8.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共20张PPT）
文档属性
| 名称 | 8.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共20张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-30 09:19:14 | ||
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文档简介
第八章 一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2
两根和
两根积
特殊情况
注意事项
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
经典例题
题型一 已知方程的一根，求另一根及待定系数
例1 一元二次方程3x2-8x-a＝0有一个根是x1＝3，试求a的值及方程的另一个根.
题型一 已知方程的一根，求另一根及待定系数
例1 一元二次方程3x2-8x-a＝0有一个根是x1＝3，试求a的值及方程的另一个根.
分析 首先利用方程的一个根是x1＝3求得a的值，然后利用两根之和求得另一根即可.
题型一 已知方程的一根，求另一根及待定系数
例1 一元二次方程3x2-8x-a＝0有一个根是x1＝3，试求a的值及方程的另一个根.
分析 首先利用方程的一个根是x1＝3求得a的值，然后利用两根之和求得另一根即可.
解析 ∵一元二次方程3x2-8x-a＝0有一个根是x1＝3，∴3×32-8×3-a＝0，解得a＝3.设方程的另一个根为x2，则x2＋3＝，解得x2＝-3.
题型二 不解方程，求与方程的根有关的代数式的值
例2 设α，β是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝______.
题型二 不解方程，求与方程的根有关的代数式的值
例2 设α，β是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝______.
解析 由一元二次方程根与系数的关系得α＋β＝-3，∵是一元二次方程x2＋3x-7＝0的根，∴α2＋3α-7＝0，即α2＋3α＝7，∴α2＋4α＋β＝β2＋3α＋α＋β＝7-3＝4.答案 4
题型二 不解方程，求与方程的根有关的代数式的值
例2 设α，β是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝______.
解析 由一元二次方程根与系数的关系得α＋β＝-3，∵是一元二次方程x2＋3x-7＝0的根，∴α2＋3α-7＝0，即α2＋3α＝7，∴α2＋4α＋β＝β2＋3α＋α＋β＝7-3＝4.答案 4
点拔 利用一元二次方程根与系数的关系求关于x1、x2的代数式的值时，关键是把所给的代数式进行恒等变形，化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入，即可求出所求代数式的值.
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
例3 关于x的方程x2＋2（m-1）x＋m2-m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为（ ）
A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
例3 关于x的方程x2＋2（m-1）x＋m2-m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为（ ）
A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4
解析 ∵关于x的方程x2＋2（m-1）x＋m2-m＝0有两个实数根，∴△＝［2（m-1）］2-4×1×（m2-m）＝-4m＋4≥0，解得m≤1.
∵关于x的方程x2＋2（m-1）x＋m2-m＝0有两个实数根α，β，∴α＋β＝-2（m-1），αβ＝m2-m，
∴α2＋β2＝（α＋β）2-2αβ＝［-2（m-1）］2-2（m2-m）＝12，即m2-3m-4＝0，
解得m＝-1或m＝4（舍去）.故选A
答案 A
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
点拨
当利用一元二次方程的根与系数的关系求方程中的待定系数时，千万不要忘记根与系数的关系是在一元二次方程中△≥0的前提下适用的.
易错易混
易错点 忽略△≥0的条件而出现错误
例 已知关于x的方程x2-（k-1）x＋k＋1＝0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值.
易错点 忽略△≥0的条件而出现错误
解析 设方程的两个实数根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝k-1，x1x2＝k＋1.由题得x12＋x22＝4，
∴（x1＋x2）2-2x1x2＝4，∴（k-1）2-2（k＋1）＝4，即k2-4k-5＝0，∴k＝5或k＝-1,
当k＝5时，b2-4ac＝［-（k-1）］2-4（k＋1）＝-8＜0，不符合题意，舍去；
当k＝-1时，b2-4ac＝［-（k-1）］2-4（k＋1）＝4＞0，∴k的值为-1.
易错点 忽略△≥0的条件而出现错误
易错警示
一元二次方程根与系数的关系以一元二次方程有两个实数根为前提，此题易忽略原方程有两个实数根的条件b2-4ac≥0，未将求出的k的值代入根的判别式中检验而造成错误.
5 一元二次方程的根与系数的关系
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2
两根和
两根积
特殊情况
注意事项
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
经典例题
题型一 已知方程的一根，求另一根及待定系数
例1 一元二次方程3x2-8x-a＝0有一个根是x1＝3，试求a的值及方程的另一个根.
题型一 已知方程的一根，求另一根及待定系数
例1 一元二次方程3x2-8x-a＝0有一个根是x1＝3，试求a的值及方程的另一个根.
分析 首先利用方程的一个根是x1＝3求得a的值，然后利用两根之和求得另一根即可.
题型一 已知方程的一根，求另一根及待定系数
例1 一元二次方程3x2-8x-a＝0有一个根是x1＝3，试求a的值及方程的另一个根.
分析 首先利用方程的一个根是x1＝3求得a的值，然后利用两根之和求得另一根即可.
解析 ∵一元二次方程3x2-8x-a＝0有一个根是x1＝3，∴3×32-8×3-a＝0，解得a＝3.设方程的另一个根为x2，则x2＋3＝，解得x2＝-3.
题型二 不解方程，求与方程的根有关的代数式的值
例2 设α，β是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝______.
题型二 不解方程，求与方程的根有关的代数式的值
例2 设α，β是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝______.
解析 由一元二次方程根与系数的关系得α＋β＝-3，∵是一元二次方程x2＋3x-7＝0的根，∴α2＋3α-7＝0，即α2＋3α＝7，∴α2＋4α＋β＝β2＋3α＋α＋β＝7-3＝4.答案 4
题型二 不解方程，求与方程的根有关的代数式的值
例2 设α，β是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝______.
解析 由一元二次方程根与系数的关系得α＋β＝-3，∵是一元二次方程x2＋3x-7＝0的根，∴α2＋3α-7＝0，即α2＋3α＝7，∴α2＋4α＋β＝β2＋3α＋α＋β＝7-3＝4.答案 4
点拔 利用一元二次方程根与系数的关系求关于x1、x2的代数式的值时，关键是把所给的代数式进行恒等变形，化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入，即可求出所求代数式的值.
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
例3 关于x的方程x2＋2（m-1）x＋m2-m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为（ ）
A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
例3 关于x的方程x2＋2（m-1）x＋m2-m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为（ ）
A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4
解析 ∵关于x的方程x2＋2（m-1）x＋m2-m＝0有两个实数根，∴△＝［2（m-1）］2-4×1×（m2-m）＝-4m＋4≥0，解得m≤1.
∵关于x的方程x2＋2（m-1）x＋m2-m＝0有两个实数根α，β，∴α＋β＝-2（m-1），αβ＝m2-m，
∴α2＋β2＝（α＋β）2-2αβ＝［-2（m-1）］2-2（m2-m）＝12，即m2-3m-4＝0，
解得m＝-1或m＝4（舍去）.故选A
答案 A
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
点拨
当利用一元二次方程的根与系数的关系求方程中的待定系数时，千万不要忘记根与系数的关系是在一元二次方程中△≥0的前提下适用的.
易错易混
易错点 忽略△≥0的条件而出现错误
例 已知关于x的方程x2-（k-1）x＋k＋1＝0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值.
易错点 忽略△≥0的条件而出现错误
解析 设方程的两个实数根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝k-1，x1x2＝k＋1.由题得x12＋x22＝4，
∴（x1＋x2）2-2x1x2＝4，∴（k-1）2-2（k＋1）＝4，即k2-4k-5＝0，∴k＝5或k＝-1,
当k＝5时，b2-4ac＝［-（k-1）］2-4（k＋1）＝-8＜0，不符合题意，舍去；
当k＝-1时，b2-4ac＝［-（k-1）］2-4（k＋1）＝4＞0，∴k的值为-1.
易错点 忽略△≥0的条件而出现错误
易错警示
一元二次方程根与系数的关系以一元二次方程有两个实数根为前提，此题易忽略原方程有两个实数根的条件b2-4ac≥0，未将求出的k的值代入根的判别式中检验而造成错误.