上海市华二附中高一（下）月考数学试卷（2021.3）（Word含答案）

华二附中高一下月考数学试卷
2021.3
一、填空题
1．
．
2．把按从小到大的顺序排列为
．
3．若，则的最大值是
．
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
．
5．已知集合，，则
．
6．已知是定义在上的奇函数．若时，，则时，
．
7．已知，且的图像的对称中心是，则
．
8．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是
．
9．设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为
．
10．已知函数满足：，，则
．
11．已知，若，则角的取值范围是
．
12．锐角中，若，则的最小值是
．
二、选择题
13．已知，求的值（用表示），王老师得到的结果是，叶老师得到的结果是，对此你的判断是（
）
A．王老师对、叶老师错
B．两人都对
C．叶老师对、王老师错
D．两人都错
14．函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
15．若的反函数为，且，则的最小值是（
）
A．1
B．
C．
D．
16．下列四个命题，其中为假命题的是（
）
A．不存在无穷多个角和，使得
B．存在这样的角和，使得
C．对任意角和，都有
D．不存在这样的角和，使得
三、解答题
17．已知集合．
（1）求集合；
（2）求函数的值域．
18．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．已知锐角满足：．
（1）用反证法证明：；
（2）求的取值范围．
20．华师大二附中游泳馆为了保持室内的湿度和温度，四周墙上
均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部是矩形，
其中米，米．上部是个半圆，固定点为
的中点．是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴
影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保
持和平行的伸缩横杆（和、不重合）．
（1）当和之间的距离为1米时，求此时三角通风窗
的通风面积；
（2）设与之间的距离为米，试将三角通风窗
的通风面积（平方米）表示成关于的函数；
（3）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积．
21．（1）请你用新教材课本中的推导方法，证明：；
（2）上课瞎搞、不认真听讲的某同学将两角和的余弦公式错误地记忆为．老师给定了和的值，该同学用错误的公式计算的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的是怎样的和的值？
（3）有了上次侥幸成功的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然地认为，请问：是否存在某些和，可以让该同学能继续“混对”答案？若存在，求出和；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．2
8．
9．
10．
11．
12．8
【第10题解析】令，则，∴或（舍），
令，则，即，
∴，从而
，∴，的周期为6，
∴．
【第11题解析】原式
或，又，∴．
【第12题解析】条件即
两边同除，得，
又，
∴，
两边平方，可得，当且仅当时等号成立．
二、选择题
13．B
14．B
15．B
16．A
三、解答题
17．（1），∴；
（2）令，，则在上为严格增函数，∴其值域为．
18．．
（1）；
（2）原式
．
19．（1）条件即（
）
反证：假设，
①，则且，
∴且，
∴，与（
）式矛盾；
②，则且，
∴且，
∴，与（
）式矛盾；
综上，假设不成立，∴；
（2），
∵，∴，．
20．（1）由题意，当和之间的距离为1米时，应位于上方，
且此时中边上的高为0.5米．
又因为米，可得米．
所以，平方米，
即三角通风窗的通风面积为平方米．
（2）如图（1）所示，当在矩形区域滑动，即时，
的面积；
如图（2）所示，当在半圆形区域滑动，即时，
，故可得的面积
；
综合可得：
（3）当在矩形区域滑动时，在区间上单调递减，则有；
当在半圆形区域滑动时，
，
等号成立，．
因而当（米）时，每个三角通风窗得到最大通风面积，最大面积为（平方米）．
21．（1）证明：设、为任意给定的两个角，把它们的
顶点置于平面直角坐标系的原点，始边都与轴的正半
轴重合，而它们的终边分别与单位圆相交于、两点．
点、的坐标分别为、．
把角、的终边及都绕原点旋转角，它们
分别交单位圆于点、．
由及两点间的距离公式，
可得，即，
∴
，
∴，
从而；
（2）正确公式为，
由题意，，得，
∴或，即或；
（3）正确公式为，
错误公式为，
该同学能继续“混对”答案当且仅当两个公式相等，
∴，即（
），
∴，得，
∴不存在和使得（
）式成立，即该同学无法继续“混对”答案．