2020-2021学年沪科版数学八年级下册17.4 一元二次方程的根与系数的关系-课件（15张PPT）

(共15张PPT)
第十七章
一元二次方程
17.4
一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2.会利用根与系数的关系解决有关的问题．
情境导入
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0.
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
探究新知
通过刚才表格的填写我们大约可以总结出以下规律：
关于x的方程
的两根x1，x2与系数p，q的关系是：
，
.
探究新知
形如
的方程，如果
，两根为x1，x2，引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。
对于方程
∵
，∴
∴
，
探究新知
对于这个结论我们又应该如何证明呢？
证明：∵
，当
时根为：
,设
，
，则
探究新知
请思考、归纳并回答下列问题：
（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？
（2）运用根与系数的关系要注意些什么？
（1）对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)
,若b2-4ac≥0
两根为x1，x2，那么
，
探究新知
（2）根与系数关系使用的前提是：
①是一元二次方程，即a≠0
.
②方程为一般形式。即形如：ax2+bx+c=0.
③判别式大于等于零，即b2-4ac≥0.
例1
利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．
新知运用
利用根与系数的关系求代数式的值
分析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．
解：这里a＝3，b＝6，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝
.
例2
已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．
新知运用
已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根
分析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．
解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝
-
，
∴x1＝-
.又∵x1＋2＝
-
，
∴
-
＋2＝
-
，∴k＝－7.
例3
已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足
＋
＝－1，求m的值．
新知运用
判别式及根与系数关系的综合应用
分析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由
＋
＝－1建立方程，求m的值．
新知运用
解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，
∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.
又∵
，
化简整理，得m2－2m－3＝0.
解得m＝3或m＝－1.
当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，
此时Δ＝12－4＜0，方程无解，∴m＝－1应舍去．
当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，
此时Δ＝92－4×9＞0，方程有两个不相等的实数根．
综上所述，m＝3.
随堂检测
1.已知方程
的两根互为相反数，求k的值。
2.已知关于x的方程
的一个根是另一个根的2倍，求m的值。
3.备选题：关于x的方程
两实数根的平方和等于13，求k的值
k=0
m=2
k=2
通过本节课的学习，你有哪些收获？
课堂小结
1.对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)
,若b2-4ac≥0
两根为x1，x2，那么
，
.
2.根与系数关系使用的前提是：
（1）是一元二次方程，即a≠0
.
（2）方程为一般形式。即形如：ax2+bx+c=0.
（3）判别式大于等于零，即b2-4ac≥0.
再见