2020-2021学年八年级数学苏科版下册9.4矩形、菱形、正方形同步提升训练（Word版附答案）

2020-2021年度苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形同步提升训练（附答案）
1．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（　　）
A．2
B．2
C．4
D．4
2．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
3．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是（　　）
A．10
B．15
C．20
D．25
4．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．12
B．10
C．8
D．6
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
6．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　）
A．①②④
B．①②
C．②③④
D．①③④
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（　　）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
8．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　）
A．3cm
B．4cm
C．4.8cm
D．5cm
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，2）
B．（﹣1，）
C．（﹣，2）
D．（﹣1，）
11．已知正方形ABCD的边长为2，EF分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为　
　．
12．如图所示，在边长为6的正方形ABCD外以CD为边作等腰直角△CDE，连接BE，交CD于点F，则CF＝　
　．
13．菱形ABCD的周长为52cm，它的一条对角线长10cm，则另一条对角线的长是　
　．
14．如图，点E为正方形ABCD外一点，ED＝CD，AE与BD相交于点F．若∠CDE＝52°，则∠DCF＝　
　°．
15．如图，E，F，M分别是正方形ABCD三边的中点，CE与DF交于N，连接AM，AN，MN对于下列四个结论：①AM∥CE；②DF⊥CE；③AN＝BC；④∠AND＝∠CMN．其中正确的是　
　.（填序号）
16．已知矩形ABCD中，BE平分∠ABC交矩形的一边于点E，若BD＝6，∠EBD＝15°，则线段AB的长为　
　．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF＝1，AE，BF交于点P，连接PD，则△APD的面积为　
　．
18．已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，点E为BC边上一点，若△ADE为等腰三角形，则△ADE顶角的度数为　
　．
19．如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且CH＝4，则EG的长是　
　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为　
　．
21．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为　
　．
22．如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．
24．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．
25．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE＝BF．求证：∠ACF＝∠DBE．
26．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝6，求AB的长．
27．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
28．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AB∥CD，
∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴CE＝DC＝，
∴菱形ABCD的面积＝AD?CE＝ADAD＝AD2＝4，
∴AD＝2（负值舍去），
则菱形的边长为2．
故选：A．
2．解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠DCF＝∠ABF＝∠BAC＝35°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
故选：C．
3．解：如图所示：
由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，
∴∠G＝90°，DG＝DE＝6，BG∥DH，BE∥DF，BG＝8，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×DG＝CD×DE，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝AB＝AD，
设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CD＝，
∴四边形ABCD的周长＝4CD＝25；
故选：D．
4．解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：
则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，
∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，
∵DE＝CF＝2，
∴S△DEM＝S△MFB＝×2×4＝4，
∴S阴＝4+4＝8，
故选：C．
5．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，
∴AE＝CE＝10，
∵AD＝2，
∴DE＝8，
∵CD为AB边上的高，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，故①正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，故②正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，故③错误；
∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB＝∠ACD，
∴AC⊥EF，EG＝FG，
∴AG＝AE?sin60°＝2×＝，CG＝EF＝1，
∴AC＝AG+CG＝+1；故④正确．
所以其中正确的序号是：①②④．
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠BAD＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠EAB：∠EAD＝1：3，
∴∠EAB＝22.5°，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝67.5°，
∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，
∴∠AOB＝45°，
即∠EOA的度数为45°，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4cm，
故选：B．
9．解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
10．解：作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，
∵B（1，3），
∴DE＝3，BF＝1，
设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，
∵四边形ABCO为正方形，
∴∠BCO＝90°，CB＝CO，
∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠OCD＝∠CBE，
在△OCD和△CBE中
，
∴△OCD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，OD＝CE，
即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，
∴m＝﹣1，n＝2，
∴C点坐标为（﹣1，2）．
故选：A．
11．解：连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵BE＝CF，
∴DF＝CE，
在△DCE与△ADF中，
，
∴△DCE≌△ADF（SAS），
∴DE＝AF，
∴AE+AF＝AE+DE，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE＝A′E，
即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，
当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，
AA′＝2AB＝4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′＝＝2，
故AE+AF的最小值为2．
故答案为：2．
12．解：过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于G，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝45°，CE＝CD，
∴∠ECG＝45°，
∴sin∠ECG＝＝，
∴EG＝CD，
∴CG＝EG＝CD，
∴BG＝BC+CG＝CD，
∴CF＝CD，
又∵CD＝6，
∴CF＝2，
故答案为2．
13．解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OA＝AC＝5，OB＝BD，
∵菱形ABCD的周长为52cm，
∴AB＝13，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OB＝＝＝12，
∴BD＝2OB＝24．
故答案为：24．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∵DC＝DE，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADE＝90°+52°＝142°，
∴∠DAE＝19°，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF＝19°，
故答案为：19．
15．解：∵E，F，M分别是正方形ABCD三边的中点，
∴AE＝BE＝BF＝CF＝DM＝CM，CD∥AB，
∴四边形AMCE是平行四边形，
∴AM∥CE，故①正确；
在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDF+∠DCN＝90°，
∴∠CND＝90°，
∴DF⊥CE，故②正确；
∵DF⊥CE，DM＝CM，
∴DM＝MN＝CM，
∵AM∥CE，
∴AM⊥DN，
∴AM垂直平分DN，
∴AD＝AN，
∴AN＝BC，故③正确；
∵AN＝BC，
∴∠ADN＝∠AND，
∵DM＝MN＝CM，
∴∠DNM＝∠NDM，∠MCN＝∠MNC，
∵∠ADN+∠CDN＝90°，∠CDN+∠DCN＝90°，
∴∠ADN＝∠DCN＝∠AND＝∠CNM，故④错误，
故答案为：①②③．
16．解：有两种情况：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，
①当E在AD上时，如图1，
∵∠EBD＝15°，
∴∠DBC＝45°﹣15°＝30°，
∴CD＝BD＝3，
即AB＝CD＝3；
②当E在CD上时，如图2，
∵∠EBD＝15°，
∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，
∴AD＝BD＝3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB＝＝3．
故答案为：3或．
17．解：如图，过点P作PH⊥AD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABP＝90°，
∴∠BAE+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BF，
∴∠APB＝∠FPA＝90°，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝CF＝1，
∴AE＝＝＝，
∴cos∠BAP＝＝，
即＝，
∴AP＝，
∵PH⊥AD，
∴PH＝，
∴△APD的面积为：AD?PH＝3×＝．
故答案为：．
18．解：分三种情况：
①如图所示，当AE＝DE时，
∵AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE≌△DCE（HL），
∴BE＝CE＝BC＝AD＝AB＝CD，
∴△ABE，△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠AEB＝∠DEC＝45°，
∴∠AED＝90°；
②如图所示，当AE＝AD时，
∵AD＝2AB，
∴AE＝2AB，
∴∠AEB＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝30°；
③当AD＝ED时，同理可得∠ADE＝30°；
综上所述，△ADE顶角的度数为30°或90°．故答案为：30°或90°．
19．解：连接CE、CG，如图所示：
∵四边形ACDE与四边形BCFG均是菱形，
∴∠DCE＝∠ACD，∠FCG＝∠BCF，
∵∠ACD+∠BCF＝180°，
∴∠DCE+∠FCG＝（∠ACD+∠BCF）＝×180°＝90°，
即∠ECG＝90°，
∵H是EG的中点，CH＝4，
∴EG＝2CH＝8故答案为：8．
20．解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，∠ABC＝90°，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BD＝DF＝GF＝BG＝10，则AF＝AG﹣GF＝26﹣10＝16，AC＝2BD＝20，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即162+CF2＝202，
解得：CF＝12．
故答案是：12．
21．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE＝BA＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°．
22．证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO＝BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO＝AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
23．1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝60°，
∵CD＝AD＝6，
∴CF＝CD＝3，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CE＝CD＝6，
∴EF＝3．
24．1）证明：在正方形ABCD中，
∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠EAG＝90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG；
（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．
于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN＝EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．
∴MN2＝BM2+NC2．
∵BM＝1，CN＝3，
∴MN2＝12+32，
∴MN＝．
25．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠EAB＝∠CBF＝∠ABO＝∠BCO＝45°，
在△ABE与△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠ABE＝∠BCF，
∴∠ACF＝∠DBE．
26．1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BF＝BE，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝OA，
∴∠BAC＝∠OBA，
又∠BEF＝2∠BAC，
∴∠BEF＝2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝3，
∴AB＝＝9．
27．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
28．1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．