程联立的方程组，求得方程组的解即可。
（2）求最高点即抛物线顶点B的坐标，只要把抛物线方程改写成顶点式，或者用顶点坐标的公式即可求出。
解：(1)由方程组解得A点坐标（7，3.5），求得A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水平距离为7米。
例3若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在反比例函数的图像上,则
(A)y1>y2>y3 (B)y2>y1>y3 (C)y3>y1>y2 (D)y1>y3>y2
分析：∵函数的图像在第二、四象限，
y随着x的增大而增大，又第二象限的的函数
值大于第四象限的函数值
∴y2>y1>y3，选(B)
例4.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米,
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆
隔墙，要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为
多少米？
解:(1)设鸡场的面积为y米2,则宽为米，
由题意得：，
即。
所以当x=25时，鸡场的面积最大。
由（1）（2）结果可得出：不论鸡场中间有几道墙，要使鸡场面积最大，它的总长等于篱笆总长的一半。
例5．
例6．某家电生产企业跟踪市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，
(4)根据图乙,自编一则新的“龟兔赛跑”的寓言故事，要求如下:
①用简洁的语言概括大意，不能超过200字；
②图中能确定的数值，在故事叙述中不能少于3个，且分别涉及时间、路程和速度。
分析：乌龟的运动路径是过点(0,0)、(35,200)的一条线段。
兔子的运动路径分三段：
1)端点为(0,0)、(5,200)的线段；
2)端点为(5,200)、(35,200)平行于横轴的线段；
3)端点为(35,200)、(40,300)的线段。
乌龟追上兔子处，从图中看，就是虚线和实线的交点。
解：(1)甲；
(2)
主人公（龟或兔） 到达时间（分） 最快速度（米/分） 平均速度（米/分）
实线 兔 40 40
虚线 龟 35
(3)①
②结合图像，由，解得，即乌龟用分追上小兔，追及地距起点200米。
(4)例文：
听到发令枪响，小兔迅速向前冲去，他用了5分多钟就跑出了150米，这时，他回头一看，发现乌龟才跑出50米就不动了，原来乌龟受伤了，小兔连忙跑回来，用5分钟时间为乌龟包扎好伤口，然后，扶着乌龟一起以10米/分的速度前进，又经过了25分钟，他们终于一起到达了300米的终点。
例6．图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、…第n层，第n层的小正方体的个数记为s。解答下列问题：
（1）按照要求填表：
n 1 2 3 4 ···
s 1 3 6 ···
（2）写出当n=10时，s=_____；
（3）根据上表中的数据，把s作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。
（4）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。
解：(1)s=10；
(2)s=55；
(3)
(4)经观察所描各点，它们在二次函数的图像上。设函数的解析式为S=an2+bn+c，由题意得：
所以，.
例7．且冰箱至少生产60台，已知生产这些产品每台的需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调器 彩电 冰箱
工时
产值（千克） 4 3 2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使生产之最高？最高产值是多少千元？
[分析]可设每周生产空调、彩电、冰箱分别为分别为x台、y台、z台。故有目标函数S=4x+3y+2z（即产值与家电的函数关系）。在目标函数中，由于4x+3y+2z中有三个未知数，故需消去两个未知数，得到一个一元函数，在确定这个变元的取值范围，从而可得出问题的解答。
[解]设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台。
由题意得：
由①②消去z得y=360-3x.
将⑤带入①得 x+(360-3x)+z=360，即z=2x.
∵ z≥60， ∴x≥30.
将⑤⑥代如④得S=4x+3(360-3x)+2(2x)=-x+1080.
由条件⑦知，当x=30时，产值最大，且最大值为-30+1080=1050(千元)
将x=30代入⑤⑥得 y=360-90=270，z=2×30=60.
答：每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使生产值最大，最大生产值为1050千元。
点评：
例1是用待定系数法求一次函数的典型例子，所示不同的只是赋予了较新的背景材料，待定系数法是求函数解析式最常用的方法之一，用待定系数法解题的策略是有几个待定的系数就找几个方程构成方程组。
例2的关键是把实际问题转化为求两解析式交点的问题，以及如何求二次函数顶点的方法。
例3主要是数与形的转换，历为函数图像能直观地反映函数的各种性质。利用数形结合的思想，同学们可以开拓解题思路，设计更好的解题方案，以便迅速地找到解决问题的途径。
例4和例7是函数应用题，我们首先要从问题出发，利用量与量之间的内在联系，引进数学符号，建立函数关系式，再确定函数关系式中自变量的取值范围，利用函数性质，结合问题的实际意义，最后得出问题的解答。
例5是一道比较新颖的图像信息题，不仅考察同学们的数学知识，还要有同学们有一定的文学功底，解这类题首先要读懂图形，从图中获取信息，一个一个地将条件抽象成数量关系，最后一问同学们创设的情景一定要合乎常理。
例6通过请同学们观察三个立体图形，猜想探索发现规律，并把发现的规律一般化，最后用图像语言表述结果，命题经历了问题情景——建立模型——解释，应用拓展, 练习这样一个完整的解决数学问题的过程。
练习
①函数y=中自变量x的取值范围是________.
②点A(1,m)在函数y=2x的图像上,则点A关于y轴的对称的点的坐标是(_____).
③若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在反比例函数的图像上,问y1,y2,y3间存在怎样的关系
(A)y1>y2>y3 (B)y2>y1>y3 (C)y3>y1>y2 (D)y1>y3>y2
④正比例函数y=kx和反比例函数的图像交于M,N两点,且M点的横坐标为-2.
(1)求两焦点坐标;
(2)如果函数y=kx和的图像无交点,求k的取值范围.
⑤设抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,2),B(2,-1)两点,且与y轴相交于点M.
(1)求b和c(用含a的代数式表示);
(2)求抛物线y=ax2-bx+c-1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标;
(3)在第(2)小题所求出的点中,由一个点也在抛物线y=ax2+bx+c上,是判断直线AM和x轴的位置关系,并说明理由.
为叙述方便,下面解题过程中,把抛物线y=ax2+bx+c叫做抛物线C1, 把抛物线y=ax2-bx+c-1叫做抛物线C2.
解:(1)∵抛物线C1经过A(-1,2),B(2,-1)两点,
∴解得b=-a-1,c=1-2a.
(2)由(1),得抛物线C2的解析式是y=ax2+(a+1)x-2a.
根据题意,得ax2+(a+1)x-2a=x,
即 ax2+ax-2a=0 (※)
∵a是抛物线解析式的二项式系数,∴a≠0.
∴方程(※)的解是x1=1,x2=-2.
∴抛物线C2上满足条件的点的坐标是P1(1,1),P2(-2,-2)
(3)由(1)得抛物线C1的解析式是y=ax2-(a+1)x+1-2a.
①当P1(1,1)在抛物线C1上时,有a-(a+1)+1-2a=1.
解得
这时抛物线C1得解析式是
它与y轴的交点是C(0,2).
∵点A(-1,2),C(0,2)两点的纵坐标相等,
∴直线AC平行于x轴.
②当P2(-2,-2)在抛物线C1上时,有4a+2(a+1)+1-2a=-2.
解得
这时抛物线C1得解析式是
它与y轴的交点是C(0,).
显然A,C两点的纵坐标不相等,
∴直线AC与x轴相交.
综上所述, 当P1(1,1)在抛物线C1上时, 直线AC平行于x轴; 当P2(-2,-2)在抛物线C1上时, 直线AC与x轴相交.
小结：
应用函数知识解决实际问题的具体步骤：
(1)审清题意，找出影响问题解的关键变量——自变量，指出自变量的范围，并将其他相关变量用自变量表示；
(2)根据条件，建立变量间的函数关系式；
(3)利用函数性质，求出问题的答案。
另外，同学们在解决函数问题时，常常会用到待定系数法、化归与转化、数形结合等数学思想方法。
一次函数
函
数
概
念
初等函数
图
像
性
质
综
合
运
用
二次函数
反比例函数
研究方法
定义
解析式
平面直角坐标系
点的坐标特征
6k+b=17.4
21k+b=8.4
解得
y
B
A
O
x
y
1
O
-1
x
x
项目
线型
s
n
·
·
·
O
·
，解之，得
a+b+c=1
4a+2b+c=3
9a+3b+c=6二．几何探索题巡视
探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。
一、实验型探索题
例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在△ABC中，AB＝AC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。
图1
问题提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？
探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？
如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图2(1)），这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中心和各边等分点（如图2(2)，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起（如图2(3)），这样就能把这个正三角形的面积4等分了。
图2
（1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。
图3
（2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。
（3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？
图4
（4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由）
图5
分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。
解：（1）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5等分了（图略）。
（2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积m等分了。
理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每3个拼合在一起的图形面积当然也都相等，即把正三角形的面积m等分。
（3）先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的4个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积m等分了。
（4）连接正n边形的中心和各顶点，然后将这个正n边形各边m等分，再依次将n个相邻的小三角形拼在一起，这就将这个正n边形的面积m等分了。
二、操作型探索题
例2.已知线段AC＝8，BD＝6。
（1）已知线段AC⊥BD于O（O不与A、B、C、D四点重合），设图6（1）、图6（2）和图6（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S3，则S1＝_________，S2＝_________，S3＝_________；
图6
（2）如图6（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、B、C、D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的结论；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A、B、C、D所围成的封闭图形的面积是多少。
分析：题（1）实际上是将BD沿AC由下向上移动，计算BC在不同位置时四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（2）是AC沿BD左右移动，计算四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（3）是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。
解：（1）24 24 24
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、C、B、D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24。证明如下：
显然，
（3）所围成的封闭图形的面积仍为24。
三、观察猜想型探索题
例3. （山西省）如图7，正方形ABCD的边CD在正方形EFGC的边CE上，连接BE、DG。
图7
（1）观察并猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）图7中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。
分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。
解：（1）BE＝DG，证明如下：
在Rt△BCE和Rt△DCG中，BC＝CD，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG。故BE＝DG。
（2）将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG重合。
四、图形计数型探索题
例4.如图8，在图（1）中，互不重叠的三角形有4个，在图（2）中，互不重叠的三角形有7个，在图（3）中，互不重叠的三角形有10个，…，则在图（n）中互不重叠的三角形有_______个（用含n的代数式表示）。
图8
分析：这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个具体图形寻找规律，然后写出公式，或称一般表达式。解题的关键是找规律。
解：图（1）：1＋1×3＝4；图（2）：1＋2×3＝7；图（3）：1＋3×3＝10。
所以图（n）中有1＋3n个互不重叠的三角形，应填3n＋1。
五、其他类型探索题
例5.如图9，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。
(1) (2)
图9
（1）在图9（1）中，判断能否在AB上确定一点E，使得AC2＝AE·AB，并说明理由；
（2）在图9（2）中，在条件（1）的结论下，延长EC到P。连接PB，如果PB＝PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由。
分析：一般的探索题是由特殊到一般，探求结论的普遍性，而这道题是两个小题互相独立，只是基本图形相同。题（1）是作出满足线段关系式的图形，题（2）是判断图形中的一些线段的相互关系。
解：（1）作法有多种，这里举一例。如图10，在⊙O上取点D，使＝，连接CD交AB于点E，则有AC2＝AE·AB。连接BC，显然△ACE∽△ABC，则AB：AC＝AC：AE，故AC2＝AE·AB。
图10 图11
（2）如图11，过点B作⊙O的直径BF，连接CF、BC。可以证明∠PBC＋∠FBC＝90°，即PB⊥BF。所以PB是⊙O的切线。九．几何应用题
几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。
一、三角形在实际问题中的应用
例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90 ，AC=80米，BC=60米。
（1） 若入口E在边AB上，且A，B等距离，求从入口E到出口C的最短路线的长；
（1） 若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？
分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念。
1．E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，E点到C点的最短路线即为线段CE。
2．水渠DC越短造价越低，当DC垂直于AB时最短，此时造价最低。
本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。
解：（1）由题意知，从入口E到出口C的最短路线就是Rt△ABC斜边上的中线CE。
在Rt△ABC中，AB=（米）。
∴CE=AB=×100=50（米）。
即从入口E到出口C的最短路线的长为50米。
（1） 当CD是Rt△ABC斜边上的高时，CD最短，从而水渠的造价最低。
∵CD AB=AC BC，∴CD=米）。
∴AD==64（米）。所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为4810=480元。
例2．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。
分析：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大。
解：由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DE//AB，Rt△CDE∽Rt△CBA ,∴，即，解得。如图，过点B作Rt△ABC斜边AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB＝1.5米，BC＝2米，平方米，C＝2.5米，BH＝1.2米。设乙加工的桌面边长为y米，∵DE//AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴，即，解得。因为，即，，所以甲同学的加工方法符合要求。
二、几何设计问题
例3.在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测得∠C＝90°，AB＝BC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形与△ABC的其他边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。
分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图能力。本题的关键是找出圆心和半径，分类时应考虑到所有情况，可以先考虑圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后排除相同情况。
解：可以设计如下四种方案：
例4.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）。
分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结；也可从相似三角形性质来考虑。
解：
三、折线运动问题
例5. 如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍．
(1) 选择：两船相遇之处E点在 ( )．
（A）线段AB上 （B）线段BC上 （C）可以在线段AB上，也可以在线段BC上
(2) 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号)
分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两船同时到达的E点作一个合理判断，E点不可能在AB上，因为当E点在AB上时，DE的最短距离为D到AB中点的距离，而此时AB=2DE，当E不是中点时，AB<2DE，所以E点不可能在AB上。然后利用代数方法列方程求解DE
解：（1）B
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里．
过D作DF⊥CB，垂足为F，连结DE．则DE=x，AB+ BE=2x．
∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝200，D是AC中点，
∴DF＝100，EF＝300－2x．
在Rt△DEF中，DE 2＝DF 2 +EF 2，
∴x 2＝100 2+(300－2x) 2
解之，得．
∵＞200，
∴DE=．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了海里．
四、综合类几何应用
例6 .如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30，点A处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题
要判断是否受到噪声的影响，只需求出A点到直线MN
的距离AB，当此AB≤100米时就要受到噪声影响；第二
个问题只需要噪声影响路段的长度，就能求出受影响的时间。
解：过点A作AB⊥MN，垂足为B
在Rt△ABP中：∠APB=∠QPN=30°
AP=160米
则AB=AP=80米，所以
学校会受到噪声影响。
以A为圆心，100米为半径作☉A,交MN于C、D两点，在Rt△ABC中：AC=100米，AB=80米
则：BC=（米）
∴CD=2BC=120（米）；∵18千米/小时=5米/秒
∴受影响时间为：120米÷5米/秒=24（秒）
例7. 马戏团演出场地的外围围墙是用若干块长为5米、宽2.5米的长方形帆布缝制成的，两块帆布缝合的公共部分是0.1米，围成的围墙高2.5米（如下图）
(1) 若先用6块帆布缝制成宽为2.5米的条形，求其长度；
(2) 若用x块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y与所用帆布的块数x之间的函数关系式；
(3) 要使围成的圆形场地的半径为10米，至少需要买几块这样的帆布缝制围墙
分析：本题的关键是弄清缝制成条形和缝制成密封的圆形后有几块公共部分。
解：(1)6块帆布缝制成条形后，有5块公共部分，所以6块缝制后的总长度为6×5－5×0.1＝29.5(米)
(2)x块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x块公共部分，设圆形围墙的周长为米，则y=5x-0.1x=4.9x，所以y=4.9x
(3) 要围成半径为10米的圆形场地，则2π×10＝4.9x
(块)
要到商店买这样的帆布13块。
解几何应用问题要求我们必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及对数学思想方法的掌握，只要我们有针对性地复习，就一定能掌握好几何应用问题的解决方法。
练习：
1、 在生活中需测量一些球（如足球、篮球…）的直径。某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图8，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径。若测得AB的长为40 cm，∠ABC＝30°。请你计算出球的直径（精确到1 cm）。
2、 如图；某人在公路上由A到B向东行走，在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东
60°方向。到达B处后，又测得建筑物C在北偏东45°方向。继续前进，若此人在行走过程中离建筑物C的最近距离是（25+25）米，求AB之间的距离。
3、 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A，P两点间的距离为x。
（1） 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
（1） 当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（1） 当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。（图1，图2，图3的形状，大小相同，图1供操作实验用，图2和图3备用）
A D A D A D
B C B C B C
方案一
方案二
方案三
方案四
A
B
C
D
P
N
Q
M
A
2.5米
5米
0.1米
30°
A
B
C
D
E
F五．开放性探索题
一、填空题
1.如图1,若AC、BD、EF两两互相平分于点O,请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________.
(1) (2) (3)
2.如图2,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是______.(注:将你认为正确的结论都填上)
3.若抛物线过点(1,0),且其解析式中二次项系数为1,则它的解析式为___________.(任写一个).
4.如图3,已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是_________或_________.
5.写出一个当x>0时,y随x的增大而增大的函数解析式________.
6.在△ABC和△ADC中,下列三个论断:①AB=AD,②∠BAC=∠DAC,③BC=DC,将其中的两个论断作条件,另一个论断作为结论写出一个真命题__________.
7.请用“如果……,那么……”的形式写一个命题:__________________.
8.写出一个图象位于一、三象限的反比例函数表示式_________.
9.如图,请写出等腰梯形ABCD(AB∥CD)特有而一般梯形不具有的三个特征:_________,_________,__________.
二、解答题
1.如图,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).
①AE=AD ②AB=AC ③OB=OC ④∠B=∠C.
2.如图,已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG在同一直线上,且AB=,BC=1,连结BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.
(1)求证:△BFG∽△FEG,并求出BF的长.
(2)观察图形,请你提出一个与点P相关的问题,并进行解答.
3.阅读材料,解答问题:
材料:“小聪设计的一个电子游戏是:一电子跳蚤从P1(-3,9)开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=x2上向右跳动,得到点P2、P3、P4、P5…(如图①所示),过P1、P2、P3分别作P1H2、P2H2、P3H3垂直于x轴,垂足为H1、H2、H3,则S△P1P2P3=S梯形P1H1H3P3-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3=(9+1)×2-(9+4)×1-(4+1)×1=1.,即△P1P2P3的面积为1”
问题:
(1)求四边形P1P2P3P4和四边形P2P3P4P5的面积(要求:写出其中一个四边形面积的求解过程,另一个直接写出答案);
(2)猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积,并说明理由(利用图②).
(3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2+bx+c,其他条件不变,猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案).
① ②
4.如图,梯形ABCD,AB∥DC,AD=DC=CB,AD、BC的延长线相交于G,CE⊥AG于E,CF⊥AB于F.
(1)请写出图中4组相等的线段(已知的相等线段除外);
(2)选择(1)中你所写出的一组相等线段,说明它们相等的理由.
参考答案
一、
1.△DOF≌△BOE
2.①②③
3.y=x2-1或y=x2-2x+1等
4.AB=DC,∠ACB=∠DBC
5.y=x或y=-或y=x2等
6.已知:AB=AD,∠BAC=∠DAC,求证:BC=DC.
或已知:AB=AD,BC=DC, 求证:∠BAC=∠DAC.
7.略
8.y=,其中k>0.
9.∠A=∠B,∠D=∠C,AD=BC
二、
1.已知:① 或②或③
求证:①∠B=∠C,或②AE=AD,或③AB=AC.
证明:①△ABE≌△ACD∠B=∠C;
或②△ABE≌△ACDAE=AD;
或③△ABE≌△ACDAB=AC.
2.(1)证明:∵△ABC≌△DCE≌△FEG,
∴BC=CE=EG=BG=1,即BG=3.
∴FG=AB= ,∴=
又∠BGF=∠FGE,∴△BFG∽△FEG.
∵△FEG是等腰三角形,∴△BFG是等腰三角形.
∴BF=BG=3.
(2)A层问题(较浅显的,仅用到了1个知识点).
例如:①求证:∠PCB=∠REC(或问∠PCB与∠REC是否相等 )等;
②求证:PC∥RE.(或问线段PC与RE是否平行 )等.
B层问题(有一定思考的,用到了2～3个知识点).例如:①求证:∠BPC=∠BFG等,求证:BP=PR等.
②求证:△ABP∽△CQP等,求证:△BPC∽△BRE等;
③求证:△APB∽△DQR等;④求BP:PF的值等.
C层问题(有深刻思考的,用到了4个或4个以上知识点或用到了(1)中结论).
例如:①求证:△APB≌△ERF;
②求证:PQ=RQ等;
③求证:△BPC是等腰三角形;
④求证:△PCQ≌△RDQ等;
⑤求AP:PC的值等;
⑥求BP的长;
⑦求证:PC= (或求PC的长)等.
A层解答举例.
求证:PC∥RE.
证明:∵△ABC≌△DCE,
∴∠PCB=∠REB.
∴PC∥RE.
B层解答举例.
求证:BP=PR.
证明:∵∠ACB=∠REC,∴AC∥DE.
又∵BC=CE,∴BP=PR.
C层解答举例.
求AP:PC的值.
解:∵AC∥FG,∴,∴PC=.
∵AC=,∴AP=-=,∴AP:PC=2.
3.解:(1)如图,由题意知:
P1(-3,9),P2(-2,4),P3(-1,1),P4(0,0).
S四边形P1P2P3P4=S△P1H1P4-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3-S△P3H3P4
=×9×3-×(9+4)×1-×(4+1)×-×1×1=4.
S四边形P2P3P4P5=4.
(2)四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积为4.
理由:
过点Pn-1、Pn、Pn+1、Pn+2分别作Pn-1Hn-1、PnHn、Pn+1Hn+1、Pn+2Hn+2垂直于x轴,垂足分别为Hn-1、Hn、Hn+1、Hn+2.
设Pn-1、Pn、Pn+1、Pn+2四点的横坐标依次为x-1,x,x+1,x+2,则这两个点的纵坐标分别为(x-1)2,x2,(x+1)2,(x+2)2.
所以四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积
=梯形Pn-1Hn-1Hn+1Pn+2的面积-梯形Pn-1Hn-1HnPn的面积-梯形PnHnHn+1Pn+1-梯形Pn+1Hn+1Hn+2Pn+2的面积
=[(x-1)2+(x+2)2]-[(x-1)2+x2]-·[x2+(x+1)2]-[(x+1)2+(x+2)2]
=(x-1)2+(x+2)2-x2-(x+1)2=4.
(3)四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积为4.
4.(1)DG=CG;DE=BF;CF=CE;AF=AE;AG=BG.
(2)举例说明AG=BG.
∵在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC,
∴梯形ABCD为等腰梯形.
∴∠GAB=∠GBA.∴AG=BG.毛中考数学专题4 一元二次方程与二次函数
第一部分 真题精讲
【例1】已知：关于的方程．
⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数的图象关于轴对称．
①求二次函数的解析式；
②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解：（1）分两种情况：
当时，原方程化为，解得， （不要遗漏）
∴当，原方程有实数根.
当时，原方程为关于的一元二次方程，
∵.
∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）
综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.
（2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称，
∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）
∴.
∴抛物线的解析式为.
②∵，（判断大小直接做差）
∴（当且仅当时，等号成立）.
（3）由②知，当时，.
∴、的图象都经过. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）
∵对于的同一个值，，
∴的图象必经过.
又∵经过，
∴. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）
设.
∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，
∴，
∴.
又根据、的图象可得 ，
∴.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）
∴.
∴.
而.
只有，解得.
∴抛物线的解析式为.
【例2】关于的一元二次方程.
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】：
（1）由题意得
解得
解得
当且时，方程有两个不相等的实数根.
（2）由题意得
解得（舍） (始终牢记二次项系数不为0)
（3）抛物线的对称轴是
由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握)
与抛物线有且只有一个交点 (这种情况考试中容易遗漏)
另设过点的直线（）
把代入，得，
整理得
有且只有一个交点，
解得
综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，
【例3】
已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）求的值；
（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．
【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，
十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】
(1)因为点P 、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．
所以，抛物线对称轴，所以，．
（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．
因为，=16-8=80．
所以，方程有两个不同的实数根，分别是
，．
（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为．
若使抛物线的图象与轴无交点，只需 无实数解即可．
由==<0，得
又是正整数，所以得最小值为2．
【例4】已知抛物线，其中是常数．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．
【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.
（1）依题意，得，
∴
∴抛物线的顶点坐标为
（2）∵抛物线与轴交于整数点，
∴的根是整数．
∴是整数．
∵，
∴是整数．
∴是整数的完全平方数．
∵，
∴． (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)
∴取1，4，
当时，； 当时， ．
∴的值为2或 ．
∴抛物线的解析式为或．
【例5】已知：关于的一元二次方程（为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；
（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式．
【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m-1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.
解：（1）
∵方程有两个不相等的实数根,
∴
∵,
∴的取值范围是且.
（2）证明：令得.
∴.
∴ (这样做是因为已经知道判别式是,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)
∴抛物线与轴的交点坐标为,
∴无论取何值，抛物线总过定点
（3）∵是整数 ∴只需是整数.
∵是整数，且,
∴
当时，抛物线为．
把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为
【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。
第二部分 发散思考
【思考1】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
与此图象有两个公共点时，的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
【思考2】已知：关于的一元二次方程
（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求的值．
【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.
【思考3】已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc
（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.
【思考4】已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根满足，求的值．
【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出,
发现都是关于m的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：（1）由题意得，．
∴．
∵为正整数，
∴．
（2）当时，方程有一个根为零；
当时，方程无整数根；
当时，方程有两个非零的整数根．
综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．
当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．
（3）设二次函数的图象与轴交于
两点，则，．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线经过点时，可得；
当直线经过点时，可得．
由图象可知，符合题意的的取值范围为．
【思考2解析】
证明：
∴方程有两个不相等的实数根。
（2）
∵方程有两个整数根，必须使且m为整数．
又∵12＜m＜40，
∴　5＜＜9．
∴m=24
【思考3解析】
解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.
依题意 k-1≠0.
∴ .
∵ 方程的根为正整数，k为整数,
∴ k-1=1或k-1=2.
∴ k1= 2, k2=3.
（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .
∴
=
（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数
根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+4ac(k-1).
∵ 方程kx=x+2的根为正实数，
∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.
由 x>0, 2>0, 得 k-1>0.
∴ 4ac(k-1)>0.
∵ (a-kc)20,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
证法二: 若ac>0,
∵ 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,
∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc0.
(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1).
由证法一知 k-1>0,
∴ b2-4ac> b2-4akc0.
∴ Δ= b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
综上, 方程②有两个不相等的实数根.
【思考4解析】
（1）　　-
　　　　　
　　　　　　　
不论取何值，方程总有两个不相等实数根　　
（2）由原方程可得
　∴ 　　--
∴
　又∵
　　∴　
　 ∴　　-
经检验：符合题意．
　∴ 的值为4．　
A
O
x
y
8
6
4
2
2
4
B八．几何计算题选讲
几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段 与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。
一、三种常用解题方法举例
例1． 如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PE⊥AB于E，AB=10，求PE的长.
解法一：（几何法）连结OT，则OT⊥CD，且OT=AB＝5
BC=OT=5,AC==
∵BC是⊙O切线，∴BC2 =CP·CA.
∴PC=，∴AP=CA-CP=.
∵PE∥BC ∴，PE=×5=4.
说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件.
解法二：（代数法）
∵PE∥BC，∴. ∴.
设：PE=x，则AE=2 x ，EB=10–2 x.
连结PB. ∵AB是直径，∴∠APB=900.
在Rt△APB中，PE⊥AB，∴△PBE∽△APE .
∴.∴EP=2EB，即x=2（10–2x）.
解得x=4. ∴PE=4.
说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系.
解法三：（三角法）
连结PB，则BP⊥AC.设∠PAB=α
在Rt△APB中，AP=10COSα，
在Rt△APE中，PE=APsinα, ∴PE=10sinαCOSα.
在Rt△ABC中, BC=5,AC=.∴sinα=,
COSα=.∴PE=10×=4.
说明：在几何计算中，必须注意以下几点：
（1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.
（1） 注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化.
（1） 注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.
二.其他题型举例
例2.如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长.
分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.
解：连结OE，∵CE切⊙O于E， ∴OE⊥CF ∴△EFO∽△BFC，∴，又∵OE=AB=BC，∴EF=FB
设EF=x，则FB=2x，FA=2x–2a
∵FE切⊙O于E ∴FE2=FA·FB，∴x2=（2x–2a）·2x
解得x=a， ∴EF=a.
例3．已知：如图，⊙O1 与⊙O2相交于点A、B，且点O1在⊙O2上，连心线O1O2交⊙O1于点C、D，交⊙O2于点E，过点C作CF⊥CE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=
（1） 求证：EF是⊙O1的切线；
（1） 求线段CF的长；
（1） 求tan∠DAE的值.
分析：（1）连结O1A，O1E是⊙O2的直径，O1A⊥EF，从而知
EF是⊙O1的切线.
（2）由已知条件DE=2，AE=，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线，运用切割线定理EA2=ED·EC，可求得EC=10.由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+.又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2= x2+102，解得 x=.即CF=.
（3）要求tan∠DAE的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE的直角三角形；②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值.
解：（1）连结O1A，
∵O1E是⊙O2的直径，∴O1A⊥EF
∴EF是⊙O1的切线..
（2）∵DE=2，AE=，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线
∴EA2=ED·EC，∴EC=10
由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+.又CE=10，由勾股定理可得：（x+）2= x2+102，解得 x=.即CF=.
（3）解法一：（构造含∠DAE的直角三角形）
作DG⊥AE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△A O1E中，三边长都已知或可求（O1A=4，O1E=6），又DE=2，且DG∥A O1（因为DG⊥AE），运用平行分线段成比例可求得DG= 从而tan∠DAE=.
解法二：（等角转化）
连结AC，由EA是⊙O1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=900，所以只需求的值即可.观察和分析图形，可得△ADE∽△CAE，.从而tan∠ACD=，即tan∠DAE=.
说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长.
（2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.
例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4.
（1） 求⊙A的半径；
（1） 求CF的长和△AFC的面积.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2，∴（2+AD）2=42+AD2，解得AD=3.
（2） A作AG⊥EF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，∴CE=
由CE·CF=CD2，得CF=.又∵∠B=∠AGE=900，∠BEC=∠GEA，∴△BCE∽△GAE.∴，即S△AFC=CF·AG=.
例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B为锐角，且关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F.
（1） 求∠B的度数；
（1） 求CE的长.
分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.
解：（1）∵关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-4cosB）2-4=0.∴cosB=，或cosB=-（舍去）.
又∵∠B为锐角，∴∠B=600.
（2） 点A作AH⊥BC，垂足为H. S△ABC=BC·AH=BC·AB·sin600=，解得AB=6
在Rt△ABH中，BH=AB·cos600=6×=3，AH=AB·sin600=6×，∴CH=BC-BH=4-3=1. 在Rt△ACH中，AC2+CH2=27+1=28.∴AC=（负值舍去）.∴AC=.连结AE，在圆内接四边形ABCD中，∠B+∠ADC=1800，∴∠ADC=1200.又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=600=∠EAC. 又∵∠AEC=∠B=600，∴∠AEC=∠EAC，∴CE=AC=.
例6. 已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+ r2–4=0的两个实数根.求（1）AC、BC的长；（2）CD的长.
分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.（2）∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算.
解：（1）∵CE切⊙O于C，∴∠ECB=∠A.又∵∠E是公共角，∴△ECB∽△EAC，，∴AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+ r2–4=0的两个实数根，∴AC+BC=3（r-2）；AC·BC=r2-4，解得r=6，∴BC=4，AC=8.
（2） CO并延长交⊙O于F，连结AF，则∠CAF=900，∠CFA=∠CBD. ∵∠CDB=900=∠CAF，∴△CAF∽△CDB，.∴CD=.
说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.
例7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CE∶EB=6∶5，AE∶EB=2∶3，求AB的长和∠FCB的正切值.
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900. ∴∠CAB+∠B=900，又∠PAC=∠B，∴∠CAB+∠PAC=900.即PA⊥AB，∴PA是⊙O的切线.
（2） 设CE=6a ,AE=2x,则ED=5a，EB=3 x.
由相交弦定理，得2x·3x=5a·6a ∴x=a. 连结AD.由△BCE∽△DAE，得.连结BD.由△BED∽△CEA，得.
∴BD=.由勾股定理得BC=，AD=.
∴.两边平方，整理得，∴（负值舍去）.
∴AD=.∵∠FCB=∠BAD，∴tan∠FCB= tan∠BAD=.
解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.中考数学专题3 动态几何问题
第一部分 真题精讲
【例1】如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．
（1）当时，求的值；
（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．
【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】
解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．
∵，．
∴． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）
∴． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）
∴ ．解得．
【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解
【解析】
（2）分三种情况讨论：
① 当时，如图②作交于，则有即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）
∵，
∴，
∴，
解得．
② 当时，如图③，过作于H．
则，
∴．
∴．
③ 当时，
则．
．
综上所述，当、或时，为等腰三角形．
【例2】在△ABC中，∠ACB=45 ．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示）
【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
【解析】：
（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：AB=AC ，∠ACB=45 ，∴∠ABC=45 ．
由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90 ，
∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90 ．即 CF⊥BD．
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。
（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90 ． 即CF⊥BD
【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45 ，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x，
易证△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，
．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45 ，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x．
过A作交CB延长线于点G，则． CF⊥BD，
△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，
．
【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．
（1）求证：梯形是等腰梯形；
（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；
（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．
【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢 当然是利用角度咯.于是就有了思路.
【解析】
（1）证明：∵是等边三角形
∴
∵是中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴梯形是等腰梯形．
（2）解：在等边中，
∴ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)
∴
∴
∴
∵ ∴
∴ ∴ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)
【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。
（3）解： 为直角三角形
∵
∴当取最小值时，
∴是的中点，而
∴
∴
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢 接下来我们看另外两道题.
【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．
（1）直接写出线段与的数量关系；
（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。
（1）
（2）（1）中结论没有发生变化，即．
证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．
在与中，
∵，
∴．
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴
在矩形中，
在与中，
∵，
∴．
∴．
∴
【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。
（3）（1）中的结论仍然成立．
【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．
（1）当=1 时，CF=______cm，
（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；
（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．
【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。
【解析】
（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY）
（2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，
∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴ ．
∵ =2， ∴ CF=3．
∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F．
又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF．
设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=． ∴ DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）
∴ sin∠DAB′=；
②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N，
同①可得NA=NE．
设NA=NE=m，则B′ N=12-m．
在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得
m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=． ∴ B′ N=．
∴ sin∠DAB′=．
（3）①当点E在BC上时，y=；
（所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）
②当点E在BC延长线上时，y=．
【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：
第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。
第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。
第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。
第二部分 发散思考
【思考1】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．
（1）求证：∽；
（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；
（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．
【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。
【思考2】 △ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，
且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，
（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；
（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．
【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~
【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．
点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。
【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。
【思考4】在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)
（1）在图1中画图探究：
①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1 绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
（1）证明：∵ ，∴ ．∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ∽．
（2）证明：如图，过点作，交于点，
∵ 是的中点，容易证明．
在中，∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）解：的周长，．
设，则．
∵ ，∴ ．即．
∴ ．
由（1）知∽，
∴ ．
∴ 的周长的周长．
∴ 的周长与值无关．
【思考2答案】
解：（1）∠BPD= 30 °；
（2）如图8，连结CD．
解一：∵ 点D在∠PBC的平分线上，
∴ ∠1=∠2．
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°．
∵ BP=BA，
∴ BP=BC．
∵ BD= BD，
∴ △PBD≌△CBD．
∴ ∠BPD=∠3．- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，
∴ △BCD≌△ACD．
∴ ．
∴ ∠BPD =30°．
解二：∵ △ABC是等边三角形，
∴ BA =BC=AC．
∵ DB=DA，
∴ CD垂直平分AB．
∴ ．
∵ BP=BA，
∴ BP=BC．
∵ 点D在∠PBC的平分线上，
∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称．
∴ ∠BPD=∠3．
∴ ∠BPD =30°．
（3）∠BPD= 30°或 150° ．
图形见图9、图10．
【思考3解析】
解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3．
∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，
∴AD=EC=BC－BE=3．
当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP
∵,∴BH=．
∴BP=．
（2）不存在BP=MN的情况-
假设BP=MN成立，
∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC.
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC-
设BO=x，则PO=x,由，得BH=,
∴BP=2BH=.
∴BQ=BP×cosB=，PQ=．
∴OQ=．
∵△PQO∽△DOC，∴即，得．
当时，BP==＞5=AB，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况.
（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤.-------8分
【思考4解析】
解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．
证明：如图1，设直线与直线的交点为．
∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
可得．
由（1）可得四边形为正方形．
∴．
①如图2，当点在线段的延长线上时，
∵，
∴．
∴．
②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，
∵，
∴．
∴．
③当点与点重合时，即时，不存在．
综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．
A
D
C
B
P
M
Q
60°
C
A
D
B
图2
图1
第25题
图8
图9
图10
A
B
C
D
O
P
M
N
A
B
C
D
（备用图）
A
B
C
D
O
P
M
N
Q
H
F
D
C
B
A
E
图1
G2
G1
P1
H
P2
D
G1
P1
H
C
B
A
E
F
图2
F
G1
P1
C
A
B
E
D
H
图3中考数学专题1 线段角的计算证明问题
第一部分 真题精讲
【例1】 如图，梯形中，，．求的长．
【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.
【解析】
作于于
，
四边形是矩形．
是的边上的中线．
在中，
【例2】已知：如图，在直角梯形中，∥，，于点O，，求的长.
【思路分析】 这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC向右平移,构造一个以D为直角顶点的直角三角形.这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC是已知的.于是问题迎刃而解.
【解析】
过点作交的延长线于点.
∴ .
∵ 于点,
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ 四边形为平行四边形.
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD和 △DBC相似，从而利用比例关系直接求出CD。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。
【例3】如图，在梯形中，，，，为中点，．求的长度
．
【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢 答案就隐藏在E是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点E做BC的垂线,那么这条垂线与AD延长线,BC就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.
【解析】
过点作的垂线交于点，交的延长线于点.
在梯形中，，是的中点，
∴
在和中，
∴ .
∴
∵，∴.
在中，，
∴.
在中，
【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:
1、 过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形
2、 平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形
3、 延长梯形两腰交于一点构造三角形
4、 平移对角线，转化为平行四边形+三角形
5、 连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形
以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。
【例4】 如图，在梯形中，，平分，过
点作，交的延长线于点，且，，，
求的长．
【思路分析】 此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角C与角1，2，3以及角E的关系。于是一系列转化过后，发现角C=60度，即三角形DBC为RT三角形。于是得解。
【解析】：
∵
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴梯形是等腰梯形
∴
∵，
∴
在中，
∵，
∴
【例5】已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB
的两侧.
如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB比较容易，过A做BP垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB分成两个有很多已知量的RT△。但是求PD时候就很麻烦了。PD所在的三角形PAD是个钝角三角形，所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过P做DA延长线的垂线交DA于F，DF交PB于G。这样一来，得到了△PFA △AGE等多个RT△。于是与已求出的AB等量产生了关系，得解。
【解析】：
如图，作AE⊥PB于点E．
∵ △APE中，∠APE=45°，，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴ ．
如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，可得
，
（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系）
，．
在Rt△PFG中，可得，．
【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。
第二部分 发散思考
通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。
【思考1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，．若AC⊥BD，
AD+BC=， 且， 求CD的长．
【思路分析】 前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT三角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT三角形，所以此题需要两条辅助线。在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。
[解法见后文]
【思考2】如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC=7，MN=3，求EF
【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。若求EF，因为BC已知，所以只需求出AD即可。由题目所给角B，角C的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。
（解法见后）
【思考3】已知，延长到，使．取的中点，连结交于点．
⑴ 求的值；
⑵ 若，，求的长．
【思路分析】 求比例关系，一般都是要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD，又有F中点，所以需要做辅助线，利用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。
（解法见后）
【思考4】如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．
【思路分析】 中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。本题中，D为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。
（解法见后）
【思考5】 如图，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、，试判断四边形为怎样的四边形，并证明你的结论．
【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。本题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。
（解法见后）
第三部分 思考题答案
思考1
【解析】：作DE⊥BC于E，过D作DF∥AC交BC延长线于F．
则四边形ADFC是平行四边形，∴，DF=AC．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD．∴
又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴BD⊥DF．
∴ΔBDF是等腰直角三角形
∴
在中，
∵，
∴，∴
思考2
【解析】：
延长BA，CD交于点H，连接HN，
因为∠B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90°
所以HN=DN（直角三角形斜边中线性质）
∠NHD=∠NDH=60°
连接MH，同理可知∠MHD=∠C=60°。
所以∠NHD=∠MHD，即H，N，M三点共线（这一点容易被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下）
所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5
所以AD=1 EF=（1+7）/2=4
思考3
【解析】 ⑴过点作，交于点．
∵为的中点
∴为的中点，
由，得，
，∴
∴
∴
∴
⑵ ∵，∴
又，∴
∵，∴．
思考4
【解析】：
延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG．
则△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．
因为∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．
因为DF垂直平分EG，所以FG=EF．
在Rt△FCG中，由勾股定理得，所以EF=5．
思考5
【解析】：
证明：如图，连结、．
∵为的中位线，
∴，．
同理，．
∴，，
∴四边形为平行四边形．（有些同学做到这一步就停了，没有继续发现三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分可惜）
在和中，
，，，
即．
∴．
∴．
∴
∴四边形为菱形．
C
B
D
A
A
D
C
F
E
M
B
N
A
B
F
E
C
D
A
D
C
F
EE
M
B
N
H
A
B
F
E
C
D
M
AＡ
G
B D
F
E
1 C
2
图3