2020-2021学年 北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明经典好题专题训练（Word版 含答案）

2021年度北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明经典好题专题训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平分线．若△ABC的周长为18，线段AE的长度为4，则△BCD的周长为（　　）
A．10
B．11
C．12
D．14
2．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25°
B．25°或40°
C．25°或
35°
D．40°
3．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（　　）
A．α
B．4α﹣360°
C．α+90°
D．180°﹣α
4．设等腰△的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　）
A．15
B．20
C．25
D．20或25
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连接AD．若CD＝2，BD＝4，则AC的长为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．
6．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（　　）个．
A．7
B．8
C．9
D．10
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标是（　　）
A．（0，﹣1）
B．（0，0）
C．（1，﹣1）
D．（1，﹣2）
8．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（　　）
A．54°
B．60°
C．72°
D．76°
9．如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，下列结论正确的是（　　）
A．AP平分BC
B．AP平分∠CAB
C．AP平分∠CPB
D．AP⊥BC
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是（　　）
A．9
B．10
C．12
D．14
11．如图所示，在△ABC中，DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　
　．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交BC于点E、交AC于点D，若BE＝DE，DC＝3，则AE的长为　
　．
13．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝　
　度．
14．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝　
　．
15．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　
　．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法正确的是　
　（填序号）．
①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．
17．如图，已知点D为△ABC内一点，AD平分∠CAB，BD⊥AD，∠C＝∠CBD．若AC＝10，AB＝6，则AD的长为　
　．
18．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　
　．
19．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC＝6cm，则AC＝　
　，DE＝　
　．
20．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝　
　；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝　
　；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　
　．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为　
　°．
22．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
23．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
24．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△ABO的顶点A（2，0），经过点A的直线垂直于OB，交OB点C，交y轴于点E．
（1）求线段OC的长度；
（2）求点E的坐标；
（3）确定直线AE的解析式．
26．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，交AD于点E，交AC于点G
（1）求证：AE＝AG；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，若∠C＝30°，求证：AG＝GF＝FC．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为角平分线．
（1）如图1，已知AB＝13，BC＝10．求△ABC的面积；
（2）在（1）的条件下，AC垂直平分线与AD交于点E，画图并求AE的长．
（3）如图2，若△ABC为等边三角形，M，N分别为边AB，AC上的动点，且满足∠MDN＝90°．设BM＝a，CN＝b，MN＝c，请用等式表示a，b，c之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．解：∵△ABC的周长为18，
∴AC+BC+AB＝18，
∵DE为线段AB的垂直平分线，AE＝4，
∴AB＝2AE＝8，DA＝DB，
∴AC+BC＝10，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，
故选：A．
2．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
3．解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
4．解：分两种情况：
当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25．
故选：C．
5．解：∵点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，BD＝4，
∴AD＝BD＝4，
在Rt△ACD中，CD＝2，AD＝4，
∴AC＝＝＝2，
故选：C．
6．解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．
所以符合条件的点C共有8个．
故选：B．
7．解：∵点P到△ABC三个顶点距离相等，
∴点P是线段BC、AB的垂直平分线的交点，
由图可知，点P的坐标为（1，﹣2），
故选：D．
8．解：∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝36°，
∵BC∥AO，
∴∠BCA＝∠A＝36°，
∴∠BCO＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝72°．
故选：C．
9．解：过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F，PG⊥BC于点G，PH⊥AB交AB的延长线于点H，
∵CP平分∠BCF，PF⊥AC，PG⊥BC，
∴PF＝PG，
∵CP平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PH＝PG，
∴PF＝PH，
∴AP平分∠CAB，
故选：B．
10．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE
＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．
故选：A．
11．解：∵DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，NC＝NA，
∴△AEN周长为m＝EA+EN+NA＝EB+EN+NC＝BC，
在△ABC中，9﹣8＜BC＜9+8，
∴1＜m＜17，
故答案为：1＜m＜17．
12．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵BE＝DE，∠B＝90°，ED⊥AC，
∴∠EAC＝∠BAE，
∴∠EAC＝∠C＝∠BAE＝30°，
在Rt△CED中，EC＝＝2，
∴AE＝2，
故答案为：2．
13．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，
由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝30°，
故答案为：30．
14．解：连接OA，
∵∠BOC＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴AO＝BO，AO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，
故答案为：40°．
15．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，
∴CA＝CB，DA＝DB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，
当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，
当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，
故答案为：18°或112°．
16．解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法正确；
∵∠BAC＝124°，
∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法正确；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴PE与PF的大小无法确定，③说法错误；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，
故答案为：①②④．
17．解：如图，延长BD交AC于E，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE＝∠ADB＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
∴∠AED＝∠ABD，
∴AE＝AB＝6，
∴DE＝BD，
∵AC＝10，
∴CE＝10﹣6＝4，
∵∠C＝∠CBD，
∴BE＝CE＝4，
∴BD＝BE＝2，
由勾股定理得：AD＝＝＝4．
故答案为：4．
18．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA＝PE＝PD，
∵AD＝10，
∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，
故答案为：5．
19．解：∵BC＝6cm，
∴BD＝DC＝3（cm），
∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，
∴AC＝AB＝5（cm），
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴EC＝AC＝5（cm），
∴DE＝DC+EC＝8（cm），
故答案为：5cm；8cm．
20．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；
（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，
在△ABC中，AB＝8，AC＝9，
∴9﹣8＜BC＜9+8，
∴1＜m＜17．
故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）1＜m＜17．
21．解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝35°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．
故答案为：20．
22．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC?DH＝8×4＝16．
23．解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝100°，
即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，
∴x＝20°，
∴∠PAQ＝20°；
（2）∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP＝12，
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ+PQ+PB＝12，
即CQ+BQ+2PQ＝12，
BC+2PQ＝12，
∵BC＝8，
∴PQ＝2．
24．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
25．解：（1）∵A（2，0），
∴OA＝2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OB＝OA＝2，∠AOB＝60°，
∴∠COE＝30°，
∵AE⊥OB，
∴OC＝OB＝1；
（2）∵AE⊥OB，∠COE＝30°，
∴CE＝OC＝，OE＝2CE＝，
∴点E的坐标为（0，）；
（3）设直线AE的解析式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+．
26．证明：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠AGB+∠ABG＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BED+∠DBE＝90°，
又∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠DBE，
∴∠AGB＝∠BED，
∵∠BED＝∠AEG，
∴∠AGB＝∠AEG，
∴AE＝AG；
（2）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝30°，
∴∠CBG＝∠C，∠BAD＝∠ABG，∠AGB＝90°﹣30°＝60°，
∴BG＝CG，AE＝BE，
由（1）得：AE＝AG，
∴△AEG是等边三角形，
∴AG＝GE＝AE＝BE，
又∵EF∥BC，
∴∠GEF＝∠CBG＝30°，∠GFE＝∠C＝30°，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∴GE＝BE＝FC＝GF，
∴AG＝GF＝FC．
27．解：（1）∵AB＝AC，AD为角平分线．
∴BD＝CD＝BC＝5，
由勾股定理得，AD＝＝＝12，
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×10×12＝60；
（2）画图如图所示，
∵AC垂直平分线与AD交于点E，
∴EA＝EC，
设AE＝CE＝x，则DE＝12﹣x，
在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，即x2＝（12﹣x）2+52，
解得，x＝，即AE＝；
（3）延长MD至G，使DG＝MD，连接GN、GC，作GH⊥AN交AN的延长线于H，
在△BDM和△CDG中，
，
∴△BDM≌△CDG（SAS），
∴CG＝BM＝a，∠BCD＝∠B＝60°，
∴∠GCH＝60°，
∴∠CGH＝30°，
∴CH＝a，
由勾股定理得，GH＝＝a，
∵MD＝DG，ND⊥MG，
∴GN＝MN＝c，
在Rt△NGH中，GN2＝GH2+NH2，即c2＝（a）2+（b+a）2，
整理得，a2+ab+b2＝c2．