比和比例
“比”和“比值”这两个概念有什么联系和区别
在除法中，两个数相除时，就叫做两个数的比。一般分为两种情况：
（1）比较同类量的倍数关系，表示其中一个数是另一个数的几倍或
几分之几。
例如：红光小学有女教师
40
人，男教师
12
人。表示女教师与男教师
人数的比是
40∶12（或化简为
10∶3），这也表示女教师人数是男教师人
数
（2）两个不同类量相比，是表示一个新的量。
例如：总
价∶数量，表示单价。
路
程∶时间，表示速度。
总产量∶亩数，表示亩产量。
“比”是由前项∶后项组成的，而“比值”是前项除以后项所得的商。
如：
由此可以看出：“比”和“比值”这两个概念是有区别的。但两者之
间也是有联系的，因为没有前面的“比”，就不会有后面的“比值”。就
一般而言，“比”和“比值”都是一个完整比的组成部分。
除此之外，还要看到“比”和“比值”也有着一致性。从广义上解释，
两个数的比是两个数的商，这个商也是比值。如：
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由于比中的比号相当于分数中的分数线，所以用比的形式表示，就是
7∶
比、除法、分数这三者之间，有什么联系和区别？
在小学数学教材中，从除法到分数，又到比，这不仅是一个发展过程，
三者之间也存在着内在的必然联系。在比的教与学中，揭示它们之间的联
系，是极其必要的。
比的前项相当于除法中的被除数，分数中的他子；后项相当于除法中
的除数，分数中的分母；比号柑当于除法中的除号，分数中的分数线；比
值相当于除法中的商，分数的分数值。
例如：
在比中，前项÷后项=比值
a∶b=c
在除法中，被除数÷除数=商
a÷b=c
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如上所述，比、除法、分数三者之间有着如此密切的联系，目的在于：
有关比的运算，可以转化为除法运算或分数形式，而又需要重新建立比的
运算法则。
它们之间的区别，从意义上区分有：
“比”是表示两个数的倍数；
“除法”表示的是一种运算；
“分数”则是一个数。
“求比值”和“化简比”有区别吗？
在比和比例中，求比值是常用的，但也需要把较复杂的整数比（不包
括含有分数、小数的比），化成简单的整数比，这两者是有区别的。
在区别求比值和化简比时，有一种并不全面的说法，即：求比值时用
除法（比的前项除以后项）；而化简比时，运用的是比的基本性质（比的
前项和后项同时乘以或除以一个不等于
0的数，比值不变）。这只是看到
了问题的一个方面，实际上，求比值也可以运用比的基本性质，而化简比
也可以用除法。
=3∶60（前项和后项同乘以
10）
=1∶20（前项和后项同除以
3）
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由此看来，用什么方法并不是两者的主要区别。应该看到的是下述情
况：
比有三种表示形式，一是比的一般形式，如
5∶6；一是比的分数形
式，
既可以认为是比，读作：5比
6；也可以认为是比值，读作：六分之
五。在
就是说，对两者在这样的情况下，不需要严格区别。
在小学数学教材中，作为不同的练习形式，又有着求值与化简比的不
同要求。为了使学生明确这不同的要求，就必须加以约定，如果是求比值，
就把结果写成数的形式（整数、小数或分数）；如果是化简比，就把结果
写成比的一般形式，以表示这两者练习形式上的区别，至于用什么方法，
则不一定强求一致。
绘图时如何选择比例尺？
比例尺是图上距离和实际距离的比。在绘制地图、操场或教室的平面
图以及零件图时，要把实物的长度（或实际距离）缩小若干倍后，再画到
纸上，这就用到比例尺。涉及到比例尺的问题，通常有三种情况：
（1）求比例尺。
图上距离∶实际距离=比例尺
（2）求实际距离。
图上距离÷比例尺=实际距离
（3）求图上距离。
实际距离×比例尺=图上距离
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这三类情况，除（1）是求比例尺外，（2）（3）本身都有指定比例
尺，因此，计算起来并不困难。但是，在绘图时，比例尺一般是不知道的，
这就要视图纸大小这个具体情况，自己确定适当的比例尺。这是因为：如
果比例尺选择的太大，图纸就可能不够画；如果比例尺选择的太小，画出
的图只占图纸的很小部分，则图纸没有得到充分利用。这样画出的图，即
不美观、大方，也不匀称、清楚。所以，在绘图时，选择“适当”的比例
尺，则是重要的前提条件。
例如：要把一块长
50
米，宽
30
米的长方形土地，画在一张长
28
厘
米，宽
30
厘米的纸上，应该选择怎样的比例尺？
光从长考虑，比例尺可以是：
28∶5000≈1∶179
再从宽考虑，比例尺可以是：
30∶3000=1∶100
根据一张图纸上只能选用统一的比例尺，对比一下，只能“选小不选
大”，因为一旦选大了，图纸则画不下，所以，应选用
1∶179
的比例尺
考虑到在一般情况下，为了画图的准确和方便，实际画图时，实际距离（长、
宽、高等）扩大或缩小的倍数，常常是整十、整百、整千、整万……的倍
数；同时还要考虑到图案画上后还要留边、画框以及写图的名称和标明比
例尺等事项。因此，这张图选用
1∶200
的比例尺比较合适。按这个标准
的比例尺，在纸上画出的图长为
25
厘米，宽为
15
厘米，同时也留有余地
地满足了有关画图的其他要求。
总之，在用比例尺绘图前，首先要了解所画的地形（或实物）在长和
宽这两个方向的实际距离是“多长”（以后画立体图时，还要考虑到“高”）；
然后再量出图纸在长和宽这两个方向上的尺寸有“多大”。这样，才能根
据实际距离的大小和图纸的尺寸，确定选用适当的比例尺。
“比”和“连比”一样吗？
比和连比是两个不同的概念。从意义上看比是表示两个数的倍数关系
（或两个数相除）。连比是两个以上数之间的各自所占的份数比，它不是
以上两个数连除的关系。
比和连比中的“项”也是不同的：
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从比值上看：比既然表示两个数的倍数关系，当然可以求出比值来，
如：
值。
如果把两个比组成连比，必须使第一个比的后项等于第二个比的前
项。例如：甲和乙的比是
3∶4，乙和丙的比是
6∶5，假如把甲、乙、丙
的连比写成
3∶4∶5则是错误的，写成
3∶6∶5也是错误的。因为乙对甲
来比是
4，对丙来比又是
6，这是两个不同标准的比，现在进行连比，乙
必须有一个对甲、对丙都一致的数。也就是说，把两个比组成连比，“中
项”必须统一。中项统一后，由于中项数字的变化，前项与后项的数字，
也要发生相应的变化。
甲和乙的比是
3∶4，乙和丙的比是
6∶5，甲、乙、丙的连比应该是
9∶12∶10。其中项统一过程如下：
连比的项不限于三项，也可能是若干项。连比的一般形式为
a1∶a2∶
a3∶…∶an，当连比的项较多时，各项的名称以此为例，a1
叫做连比的
第一项（也叫首项），a2
叫连比的第二项，a3
叫连比的第三项，…an
叫
做连比的第
n项（也叫末项）。
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球赛记分牌上的“2∶0”、“6∶2”等，有没有比的含义？
在激烈的足球比赛中，为了表示比赛双方的进球数，记分牌上经常显
示“2∶0”或“6∶2”等比分，这些比分都没有数学中“比”的含义。
记分牌上的“2∶0”，表示一方踢进对方大门
2个球，另一方没有踢
进。在篮球比赛中，“2”表示一方得了
2分，“0”表示一方没有得分。
固然“2∶0”表示比赛的双方相差
2分；“6∶2”表示相差
4分，但这些
比分只表示比赛双方各自的得分和相差的分数，而不表示“比”的含义中
的倍数关系。
说明球类比赛中“2∶0”不具有“比”的含义，并不因为这个“2∶0”
的后项是
0，从而根据比的后项不能是
0的规定得出的结论。这是因为球
类比赛中的比分，所谓的后项不一定都是
0。如果按上述结论去说明，当
所谓的后项不是
0时，岂不又具有“比”的含义吗？
例如：球场上的比分为“6∶2”，说明比赛双方相差
4分，如果把“6∶
2”看作数学中的“比”，“比”是可以化简的，6∶2=3∶1，其结果表明：
比赛双方相差
2分，这与球场的实际情况是完全不符合的。
因此，球赛时记分牌上所表示的比分，只是为了直观，借用了比的符
号，而没有数学中的任何比的含义。
正比例的性质和反比例的性质有什么区别？
正比例的性质和反比例的性质，是相反的两个性质，在学习和运用时，
由于表述形式近似，只是个别关键词语的不同，极容易相互混淆，必须正
确地加以区分。
正比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比，
等于另一种量对应的两个数值的比。
例如：一列火车的速度每小时
60
千米，如果所行时间与所行路程成
正比例关系，那么所行时间的任意两个数值的比，必须与对应所行路程的
两个数值的比相等。
如下表：
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从顺向看：时间上
2小时与
4小时的比为
2∶4=0.5；路程上
2小时
所行的千米数与
4小时所行的千米数的比
120∶240=0.5。这两个比的比
值相等，具备了正比例的性质。
具备了正比例的性质。
反比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比
等于另一种量对应的两个数值比的反比。
例如：完成
1200
台电视机的生产任务，每天生产的台数和完成的天
数成反比例关系，每天产量中任意两个数值的比，等于所对应完成天数的
两个数值比的反比。
如下表：
从逆向看：台数上
400
台与
200
台的比为
400∶200=2；其对应天数
比的反比为
6∶3=2。两个比的比值相等，具备了反比例的性质。
反比、反比例和反比例关系有什么区别？
在比和比例这部分知识中，反比、反比例和反比例关系也是容易混淆
的。不正确区分三者的确切含义，就会在凭借概念进行判断和依据性质进
行计算上，产生“后遗症”，最后还得溯本求源，从基本概念上进行澄清。
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因此，从防微杜渐的角度上，一开始就结合教材进行正确区分，是非常必
要的。
“反比”是与正比相对而言的，它们都不属于比例的范畴。在两个比
中，如果一个比的前项和后项，分别是另一个比的后项和前项，这两个比
就叫做互为反比。
例如：3∶4的反比是
4∶3；反过来，4∶3的反比是
3∶4。
“反比例”是对两种相关联的量对应数值组成比的顺序而言的。两种
相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应
的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，据此写出的比例式称
为反比例。
例如：有一堆煤，每天烧煤
2吨，可烧
12
天，如果每天烧煤
4吨，
可以烧
6天，每天烧
6吨，可以烧
4天。从条件中的规律可见，煤的总重
量一定，每天烧煤量与烧得天数成反比例。
“反比例关系”是成反比例的两种量之间的数量关系。如果用字母
x、
y表示两种相关联的量，用
k表示积（一定），其关系式为：x×y=k（一
定），在这个式子中，x与
y的关系，就是反比例关系。
什么叫做按比例分配的应用题？
在对物品或任务进行分配时，有时按照平均分配的方法，这种分配的
方法也叫“匀分”。另一种分配方法不是平均分配，而是根据需要或其他
情况，确定分配对象的不同份额，先找出总份额数（也就是总份数），再
求出每份额（每份数）的具体数量，然后根据不同份额求出各自分配到的
具体数量。这种分配方法叫按比例分配，用按比例分配的方法去解答的应
用题，叫做按比例分配的应用题。
例如：光华小学在植树日，需完成植树
168
棵的任务，按
3∶4∶5
的比例，分配给四、五、六年级，求每个年级应植树多少棵？
此题按一般应用题解法，属于归一问题。
解题的过程为：
（1）三个年级共多少份？3＋4+5=12（份）
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（2）平均每份是多少棵？168÷12=14（棵）
（3）四年级应植多少棵？14×3=42（棵）
（4）五年级应植多少棵？14×4=56（棵）
（5）六年级应植多少棵？14×5=70（棵）
答：（略）
此题用按比例分配方法解，同样要先求出总份数，但不求每份是多少
棵，因为分配给三个年级的份额各占总份数的几分之几，也就是三个年级
植的棵数各占总棵数（168
棵）的几分之几，所以可直接求出三个年级各
自应植的棵数。
解题过程为：
（1）总份数：3＋4＋5=12
答：（略）
正方形的边长和面积为什么不成比例？
在判断比例的练习中，学生常把正方形的边长与面积误判成正比例。
造成这种误判，在于对正比例关系缺乏全面理解。对“两种相关的量，一
种量变化，另一种量也随着变化”，这句话是记住了，认为边长扩大，正
方形的面积也会扩大，但这只是正比例关系含义的一半。另一句话，却被
忽略了，即：“如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定”。
对其忽略的部分，可通过列出边长与面积的对应数值表，来进行准确
的判断。
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从表中的边长和面积的数值来看，正方形的边长和面积相对应的两个
数的比值并不相等。
由上边所举数例可以说明：正方形边长的任意两个数值的比与相对应
的面积的比，其比值都是不相等的，因此，正方形的边长与面积不能成正
比例。
除根据正比例的关系来说明正方形的边长和面积不成比例外，还可以
根据比例的判定式，来证明正方形的边长和面积是不成比例的。求正方形
面积的公式是：
无论是成正比例或反比例，其中必有一个量是一定的（或称不变量）。
由于正方形的特征之一是：正方形的四条边的长度都相等，在上述公式中，
找不出一定的量，如果一个边长扩大了，其他边长也必然相应扩大，否则
它就不是正方形了。所以，正方形的边长和面积是不成比例的。
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同时，还应该看到：正方形的边长和面积固然不成比例，但正方形的
边长平方和面积是成正比例的。因为边长平方和相对应面积的两个数的比
值是相等的。
仍以上表中的数值为例：
在正、反比例的应用题中，怎样确定“一定”的量？
在成比例的两种相关联的量中，无论是成正比例，还是成反比例，都
是这两种量之间的关系。但在形成比例的因素中，事实上还存在着与这两
种量密切相关的另一种量，这个量是“一定”的，也就是不变的量。没有
这个“一定”的量，只有前面的两种相关联的量，正、反比例的关系都是
不能成立的。例如：
（1）火车的速度一定，所行的时间和路程成正比例；
（2）玉米的亩产量一定，种植玉米的亩数和总产量成正比例；
（3）生产机器的总台数一定，生产时间和效率成反比例；
（4）全班学生人数一定，分的小组数和每组人数成反比例。
上述一些成正、反比例关系的实际问题中，这个“一定”的量比较明
显，因此，容易确定；但在另一些成正、反比例的实际问题中，这个“一
定”的量比较隐蔽，所以难以确定。揭示出“一定”的量，就成为判断两
种量是成正比例还是成反比例的前提条件。例如：
（1）正方形的边长和周长成正比例；
（2）圆柱体的底面积和高成反比例；
（3）圆的直径和周长成正比例；
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（4）齿轮转动，主动轮、从动轮的齿数和转速成反比例。
判断上述比例，在于揭示出比较隐蔽的“一定”的量。根据正、反比
例
种量则成正比例关系；如果
x×y=k（一定），这两种量则成反比例
关系。
系的关系式。在这个关系式中，“一定’的量就是
k。因此，要揭示隐
蔽的“一定”的量，就必须熟练地掌握上面的关系式，从关系式中来确定
“一定”的量。
前面例举的四道题，其“一定”的量可如下进行确定：
（1）∵正方形周长/正方形边长=正方形边数
正方形边数是
4，这是一定的；
∴正方形边数就是此题中的“一定”的量。
（2）∵圆柱底面积×高=圆柱体体积，圆柱体体积是已知的；
∴圆柱体体积是此题中“一定”的量。
（3）∵圆的周长/圆的直径=圆周率
圆周率π是一个常数；
∴圆周率是此题中“一定”的量。
（4）∵齿轮齿数×齿轮转数=转过总齿数，主动轮、从动轮转过的总
齿数是一样的；
∴转过总齿数是此题中“一定”的量。
上面确定“一定”的量的关系式中，有除法关系式，也有乘法关系式，
从“积”或“商”的不变中，可以找出比较隐蔽的“一定”的量。除此之
外，还可以从熟悉的基本数量关系中，直接用乘法关系式来寻找。
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即：
因数×因数=积
在这个乘法关系式中，当其中的一个因数一定时，另一个因数与积存
在着正比例关系；而当积一定时，两个因数之间存在着反比例关系。以常
见的速度×时间=路程为例：
这样的乘法关系式还有很多，如：长×宽=长方形面积、底×高=平行
四边形面积、底面积×高=长方体体积（或圆柱体体积）、单价×数量=
总价等，利用这些关系式，可以一式三用地确定出“一定”的量，从而对
正、反比例的应用题做出正确的判断。
比例应用题有哪些解题思路？
在学习比例应用题以前，已经掌握了整数、小数、分数的应用题，以
及用方程解的应用题，因此，解比例应用题时，其解题思路就不限于比例
本身。通常有以下几个思路：
（1）按照正、反比例的关系去思考，用比例的方法；
（2）按照数量的对应关系（包括量率对应关系）去思考，用算术的
方法；
（3）按等量关系去思考，用方程的方法。
这三种思路在下面例题中可以看到它们的具体运用：
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如：一辆汽车
2小时行驶
64
千米，用同样的速度，从甲地到乙地共
行驶
5小时，甲乙两地之间的路程是多少千米？
用比例的方法解：从条件中可知，速度为“一定”的量。
设：甲乙两地之间的路程是
x千米。
答：甲乙两地之间的路程是
160
千米。
用以前学习过的算术方法解：汽车
5小时行多少千米，要先求出汽车
1小时行多少千米，属于归一问题的思路或倍比问题的思路。
归一解：64÷2×5=160（千米）
倍比解：64×（5÷2）=160（千米）
答：甲乙两地之间的路程是
160
千米。
用方程的思路解：由于汽车的速度前后没变，其等量关系式是：5小
时行的千米数÷5=2
小时行的千米数÷2
实际上是速度=速度。
设甲乙两地之间的路程是
x千米。
x÷5=64÷2
x=64÷2×5
x=160
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答：甲乙两地之间的路程是
160
千米。
上述三种思路只是从比例、算术、方程的角度上划分的，事实上在算
术的范围内有时还会出现多种解法，而每一种解法都是一种思路。因此，
在掌握用比例解法解比例应用题的同时，也鼓励学生在可能的情况下进行
“一题多解”，这既是对解题思路的开拓，也是对已学过知识的自觉复习。
什么叫做复比例？
在两个或若干个比例的各对应项上，实行四则运算，所得到的比例叫
做复比例。复比例通常有以下三种情况：
（1）比例的加法和减法：由两个或若干个具有相等比值的比例，其
对应项相加或相减所成的复比例，也具有原来相等的比值。
例如：40∶10=24∶6（比值为
4）
12∶3=8∶2（比值为
4）
经过加减得到的复比例是：
（40±12）∶（10±3）=（24±8）∶（6±2）
按加法得：52∶13=32∶8
按减法得：28∶7=16∶4
（2）比例的乘法：从两个或若干个比例各对应项相乘所得到的复比
例，它的比值等于已知各比例比值的积。
通过乘法得到的复比例是：
（3×4）∶（2×2）=（6×2）∶（4×1）
12∶4=12∶4（比值为
3）
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由此可知，已知比例的各项自乘所得到的复比例，它得的比值等于已
知比值自乘以同次方。
比例各项自乘
3次得到复比例为：
（3）比例的除法：一个比例的各项除以另一个比例的各对应项所得
的复比例，它的比值等于两个已知比例的比值的商。
通过除法得到的复比例为：
（3÷4）∶（2÷2）=（6÷2）∶（4÷1）
什么是复比例应用题？
计算两个以上的量成比例的应用题，叫做复比例应用题。
例如：6个水管
10
小时注满
10
米长、3米宽、1.5
米深的水池，用
同样的水管
8个，要注满
9米长、4米宽、2.5
米深的水池，需要多少小
时？
设需要
x小时。列出已知条件，使同类量上下对齐：
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此题中共有五个量，在列出的条件里，“↓”表示所求量与已知量成
正比例；“↑”表示所求量与已知量成反比例。
在固定其他量“一定’的前提下，判断未知量与每一个量成正比例还
是反比例。成正比例的，向下画一个箭头；成反比例的，向上画一个箭头。
最后把箭头所指的数及与未知数同一列的数的积作分子，箭尾指着的数的
积作分母，所得的分数值，就是题目中所求。
答：需要
15
小时。
复比例应用题也可以用整数或小数中的“归一”方法解，仍以上题为
例：
（1）每个水管
1小时注水多少立方米？
10×3×1.5÷10÷6=0.75（立方米）
（2）要注满水的水池容积是多少立方米？
9×4×2.5=90（立方米）
（3）8个水管
1小时注水多少立方米？
0.75×8=6（立方米）
（4）需要多少小时？
90÷6=15（小时）
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什么是混合比例应用题？
把价值不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合
后的平均价格（或总价和总数量），求混合量的应用题，叫做混合比例应
用题。
混合比例应用题在小学数学教材中虽然没有涉及，但在实际生活中，
这类问题又是常见的。例如：
两种糖果，每千克的价格，甲种
4.8
元，乙种
4.2
元，混合后每千克
价格为
4.6
元，已知混合时，甲种糖果比乙种多用
2.5
千克，求两种糖果
各用多少千克？
解：设甲种糖果用
x千克，乙种糖果用了（x-2.5）千克。
（4.8-4.6）∶（4.6-4.2）=（x-2.5）∶x
0.2∶0.4=（x-2.5）∶x
0.2x=0.4x-1
0.2x=1
x=5（千克）甲种
5-2.5=2.5（千克）乙种
验算：甲种糖果
5千克价：4.8×5=24（元）
乙种糖果
2.5
千克价：4.2×2.5=10.5（元）
两种糖果共价：24＋10.5=34.5（元）
两种糖果共重：5＋2.5=7.5（千克）
混合后每千克价：34.5÷7.5=4.6（元）
又如：买来甲乙两种铅笔若干支作为奖品，甲种每支
0.6
元，乙种每
支
0.4
元，平均每支
0.525
元，已知甲种铅笔比乙种多
20
支，求两种铅
笔各多少支？
解：设甲种铅笔
x支，乙种铅笔（x-20）支。
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答：甲种铅笔
50
支；乙种铅笔
30
支。
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页分数应用题
在分数应用题中，如何进行聚简为繁的训练？
在分数应用题的教与学中，特别是对较复杂的分数应用题，通常采用
化繁为简的方法，即：把较复杂的题目逐步分解成若干个有联系的简单应
用题。这种分散难点、各个击破的方法，实际上是化繁为简的训练。与此
同时，还要进行把简单应用题逐步组合成较复杂应用题的训练，使学生既
看到较复杂应用题的分解过程，也看到它的组合过程，后者就是聚简为繁
的训练。
完成了多少米？
这是一道求一个数几分之几是多少的一步应用题，属于早已掌握的旧
知识，可以顺利地列式解答。
结果求出后，立即提出下题：4天修完
6000
米，平均每天修了多少
米？这是一道除法中求一份数是多少的简单应用题，也比较容易列式解
答。
6000÷4=1500（米）
接着提出第三个问题：按每天修
1500
米的速度，完成计划的
36000
米，实际要多少天？这是除法中包含除的简单应用题，列式解答也将是顺
利的。
36000÷1500＝24（天）
在此基础上，提出第四个问题：计划
30
天完成的任务，实际用了
24
天，提前几天完成任务？这是减法中求两数差的简单应用题，列式解答为：
30－24=6（天）
在分散的基础上，把四个熟悉并早已掌握的简单应用题组合起来，就
组成了一道四步的较复杂的应用题。即：
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照这种速度，可以提前几天完成任务？
这种聚简为繁的训练，可以帮助学生看到较复杂应用题是如何组成
的，也就是较夏杂应用题是怎样一步一步地复杂起来的。这是两步应用题
教学中，并题训练的扩大。在此基础上，对进行化繁为简的解答，不但起
了促进作用，也起了对较复杂应用题在理解上的相辅相成的作用。从而达
到培养学生全面地提高逻辑思维能力的目的。
在分数应用题教学中，如何进行一题多变？
一题多变是应用题教学中常用的一种教学手段，它是在掌握例题典型
性的基础上，充分发挥例题的可变性，通过条件的变化和问题的改换，使
知识向纵向和横向延伸。这对于防止学生思维的呆板，摆脱思维定势的羁
绊，都是极其有益的。
一题多变的方法，一般在练习课、复习课和思维训练课上使用。它不
仅可以沟通知识的内在联系；还可以使基本题向深度和广度发展，从而看
到较复杂题的来龙去脉。既有利于学生思维灵活性的培养，又在有限的教
学时间内加大练习和训练的密度。
例如：教师先在黑板上板书两个条件：男生
25
人，女生
20
人。然后
启发学生：依据这两个条件，在学过分数乘、除法应用题上，可以提出什
么问题？开始时，一般提出下面四个问题：
（1）男生人数是女生人数的多少倍？
（2）女生人数是男生人数的几分之几？
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（3）男生人数比女生人数多几分之几？
（4）女生人数比男生人数少几分之几？
随着四个答案，教师继续板书，将男生
25
人用红笔框起来，表示为
问题；把女生
20
人与原来提出的四个问题的答案，作为条件，分别用直
线连接。这样就形成了四个新问题：
在完成上述四题的口算后，再将女生
20
人这个条件用红笔框起来，
用男生
25
人与上述四题的结果作为条件。这样又形成了四个新问题：
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这时，板书已经形成了以下的网状结构：
通过一题多变，将两个基本条件，先后组成了十二道基本应用题，同
时揭示了分数乘、除法应用题转化关系。如果把男、女生人数和作为标准
量，还可以变化出更多的题目。以上所举的例子，只是横向上的一题多变。
如果在一道基本题的基础上，附加条件或引申问题，那就是纵向上的一题
多变。
运用一题多变，有两个问题应该注意：
其一，一题多变不是目的，而是促进学生思维灵活的手段。不能为多
变而多变，更不是变得越多越好，要从班级实际情况出发，做到“适可而
止”。
其二，进行一题多变的基础，是学生清晰而明确地掌握基本数量关系
和“量”与“率”的对应关系，不能匆忙起步。否则，仓促的多变，反而
会引起部分学生思维上的混乱。
在分数应用题教学中，如何进行一题多解？
一题多解是应用题教学的一种重要方法。即：在不改变条件和问题的
情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，以探求不同的解题思
路。在探求的过程中，由于学生的思维发散点不同，因而能找出多种解题
途径，收到培养求异思维的效果。
进行一题多解的训练，通常采用两种方法：一种是先找出常规解法，
然后进行发散性的思考，以探求不同的思路；另一种是摆出条件和问题后，
不找常规解法而直接进行发散。前者属于“同中求异”，后者属于“异中
求同”。因为这两者的目标是一致的：在发展思维的前提下，“殊途同归”。
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例如：修路队九月份（按
30
天计算）计划修路
2400
米，由于开展向
国
解法一：按分数应用题的常规思路，确定计划
2400
米为标准量，求
出它
两数差。
解法二：按方程的思路分析，把提前的天数设为
x，其含有未知数的
等式为：
解法三：按工程问题的思路分析，把计划的
2400
米看作“1”，
“1”里面包含着多少个这样的几分之几，就求出了实际的天数，最
后用减法求出提前的天数。
解法四：按比例应用题的思路来分析，设提前的天数为
x，前
6天所
对
的比值，速度是不变量。
设：可提前
x天完成。
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解法五：仍按比例应用题的思路分析，根据速度一定，时间和数量成
正
个数的几分之几是多少，求这个数的方法，就可求出实际完成的天数，
最后用减法求出提前完成的天数。
其他的解法从略。
在一题多解的训练中，选择恰当的题目是非常重要的。题目要从学生
已掌握的知识实际出发，题目中条件与条件、条件与问题之间的关系，都
应有一定的广度，要能够为求异思维的展开，提供不同的发散点。思路狭
窄的题目，是不能为一题多解选用的。
一题多解与一题多变一样，多解也不是目的，目的在于通过思维的发
散，开拓解题的思路，发展学生的智力。
什么是逆向的思维方法？
逆向思维方法是与顺向思维方法相对而言的。在分析、解答应用题时，
顺向思维是按照条件出现的先后顺序进行思考的；而逆向思维是不依照题
目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发，进行逆转推
理的一种思维方法。
逆向思维与顺向思维是思维训练的主要的基本形式，也是思维形式上
的一对矛盾。正确地进行逆向思维，对开拓分数应用题的解题思路，促进
思维的灵活性，都会起到积极的作用。以下面两题为例：
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解：从题意上分析，这是一道典型的“还原法”问题，如果按一般顺
向思维的方法进行思考，将难以找到解题的突破口。正确的解题思路就是
用逆向思维的方法，从最后的得数出发，一步步地向前逆推。在逆向推理
的过程中，对原来题目里的四则运算进行逆向运算。即：加变减、减变加、
乘变除、除变乘。
的这个数。列式计算为：
解：此题如按顺向思维来思考，就是“归一”的思路，先要求出
1
吨面
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如果从逆向思维的角度分析，可以形成另外两种不同解法：即：①不
着眼于先求
1吨面粉需多少吨，而着眼于
1吨小麦可磨多少吨面粉，然后
再求
“倍比”的思路，求出面粉的吨数。列式计算为：
通过以上两例可以看出，掌握逆向思维的方法，遇到问题可以变换角
度，进行正、反两方面的思考，在开拓解题思路的同时，也促进了逻辑思
维能力的发展。
什么是对应的思维方法？
对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之
一。在小学数学的教材中，对应思维所表现的是一般对应和量率对应，一
般对应是从一一对应开始的。
例如：甲有
6个三角，乙有
4个三角，甲比乙多几个三角？
这里的虚线表示的就是一一对应，即：甲和乙都有同样多的
4个三角，
而没有虚线的2个，正是甲比乙多的三角。
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一般对应随着知识的扩展，也表现在以下问题上：
煤
80
吨，平均每小时采煤多少吨？
这是一道求平均数的应用题。要求出每小时采煤多少吨，必须先求上、
下午共采煤多少吨和上、下午共工作多少小时。这里的共采煤吨数与共工
作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所求的解。
在简单应用题中，培养与建立对应的思维方法，这是解决较复杂的应
用题的基础。因为较复杂的应用题中，间接条件较多，在推导的过程中，
利用对应思维所求出的数，虽然不一定是最后结果，但往往是解题的关键
所在。在分数乘、除法里，这种对应思维突出表现在数量与分率（或倍数）
的对应关系上；正确的解题思路的形成，就建立在清晰、明确的量率对应
的基础上。
从题意分析看出，这是一道“已知一个数的几分之几是多少，求这个
数”的分数除法应用题。条件中只有
20
本这唯一具体的量，解题的关键
是要找出这个“量”所对应的“率”。
如图：
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确定“量”所对应的“率”，是解答此类题的唯一思考途径。按照对
应的思路，列式计算为：
答：书架上原有书
240
本。
从上题的思考过程来看，没有量率对应的思维方法，就不可能找出正
确的解题思路。由此可见，在解答分数乘、除法应用题时，对应的思维方
法，无疑是一把宝贵的钥匙。
什么是假设的思维方法？
假设的思维方法是一种推测性很强的思维方法。这种思维在解答应用
题的实践中，具有很大的实用性。这是因为有些应用题用顺向思维和逆向
思维都不能找到解题途径时，可以将题目中的两个或两个以上的未知条
件，假设成相等的数量，也可以把一个未知条件假设成已知条件，从而使
题目中隐蔽或复杂的数量关系，趋于明朗化和简单化，这是假设思维方法
的突出特点。
当“假设”的任务确定后，就按照假设后的条件，依据数量的相依关
系，做出相应的调整后，列式计算并求出正确的结果。
题目中有件数和与用布的米数和，由于上、下衣用布量并不一样，做
的件数也不一样，按照常规思路，将是无从下手的。但是运用假设的思维
方法，此题并不难解决，并且有两个思路：
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200-80=120（件）上衣
500
米，比实际总米数少（520-500=）20
米，这个差是由于每件上衣
用布数
才差
20
米呢？这也是答案之一。列式计算为：
200-120=80（件）下衣
通过计算表明：这两个思路都运用了假设的思维方法。在整数应用题
里的鸡兔同笼问题，实际上也运用的是这种思维方法。
假设的思维方法在较复杂的分数乘、除法应用题中，应用也较广泛。
如下题：
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各重多少吨？
这样两个标准分率就一样了。用共重的吨数乘以假设后的统一分率，
所得的
样就可求出其中一堆的重量，另一堆重量用减法即可求出。
30-12=18（吨）第二堆
30-18=12（吨）第一堆
以上的两个思路都是从率入手的。如果从量入手，又会形成两个思路。
无论从量从率入手，都需要假设的思维方法作为解题的前提条件。
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什么是转化的思维方法？
在分数乘、除法应用题中，常出现两个或两个以上的不同标准量，从
属于这些标准量的分率，就很难进行分析和比较。运用转化的思维方法，
就可以将不同的标准量统一成一个共同的标准量。在此基础上，其不同标
准量的分率，也转化为共同标准量下的分率。经过转化后的数量关系，也
就变得简单而明朗，既便于果断地确定思路，也利于准确而迅速地安排解
题的步骤。
建立转化的思维方法，必须具备扎实的基础知识，对基本的数量关系，
特别是对量率对应等关系，都能够熟练地掌握和运用，这是建立转化的思
维方法的前提条件。
运用转化的思维方法的题目，类型较多，以常见的率转化为例：
少岁？
从题目的条件与问题分析，这是一道和倍应用题，但标准量却有两个
（父
这样就转化成分数和倍的基本题。列式计算为：
解这道题，也可以通过转化，使父子年龄不同标准量统一为子年龄的
标
转化为先求子年龄的和倍应用题。
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如果依据题意画出线段图，还可以转化为另一种思路。
一转化，就可以确定父子年龄的倍数关系。
如果在观察图形的相等部分时，转换一下思维的角度，此题也可以转
化
10∶3。有了这个“比”的关系，又有父子年龄的“和”，可以用按
比例分配的应用题进行解答。
10＋3=13……总份数
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上述四种解法，不仅思路不同，在算理上也有难有易，但有一个共同
点：没有转化的思维方法的参与，每个思路都是难以形成的。
215．什么是消元的思维方法？
在一些数量关系较复杂的应用题里，有时会出现两种或两种以上物品
组合关系所构成的应用题，而在已知条件中，又只给了这几种物品相互混
合后的数量的总价，如果按其他思维方法，很难分析出正确的解题思路来。
这就需要运用消元的思维方法，即：依据实际的需要，通过直接加、减或
经过乘、除后，再间接加、减的方法，消去一个或一个以上未知数，求出
第一个结果，然后再用第一个结果推导出第二个或第三个结果来。
消元的思维方法与代数中的消元法是一脉相承的，只不过小学中的消
元，不设
x，因此，也叫做消去未知数的方法。
求一升油和一升奶各重多少千克？
按照消元的思维方法，题目中的条件可排列如下：
7升油+22
升奶→29.31
千克
从条件排列中可见：两次的油与油、奶与奶的千克数，都存在着倍数
关系，如果先消去油的千克数，把第一个条件扩大
2倍，减去第二个条件，
油固然可以消去，但奶的升数出现了不够减的情况。因此，只能采用第二
个缩小
2倍的方法，再减去第一个条件，从而把油消去。
条件重新排列及消元的过程如下：
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千克。列式计算为：
油：（29.31-1.03×22）÷7=0.95（千克）
答：一升奶重
1.03
千克；一升油重
0.95
千克。
除上述思路外，按照消元的思维方法，根据它们之间的倍数关系，也
可以形成另一种思路。即：把第一个条件都扩大
4倍，使
这样就可消去奶，而先求出油来。
条件排列与思路如下：
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列算式为：
运用消元的思维方法，可以发现解答上述这类题目的规律。由于在解
题步骤和分析消元的角度上，并不是唯一的，因此，消元的思维方法也必
然会促进整个思维的发散性。
什么是发散的思维方法？
发散思维的方法是依据题目中条件与条件、条件与问题的相依关系，
从不同的角度上去分析，从不同的途径去思考，在推理中寻找解题的线索，
在比较中选择最佳思路，从而使学生的求异思维得到锻炼和发展。
求同思维是求异思维的前提，没有求同就没有真正的求异，
或者说：
就没有真正的发散。但求异思维不是求同思维的自然发展，重要的是有计
划、有目的、有重点地进行发散思维方法的培养。让学生在“同中求异”
和“异中求同”，使求同思维与求异思维协同配合，做到在发散中的同步
发展。
以下面的两题为例：
确的，但思路并不一定是一个，而是从不同角度进行发散思维的结果。
7个
100
千克是
700
千克，再加
1000
千克，得数是
1700
千克。
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千克。
数点向右移动三位，得数是
1700
千克。
……
上述的三种思路，其所得的结果是一致的，但分析和思考时，与旧知
识
两部分，采用分别相乘然后相加的方法，在运算中又使用了乘法分配
律。思路②是用求一个数是另一个数的几又几分之几倍的分数乘法法则进
行计算的。思路③是先将分数化成小数，然后在乘法中，根据小数点移位
所引起小数大小变化的规律，从而简便、准确、迅速地求出结果。
（2）当分数、百分数应用题学完后，在练习课上，可通过变直接条
件为间接条件的表述，来进行发散思维方法的培养。例如：
甲储蓄
80
元，乙储蓄
50
元，如果把乙储蓄的
50
元这个直接条件改
为间接条件的表述，采用分数或百分数的形式，可能有几种表述方式：
……
如果把甲储蓄的
80
元转化为间接条件，还用分数或百分数的形式进
行表述，可有以下几种表述方式：
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……
类似的表述方法还有许多，解答步骤也会由简到繁。由此可见，发散
的思维方法的形式，对于应用题中的数量关系或量率关系，能够进行多角
度、多侧面的发散性思考。这种自觉思考习惯的养成，将是一种宝贵的思
维品质。
什么是联想的思维方法？
联想的思维方法是沟通新旧知识的内在联系，在处理新问题的数量关
系或量率关系时，能够对已掌握的旧知识与新问题之间，产生丰富的联想，
并运用知识的正迁移规律，变换审题的角度，使问题得到更顺利、更简捷
的解答。
当学完分数应用题和比例应用题之后，可通过一道应用题部分条件的
出现，激起学生的联想，从而显示联想的思维方法在开阔思路上的作用。
例如：行驶一段路程，甲车与乙车速度的比是
5∶4。
出现这些部分条件后，稍做停顿，学生可能产生的联想，有以下几种
情况：
①甲车与乙车的速度比是
5∶4，甲车与乙车的时间比则是
4∶5。这
是依据路程一定，速度与时间成反比关系而联想出来的。如果原题的后面
条件是给了甲（或乙）行完这段路程的时间，按原来的速度比去思考，此
题将是反比例应用题。通过联想将速度比转化为时间比，此题便由反比例
应用题转化为正比例应用题。
②甲车与乙车的速度比是
5∶4，甲车速度就是乙车速度的（5÷4=）
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求甲车的速度是多少，就可以用求一个数的几又几分之几倍的方法，
将原题的正比例应用题转化成分数乘法的应用题。如果原题给了甲车的速
度去求乙车的速度，就可以用已知一个数的几分之几倍是多少，求这个数
的方法，将原题转化为分数除法的应用题。
分数与比的关系联想的结果。如果后面给了甲车速度，求乙车速度，
则转化为求一个数的几分之几是多少的分数乘法应用题。反之，则转化为
已知一个数的几分之几是多少，求这个数的分数除法应用题。
与除法关系的基础上，联想到求一个数比另一个数多几分之几，把乙
车看成
差率直接对应，那么用分数除法就可以直接求出乙车的速度。
一个数比另一个数少几分之几联想的结果。甲车速度作为标准量“1”，
如
法直接求出甲车的速度。
⑥根据甲、乙车速度比是
5∶4，则甲乙两车的速度和为（5＋4=）9，
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配应用题进行的联想。如果原题后面给了两车速度和的条件，就可以用
分数乘法分别求出甲车速度和乙车速度。
⑦根据甲、乙车速度比是
5∶4，所需时间比是
4∶5，由此联想出甲
车分别从两地同时出发，相向而行，求中途的相遇时间，那么，把全
程作为“1”，这道题又转化成分数的工程问题。
……
从上例可以看出，联想面越广，解题思路就越开阔，解题步骤也就越
加准确而敏捷。由此可见，联想思维方法所带来的效益，不仅可以促进学
生思维能力的发展，也往往从中闪耀出创造性思维的火花。
什么是量不变的思维方法？
在一些较复杂的分数应用题中，每个量的变化都会引起相关联的量的
变化，就如同任何一个分量的变化都会引起总量的变化一样，这种数量之
间的相依关系，常常出现以下的情况：在变化的诸量当中，总有一个量是
始终固定不变的。
有了量不变的思维方法，在纷繁的数量关系中，就能在确定不变量的
基础上，理顺它们之间的关系，理清解题的思路，从而准确，迅速地确定
解题步骤和方法。在小学的分数应用题中，涉及到量不变的思维方法，一
般有以下三种情况：
（1）分量发生变化，总量没有变。
从分析题意中可知，甲乙两人的存款数（分量）先后都发生了变化，
但二人存款的总钱数（总量）却始终未变，可以断定这是一道总量不变的
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应用题。抓住了总量不变的特点，就抓住了解题的关键。把乙的存款数看
作“1”，
存款数占总存款数的几分之几，然后再求乙存款数占总存款数的几分
之几。
经过上面的分析，标准量已转化到二人总存款数，乙占总存款数的分
率
此题中，尽管标准量前后不同，中间并经过几度转化，过程也较复杂，
但一旦抓住总量不变这个特点，就保证了思维过程的条理和清晰。
（2）总量发生变化，其中一个分量没变。
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根据题意，又买进了一批科技书，说明总量发生了变化，科技书这个
分量也发生了变化，但另一个分量（文艺书）却始终没变。抓住这个不变
量的特点，可求出文艺书的本数：
文艺书的本数没变，但由于后来又买进了科技书，文艺书所占总本数
的
数前后没变，两次总本数之差
720-630=90（本），则是科技书后来
又买进的本数。
（3）总量和分量都发生了变化，但分量之间的差量没变。
张华是
36
岁时，李丽是多少岁？
这是一道差量不变的应用题，因为张华年龄增加的同时，李丽的年龄
也在同步增加，两人之间的年龄差却始终未变。与此同时，两人年龄和相
应发生变化，张华年龄所占二人年龄和的分率也必然发生变化。抓住了年
龄差这个不变量，就找到了解题的突破口。
时，李丽则是
36-8=28（岁）。
第
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共
23
页第一篇、知识点
一、和差倍问题
（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。
方法①：（和－差）
2
较小数，和
较小数
较大数
方法②：（和
差）
2
较大数，和
较大数
较小数
例如：两个数的和是
15，差是
5，求这两个数。
方法：
(15
5)
2
5，
(15
5)
2
10
.
（二）
和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：和
（倍数
1）
1倍数（较小数）
1倍数（较小数） 倍数
几倍数（较大数）
或
和
1倍数（较小数）
几倍数（较大数）
例如：两个数的和为
50，大数是小数的
4倍，求这两个数。
方法：50
(4
1)
10
10
4
40
（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：差
（倍数
1）
1倍数（较小数）
1倍数（较小数） 倍数
几倍数（较大数）
或
和
1倍数（较小数）
几倍数（较大数）
例如：两个数的差为
80，大数是小数的
5倍，求这两个数。
方法：80
(5
1)
20
20 5
100
二、年龄问题
年龄问题的三大规律：
1．两人的年龄差是不变的；
2．两人年龄的倍数关系是变化的量；
3．随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量．
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄
大小年龄差
倍数差
小年龄，
几年前年龄
小年龄
大小年龄差
倍数差．
三、植树问题
（一）不封闭型（直线）植树问题
1
直线两端植树：
棵数
段数
1 全长
株距
1；
全长
株距 （棵数
1）；
株距
全长
（棵数
1）；
2
直线一端植树：
全长
株距 棵数；
棵数
全长
株距；
株距
全长
棵数；
3
直线两端都不植树：
棵数
段数
1 全长
株距
1；
株距
全长
（棵数
1）；
（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题
棵数
总距离
棵距；
总距离
=棵数
×棵距；
第
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棵距
总距离
棵数．
四、方阵问题
在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正
好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。
方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一
层，每边上的人数就少
2，每层总数就少8．
②每边人（或物）数和每层总数的关系：
每层总数
[每边人（或物）数1]
4；
每边人（或物）数=每层总
数
4
1．
③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）
数．
五、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应
用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种
方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为
逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反
的运算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原
来相反．
六、盈亏问题
按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余
就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．
一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种分配方法有多余的物品
(盈)，第二种分配方法则不足(亏)，当两种分配方法相差
n个物品时，
那就有：
盈数
亏数
人数 n，
这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
(盈
亏)
两次分得之差
人数或单位数，
(盈
盈)
两次分得之差
人数或单位数，
(亏
亏)
两次分得之差
人数或单位数．
解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？什么情况下
“亏”，“亏”多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．
另外在解题后，应进行验算．
七、假设问题
鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生活中也是普遍存在的．重
点掌握鸡兔同笼问题的解法——假设法，并会将这种方法应用到一些实际
问题中.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡
的脚数）
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兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡，那么就有：
兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的
脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
八、牛吃草问题
（一）牛吃草的由来
在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中有一道非常有名的关于
牛在牧场上吃草的题目：“12头牛
4周吃牧草31格尔(格尔：牧场面积单位)，同
3
样的牧草，21头牛
9周吃
10格尔．问
24格尔牧草，多少头牛吃
18周吃完？”
后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也称为“牛吃草”问题．
（二）牛吃草的解题步骤
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定
1头牛
1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度
(对应牛的头数
较多天数
对应牛的头数
较少天
数)
(较多天数
较少天数)；
⑶原来的草量
对应牛的头数 吃的天数
草的生长速度 吃的天数；
⑷吃的天数
原来的草量
(牛的头数
草的生长速度)；
⑸牛的头数
原来的草量
吃的天数
草的生长速度．
（三）牛吃草的变式题
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理
解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
（四）多块草地的牛吃草问题
多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以
找多块草地面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时
我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。
九、工程问题
工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表
示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称
之为“工程问题”。
1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=
工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效
率。
2.利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工
作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所
求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得
问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。
有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至
会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是
一种解题方法。
十、浓度问题
将糖溶于水就得到了糖水，糖水甜的程度是由糖与糖水二者重量的比值
决定的．糖与糖水重量的比值叫糖水的浓度，这个比值一般我们将它写成百
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分数．其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液．不光是糖水中存在着浓度，
我们日常生活中的盐水、酒精等溶液只能够都存在着浓度的问题．
⑴浓度问题相关公式：
溶质
溶质
溶液
溶质 溶剂；浓度
100%
100%．
溶液
溶质 溶剂
⑵常用方法：
①抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是不变量，浓度问题中溶剂是
不变量，我们可以用画图来分析；
②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是简便、有效的方法；
③十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)；形象表达：
④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有用．
十一、利润问题
商店出售商品时，为了获得最大的利润，商家总是“低进高出”，只有这样
才能赚取差价，这个差价就会产生利润．实际上，在商品贸易上的许多数学
问题都会涉及到三个量：成本、利润及定价．
成本——购进商品所需的本钱，又叫进价或成本价；
定价——商品出售的价格，又叫售价或卖卖价；
利润——产品定价中高于成本以上的那一部分．
为了衡量获得利润的大小，通常采用：“利润百分数”或“利润率”这个量：
利润
售价 成本
售价
售价 成本 利润，利润率
100%
100%
1
100%由上面的公式还可以引申出下成本
成本
成本
面两个公式：
售价
售价=成本 （1+利润率），成本
．
1+利润率
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第二篇：习题汇编
1.商店进了
300支钢笔，每售出
1
支，可获
40%的利润当这批钢笔售出芸时，共获得利润
750元，求每支钢笔的进货价.
2.商场以每个3.2元的价格购进了一批文具盒，每个售价
5元，还剩下
80个没售出时，除了
成本已经获利
500元．问这批文具盒一共有多少个
3.人民商厦运来一批彩电，按定价出售可以获利
2.8万元，如果按定价的九五折出售，则仍
可获利
2000元．问彩电的成本价共是多少元
4.红星商场进了一批玩具，六月一日这天以定价的八折出售，当天售出的玩具仍可获得10%
的利润，问这批玩具定价时的利润是百分之几
5.一批商品，按照能获得
50%的利润定价，结果只销掉了
70%的商品．为尽快将剩下的商
品销售出去，商店决定打折出售，这样所获得的全部利润是原来能获利润的82%．问剩下
的商品打了多少折出售
6.有
300克浓度为10%的盐水．现在要将这盐水的浓度变为8%，问应加入多少克水
7.要从含糖16%的
20千克糖水中蒸去水分，制出含糖
20%的糖水，问应当蒸去多少千克水
分
8.要配制浓度为
20%的硫酸溶液
1000克，需要用浓度为18%和
23%的硫酸溶液各多少克
9.大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的
2倍，大瓶酒精溶液的浓度为
20%，小瓶酒精溶液的浓度
为35%．将两瓶酒精溶液混合后，酒精溶液的浓度是多少
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10.
在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占
48%、
62.5%
2和
．已知三缸酒
3
精溶液总量是
100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶
液混合后，听含纯酒精的百分数将达
56%，那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克 (1997
年小学数学奥林匹克预赛
C
卷第
12题)
11.
甲瓶中有纯酒精
11升，乙瓶中有水
15升，第一次将甲瓶中的一部分酒精倒入乙瓶中，
使酒精和水混合．第二次将乙瓶中的一部分混合液倒入甲瓶中．这样，甲瓶中的纯酒精含
量为
62.5%，乙瓶中的纯酒精含量为
25%．问第二次从乙瓶倒人甲瓶的混合液是多少升
12.
李明和王林在周长为
400米的环形跑道上练习跑步，李明每分钟跑
200米，是王林每分
8
钟跑的
，如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相
9
遇
13.
从
360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步，甲每分钟跑
305米，乙每分钟跑
275米，两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处
14.
绕湖一周是
21.1千米，小明和小华从湖边同一地点同时相背而行小明以每小时
4.6千米
的速度每走
1
小时后就休息
5
分钟，小华以每小时
5.4千米的速度每走
50
分钟后就休息
10分钟，问两人出发后多少小时相遇
15.
12点整时，钟面上的时针、分针和秒针刚好重合．那么，再过多长时间，钟面上的时
针和分针再次重合 重合时，时针、分针分别走了几圈几格 (钟面一圈分成
60格)
16.
有一个台式钟，在
3月
29日零时比标准时间慢
4分半，它一直走到
4月
5日上午
7时，
比标准时间快
3分钟，那么这个台钟所指时间是正确的时刻在几月几日几时
17.
小红和妈妈的年龄加在一起是
40岁,妈妈年龄是小红年龄的
4倍,小红有________岁,
妈妈有
__岁.
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18.
甲、乙、丙、丁四个人一共做了
370
个零件,如果把甲做的个数加
2,乙做的个数减
3,
丙做的个数乘
2,丁做的个数除以
2,四个人做的零件个数正好相等,问四个人各做多少个
零件
19.
叔叔比小华大
20岁，明年叔叔的年龄是小华的
3倍，小华今年_______岁.
20.
女儿今年(1994年)12岁，妈妈对女儿说：“当你有我这么大岁数时，我已经
60岁喽!”
问：妈妈
12岁时，是哪一年？
21.
五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大
6岁，已知他们的平均年龄
为
85岁，其中年龄最大的一位老人为________.
22.
.今年父亲的年龄为儿子的年龄的
4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的
2倍，儿子今年
_______岁。
23.
今年爷爷
78岁，三个孙子的年龄分别是
27岁，23岁，16岁，经过年后爷爷的等于三
个孙了的年龄的和。
24.
四个人年龄之和是
77岁，最小的
10岁，他与最大的年龄之和比另外二人年龄之和大
7
岁，那么最大的岁数是_______。
25.
有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的
2倍时，丙是
22岁；当乙的年龄是丙的
2倍，
甲是
31岁；当甲
60岁时，丙是________岁。
26.
甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是
64岁，甲
21岁时，乙
17岁；甲
18岁时，丙的年
龄是丁的
3倍，丁现在的年龄的________岁。
27.
今年，小明的父母年龄之和是小明的
6倍，4年后小明的父母亲年龄之和是小明的
5倍，
已知小明的父亲比他的母亲大
2岁，那么，今年小明父亲________岁。
3
28.
有甲、乙、丙三人，丙的年龄是甲年龄的
，乙今年
14岁，又知丙的年龄是甲、乙年
16
1
龄之差的
，丙今年________岁。
3
29.
爸爸在过
50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之
和正好等于那时爸爸的年龄。”那么哥哥现在_________岁。
30.
甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才
5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你
现在的岁数时，你将
50，”那么甲现在________岁，乙现在_________岁。
31.
六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票
99张，共花
28元，其中单程票每张
0.2元，往
返票每张.4元。那么单程票和往返票相差________张。
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32.
三种昆虫共
18只，它们共有
20对翅膀
116条腿，其中每只蜘蛛是无翅
8条腿，每只蜻
蜓是
2对翅膀
6条腿，蝉是
1对翅膀
6条腿，问这三种昆种各多少只？
33.
启蒙书社五天内卖出<中学生手册>和<小学生手册>共
120本。<中学生手册>第本
5元，
<小学生手册>每本
3.75元，营业员统计的结果表明：这五天所卖<中学生手册>的收入比
卖<小学生手册>的收入多
162.5元，这五天内启蒙书社卖出的<中学生手册>和<小学生手
册>各多少本？
34.
王村小学举行数学竞赛，共
10道题，每做对一道题得
10分，每做错一道题倒扣
2分，
小明得了
64分，他做错了几道题？
35.
某次数学竞赛，共有
20道题，每道题做对得
5分，没做或做错都要扣
3分，小聪得了
60分，他做对了________道题。
36.
某小学举行一次数学竞赛，共
15道题，每做对一题得
8分，每做错一题倒扣
4分，小
明共得
72分，他做对了________道题。
37.
春风小学
3名云参加数学竞赛，共
10道题，答对一道题得
10分，答错一道题扣
3分，
这
3名同学都回答了所有的题，小明得了
87分，小红得了
74分，小华得了
9分，他们三
人一共答对了________道题。
38.
箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的
3
倍多
2
只，每次从箱子里取出
7
只白球，53只红球，那么，箱子里原有红球数________只。
39.
原有男、女同学
325人，新学年男生增加
25人，女生减少
5%，总人数增加
16人，那
么现有男同________人。
40.
一根木料长
21米，把它据成
3米长的一段，每据一段用
6分钟，共用________分钟。
41.
科学家进行一项实验，每隔五小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟时针恰好指向
9，问做第一次记录时，时针指向几？
42.
从运动场一端到另一端全长
96米，从一端起到另一端每隔
4米插一面小红旗。现在要
改成每隔
6米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？
43.
有一块三角形地，三条边分别为
120米、150米、80米，每
10米种一颗树，那么三条
边上共种________棵树。
44.
园林工人要在周长
300
米的圆形花坛边等距离地栽上树。他们先沿着花坛的边每隔
3
米挖一个坑，当挖完
30个坑时，突然接到通知：改为每隔
5米栽一颗树。这样，他们还
要挖多少个坑才能完成任务？
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11
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45.
四年级三班上操正好排成人数相等的三行，小明排在中间一行，从前从后数都是第八个。
那么这个班有学生________人。
46.
四年级三个班的同学在河堤上种了一排树共
80棵。从左往右数，第
58棵起往右数都是
一班种的；从右往左数，第
63棵起往左都是三班种的；那么二班种了________棵。
47.
在田径运动会上，甲、乙、丙三人沿
400米环形跑道进行
800米跑比赛．当甲跑完
1圈时，
1
1
乙比甲多跑
圈，丙比甲少跑
圈．如果他们各自跑步的速度始终不变．那么，当乙到
7
7
达终点时，丙离终点还有_________米.
48.
六(1)班和六(2)班同学买同一种电影票．六(1)班
48人共付
16
45
元，六(2)班共付了
15
3
4
元，问六年级两班共有多少人
49.
某运输队运一批大米．第一天运走总数的
15
多
60袋，第二天运走总数的
1
4
少
60袋．还
剩下
220袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？(只列式，不计算)
50.
某市派出
60名选手参加
1998
1年“贝贝杯”少年田径邀请赛，其中女选手占
．正式比赛
4
2
时，有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的
．正式参赛的女选
11
手只有
名．
第三篇、竞赛篇
51.
将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为
5
:
4
:
3，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为
7
:
6
:
5，其中有一位小朋友比原计划
多得了15块糖果，那么这位小朋友是
（填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所
得的糖果数为
块。
52.
悉尼与北京的时差是
3小时，例如：当悉尼时间是12
:
00时，则北京时间是9
:
00。某日，
当悉尼时间是
9
:15时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地，小马
于北京时间19
:
33到达北京。小马和小杨路途上所用时间之比为
7
:
6，那么小杨到达悉尼
时，当地时间是
。
53.
星期天小明、小强和小佳一起去采摘。小强说：“我摘的苹果最多了，比你们俩的苹果
总和还多1个。”小明回答说：“是啊，你比我多摘了10个，但我比小佳多摘10个。”那么，
他们三个人共摘了
个苹果。
54.
一个书架上有数学、语文、英语、历史
4种书共
27本，且每种书的数量互不相同。其
第
9
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共
11
页9
中数学书和英语书共有12本，语文书和英语书共有13本。有一种书恰好有
7本，是
书。
55.
有两盒围棋子，第一盒中的白子数量是黑子数量的9倍，第二盒中的黑子数量是白子数
量的9倍；两盒中白子的总数是黑子总数的
4倍，那么第一盒中棋子数量是第二盒中棋子数
量的
倍。
56.
箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球。每次取出5个乒乓球和
3个羽毛球，取几次之
后，乒乓球恰好没了，羽毛球还有
6个，则一共取了________次，原来有乒乓球和羽毛球
各________个。
57.
甲、乙两人要从网上下载同一个100兆大小的软件，他们同时用各自家中的电脑开始下
载，甲的网速较快，下载速度是乙的
5倍，但是当甲下载到一半时，由于网络故障出现断
网，而乙家的网络一直正常。当甲的网络恢复正常时，继续下载到
99兆时（已经下载的
部分无需从新下载），乙已经下载完了，则甲断网期间乙下载了________兆。
58.
甲、乙、丙三件商品，甲的价格比乙的价格少
20%，甲的价格比丙的价格多
20%；那
么，乙的价格比丙的价格多________%。
59.
一只猴吃
63只桃，第一天吃了一半加半只，以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，
则
天后桃子被吃完。
60.
小辉的家在学校的东边
2千米处，小英的家在小辉的家的北边
2千米处，小红的家在小
英的家的西边
2千米处，则小红的家离学校
千米处。
61.
一条马路长
200米，在马路两侧每隔
4米种一棵树，则一共要种树
棵。
62.
小华的语文、数学的平均成绩是
90分，语文、数学、英语三科的平均成绩是
93分，由
此可知小华的英语成绩是
分。
63.
若
2008
A
B，并且
A
B
3
5，则
A
。
64.
两袋水果共有
20个，从第1袋取出
7个水果放入第
2袋，两袋中的水果个数相同，则第
1袋中原有水果
个。
65.
前年，父亲年龄是儿子年龄的
4倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的
3倍。父亲今年
岁。
66.
某玩具店新购进飞机和汽车模型共
30个，其中飞机模型每个有
3个轮子，汽车模型每
个有
4个轮子，这些玩具模型共有110个轮子。则新购进的飞机模型有
个。
67.
一项工程，甲单独完成需12小时，乙单独完成需15小时。甲乙合作1小时后，由甲单
独做1小时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用
小
时。
68.
一项工程，甲队单独完成需
40天，若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，
又需
20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需
天。
69.
幼儿园的王阿姨今年的年龄是小华今年年龄的8倍，是小华3年后年龄的4倍，则小华今年
岁。
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10
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共
11
1页0
70.
购买
3斤苹果、2斤桔子需
6.90元；购买8斤苹果、9斤桔子
22.80元，那么苹果、桔子
各买一斤需
元。
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共
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页11“思考乐资料星”微信小程序
整除知识点小记
常用数
X
分类
被除数
Y
2
末一位能被
2
整除
4
末两位能被
4
整除
8
末三位能被
8
整除
尾系
5
末一位能被
5
整除
25
末两位能被
25
整除
125
末三位能被
125
整除
3
数字和为
3
的倍数
9
数字和为
9
的倍数
从个位开始，两个一组截开，然后求和，能被
99
整除。例如：
99
和系
34155，两位一截，55/41/3/，55+41+3=99，所以
34155
可以被
99
整除。
从个位开始，3
个一组截开，然后求和，能被
999
整除。例如：
999
242757，两位一截，242、757，242+757
=999，所以
242757
可以
被
999
整除。
末三位与末三位前面的数字之差能被
7
整除：例如
23205,205-
7
23=182,182/7=26，所以
23205
可以被
7
整除。
1）奇偶位差法：由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的
数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是
11
的倍数
（包括
0），那么，原来这个数就一定能被
11
整除：例如判
断
491678
能不能被
11
整除，奇位数字的和
9+6+8=23，偶位
11
差系
数位的和
4+1+7=12，23-12=11
因此,491678
能被
11
整除
2）末三位与末三位前面的数字之差能被
11
整除：例如：
6512:512-6=506,506/11=46,所以
6512
可以被
11
整除。
末三位与末三位前面的数字之差能被
13
整除：例如
23205,205-
13
23=182,182/13=14，所,23205
可以被
13
整除。
这些是常考的一些数，其他数，如
12，12=3
4，3、4
是互质的，能同时被
3
和
4
整除
就可以被
12
整除，同样
14=2
7，15=3
5
等等等等~~~~~，大家发动自己的脑筋吧！
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知识点小记之约数和倍数
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，再把相同的因数乘起来。
例：270
和
81
：270=3×3×3×2×5,81=3×3×3×3,相同的因数为三个
3，则
最大公约数为
3×3×3=27.
2、短除法
最大公约数：2×3=6
3、辗转相除法：先用较小的数除较大的数，再用余数除较小的数，得到第二个
余数。用第二个余数除第一个余数，得到第三个余数。重复下去，直到余数为
0，
最后一个余数即为最大公约数。
例：15和
27:
27÷15=1……12,15÷12=1…3,12÷3=4，则最大公约数为
3
求最小公倍数基本方法：
1、短除法求最小公倍数
最小公倍数
2×3×5×2×1×5=300
2、分解质因数的方法，去重后相乘。
例：14和
8
14=2×7,8=2×2×2，去重一个
2，然后
2×2×2×7=56，最小公倍数为
56.
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知识点小记之植树问题
基本类型
基本公式
关键问题
在直线或者不封
棵数=段数＋1
闭的曲线上植树，
棵距×段数=总长
两端都植树
在直线或者不封
确定所属类型
闭的曲线上植树，
棵数=段数－1
从而确定棵数
两端都不植树
棵距×段数=总长
与段数的关系
在直线或者不封
闭的
曲线上植
棵数=段数
树，只有一
端植
棵距×段数=总长
树
封闭曲线上植树
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知识点小记之比较分数大小
方法
结论(例子)
同分母，分子大的数大
化为同分母
7/12，5/9→21/36＞20/36
同分子，分母小的数大
化为同分子
3/8，5/11→15/40＜15/33
倒数大的反而小，
比较倒数法
1111/11111>111/1111
若商小于
1，则第一个分数小；若商大于
1，则第一个分数
相除法
大；若商等于
1，则两个分数相等。
先把要比较的数约分，再比较:
约分法
4343/7676=434343/767676
化成小数
化小数法
4/9<9/20
化简：找中间数
中间数法
5/12<9/16（中间数
1/2）
差等法
等差法中若为俩真分数，分母数大的一组大，
1996/1998<1997/1999
（分子分母
等差法中若为俩假分数，分母数小的一组大
差相等分数）
167/166>168/167
化整数
7/16<9/20（均乘以
16）
交叉相乘后，结果大的数大
第一个分子
第二个分母
交叉相乘法
第二个分子
第一个分母
7/11>5/9
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知识点小记之和差倍
已知两个数的和与差，求出这
（和＋差）÷2＝大数
两个数各是多少的题目，这类
（和－差）÷2＝小数
问题叫做和差问题。
已知两个数的和，又知两个数
将小数看成
1份，大数是小数的
n倍，
的倍数关系，求这两个数分别
大数就是
n
份，两个数一共是
n+1
份
是多少，这类问题称为和倍问
小数=和÷（n+1）
题。
大数=和÷（n+1）×n
大数=小数×倍数
和-小数=大数
已知两个数的差，并且知道两
设小是
1份，如果大数是小数的
n倍，
个数倍数关系，求这两个数，这
根据数量关系知道大数是
n
份，又知
类问题称为差倍问题。
道大数与小数的差，即知道
n-1
份是
几，就可以求出
1
份是多少
小数=差÷(n-1)
大数=小数×n
大数=差+小数
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知识点小记之蝴蝶模型
A:
四边形模型：
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)
D
A
s1
s
s42
O
s3
B
C
①S1:S2=S4:S3或
S1×S3=S2×S4
②AO:OC=(S1+S2):(S4+S5)
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，
一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，
也可以得到与面积对应的对角线的比例关系
B:
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①S1:S3=a
:
b
②S1:S3:S2:S4=a :
b :
ab
:
ab；
③S的对应份数为(a+b)
,
S1占
a 份，S2占
ab
份，S3占
b 份，S4占
ab
份
@慧学老师
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知识点小记之鸟头模型
鸟头模型（共角模型）
两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于
180°），这两个三角形叫做共
角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）
常见图形：
D
A
A
D
E
E
B
C
B
C
简单运用：
如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD=DC=4
,BE=3,
AE=6，乙部分
面积是甲部分面积的几倍？
连接AD
∵（因为）BE=3，AE=6，
∴(所以)AB=3BE,SΔABD=3SΔBDE
∵BD=DC=4，
∴SΔABC=2SΔABD
∴SΔABC=SΔBDE一、概念
（一）整数
1、整数的意义
自然数和
0都是整数。
2、
自然数
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的
1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用
0表示。0也是自然数。
3、计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是
10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4、
数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除
整数
a除以整数
b(b
≠
0），除得的商是整数而没有余数，我们就说
a能被
b
整除，或者说
b能整除
a
。
如果数
a能被数
b（b
≠
0）整除，a就叫做
b的倍数，b就叫做
a的约数（或
a的因数）。倍数和约数是相互依存的。
因为
35能被
7整除，所以
35是
7的倍数，7是
35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是
1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有
1、2、5、10，其中最小的约数是
1，最大的约数是
10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、
6、9、12……其中最小的倍数是
3
，没有最大的倍数。
个位上是
0、2、4、6、8的数，都能被
2整除，例如：202、480、304，都
能被
2整除。
个位上是
0或
5的数，都能被
5整除，例如：5、30、405都能被
5整除。。
一个数的各位上的数的和能被
3整除，这个数就能被
3整除，例如：12、108、
204都能被
3整除。
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一个数各位数上的和能被
9整除，这个数就能被
9整除。
能被
3整除的数不一定能被
9整除，但是能被
9整除的数一定能被
3整除。
一个数的末两位数能被
4（或
25）整除，这个数就能被
4（或
25）整除。例
如：16、404、1256都能被
4整除，50、325、500、1675都能被
25整除。
一个数的末三位数能被
8（或
125）整除，这个数就能被
8（或
125）整除。
例如：1168、4600、5000、12344都能被
8整除，1125、13375、5000都能被
125
整除。
能被
2整除的数叫做偶数。
不能被
2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被
2
整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有
1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100
以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了
1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如
4、
6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了
1外，不是质数就是合数。如果把自然
数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和
1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因
数，叫做这个合数的质因数，例如
15=3×5，3和
5
叫做
15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把
28分解质因数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个
数的最大公约数，例如
12的约数有
1、2、3、4、6、12；18的约数有
1、2、3、
6、9、18。其中，1、2、3、6是
12和
1
8的公约数，6是它们的最大公约数。
公约数只有
1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情
况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
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两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有
1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互
质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是
1。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个
数的最小公倍数，如
2的倍数有
2、4、6
、8、10、12、14、16、18
……
3的倍数有
3、6、9、12、15、18
……
其中
6、12、18……是
2、3的公倍
数，6是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1、小数的意义
把整数
1平均分成
10份、100份、1000份……
得到的十分之几、百分之几、
千分之几……
可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之
几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，
小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数
叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是
10。小数部分的最高分数
单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是
10。
2、小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25
、0.368
都是纯小
数。
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带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25
、5.26
都是带小
数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7
、
25.3
、0.23
都是有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33
……
3.1415926
……
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的
小数叫做无限不循环小数。
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，
这个数叫做循环小数。例如：3.555
……
0.0333
……
12.109109
……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循
环节。例如：3.99
……的循环节是“
9
”
，0.5454
……的循环节是“
54
”
。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：
3.111
……
0.5656
……
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222
……
0.03333
……
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在
这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在
它的上面点一个点。例如：3.777
……
简写作
0.5302302
……
简写作。
（三）分数
1、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单
位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2、分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于
1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大
于或等于1。
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带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3、约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数
1
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
二、方法
（一）数的读法和写法
1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级
的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的
0都不读出来，其它
数位连续有几个
0都只读一个零。
2、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，
就在那个数位上写
0。
3、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，
小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4、小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个
位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照
整数的读法来读。
6、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
7、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按
照整数的读法来读。
8、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分
号“%”来表示。
（二）数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的
数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
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1、准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万
或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把
1254300000
改写成以万
做单位的数是
125430
万；改写成以亿做单位的数
12.543
亿。
2、近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾
数，用一个近似数来表示。例如：1302490015
省略亿后面的尾数是
13
亿。
3、
四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是
4
或者比
4小，就把尾数去
掉；如果尾数的最高位上的数是
5或者比
5大，就把尾数舍去，并向它的前一位
进
1。例如：省略
345900
万后面的尾数约是
35
万。省略
4725097420
亿后面的
尾数约是
47
亿。
4、大小比较
比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最
高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位
上的数大那个数就大。
比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分
相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数
大的那个数就大……
比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母
小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
（三）数的互化
1、小数化成分数：原来有几位小数，就在
1的后面写几个零作分母，把原来的
小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2、分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，
不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
3、一个最简分数，如果分母中除了
2和
5以外，不含有其他的质因数，这个分
数就能化成有限小数；如果分母中含有
2和
5
以外的质因数，这个分数就不能
化成有限小数。
4、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
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5、百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向
左移动两位。
6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，
再把小数化成百分数。
7、百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（四）数的整除
1、把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，
一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2、求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除
到所得的商只有公约数
1
为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个
数的的最大公约数。
3、求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约
数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，
这个积就是这几个数的最小公倍数。
4、成为互质关系的两个数：1
和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当
合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有
1
时，这两个合数互质。
（五）约分和通分
约分的方法：用分子和分母的公约数（1
除外）去除分子、分母；通常要除到得
出最简分数为止。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这
个最小公倍数作分母的分数。
三、性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不
变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
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（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1、小数点向右移动一位，原来的数就扩大
10倍；小数点向右移动两位，原来的
数就扩大
100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大
1000倍……
2、小数点向左移动一位，原来的数就缩小
10倍；小数点向左移动两位，原来的
数就缩小
100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小
1000倍……
3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数
的大小不变。
（五）分数与除法的关系
1、被除数÷除数=
被除数/除数
2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
3、被除数相当于分子，除数相当于分母。
四、运算的意义
（一）整数四则运算
1、整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。
加数+加数=和一个加数=和－另一个加数
2、整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。
被减数是总数，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3、整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
在乘法里，0
和任何数相乘都得
0.
1
和任何数相乘都的任何数。
一个因数×
一个因数=积一个因数=积÷另一个因数
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4
、整数除法：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里，0不能做除数。因为
0和任何数相乘都得
0，所以任何一个数除以
0，
均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数
（二）小数四则运算
1、小数加法：
小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2、小数减法：
小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加
数，求另一个加数的运算。
3、小数乘法：
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运
算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是
多少。
4、小数除法：
小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个
因数，求另一个因数的运算。
5、乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如
3
×
3
=32
（三）分数四则运算
1、分数加法：
分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2、分数减法：
分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加
数，求另一个加数的运算。
3、分数乘法：
第
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分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运
算。
4、乘积是
1的两个数叫做互为倒数。
5、分数除法：
分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个
因数，求另一个因数的运算。
（四）运算定律
1、加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即
a+b=b+a
。
2、加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，
再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)
。
3、
乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即
a×b=b×a。
4、乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，
再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)
。
5、乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相
加，即(a+b)×c=a×c+b×c
。
6、减法的性质：
从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，
即
a-b-c=a-(b+c)
。
（五）运算法则
1、整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
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2、整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作
十，和本位上的数合并在一起，再减。
3、整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪
一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
4、整数除法计算法则：
先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，
就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够
商
1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。
5、小数乘法法则：
先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右
边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。
6、除数是整数的小数除法计算法则：
先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除
到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。
7、除数是小数的除法计算法则：
先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数
不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8、同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
9、异分母分数加减法计算方法:
先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10、带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11、分数乘法的计算法则:
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分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，
用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
12、分数除法的计算法则:
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数
（六）运算顺序
1、小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2、分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3、没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。
4、有括号的混合运算:
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
5、第一级运算：
加法和减法叫做第一级运算。
6、第二级运算：
乘法和除法叫做第二级运算。
五、应用
（一）整数和小数的应用
1、
简单应用题
（1）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通
常叫做简单应用题。
（2）解题步骤：
a
审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，
不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，
帮助理解题意。
b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，
要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关
系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。
C
检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否
正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。
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2
、复合应用题
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的
应用题，通常叫做复合应用题。
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。
求比两个数的和多（少）几个数的应用题。
比较两数差与倍数关系的应用题。
（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。
已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。
已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。
（4）解答连乘连除应用题。
（5）解答三步计算的应用题。
（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，
他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或
未知数中间含有小数。
d答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。
3、解答加法应用题：
a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。
b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是
多少。
4、解答减法应用题：
a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。
-b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多
多少，或乙数比甲数少多少。
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，
求乙数是多少。
5、解答乘法应用题：
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。
b
求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几
倍，求另一个数是多少
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6、解答除法应用题：
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个
数平均分成几份的，求每一份是多少。
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可
以分成几份。
C
求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较
大数是较小数的几倍。
d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。
7、常见的数量关系：
总价=
单价×数量
路程=
速度×时间
工作总量=工作时间×工效
总产量=单产量×数量
常用的数量关系式
1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工
作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1、正方形（C：周长
S：面积
a：边长）周长＝边长×4
C=4a
面积=边长×边长
S=a×a
2、正方体（V:体积
a:棱长）
表面积=棱长×棱长×6
S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a
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3、长方形（C：周长
S：面积
a：边长）
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
4、长方体（V:体积
s:面积
a:长
b:
宽
h:高）
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高
V=abh
5、三角形（s：面积
a：底
h：高）
面积=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高
6、平行四边形（s：面积
a：底
h：高）
面积=底×高
s=ah
7、梯形（s：面积
a：上底
b：下底
h：高）
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)×
h÷2
8、圆形（S：面积
C：周长л
d=直径
r=半径）
(1)周长=直径×л=2×л×半径
C=лd=2лr
(2)面积=半径×半径×л
9、圆柱体（v:体积
h:高
s：底面积
r:底面半径
c:底面周长）
(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd)
(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径
10、圆锥体（v:体积
h:高
s：底面积
r:底面半径）
体积=底面积×高÷3
11、总数÷总份数＝平均数
12、和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数
13、和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)
14、差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数)
15、相遇问题
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相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
16、利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
常用单位换算
1、长度单位换算
1千米=1000米
1米=10分米
1分米=10厘米
1米=100厘米
1厘米=10毫米
2、面积单位换算
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
3、体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
1立方米=1000升
4、重量单位换算
1吨=1000
千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
5、人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
6、时间单位换算
1世纪=100年
1年=12月大月(31天)有:18月小月(30天)的有:49月
平年
2
月
28天,
闰年
2
月
29
天平年全年
365
天,
闰年全年
366
天
1日=24
小时
1时=60分
1分=60秒
1时=3600秒
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页小学数学易错的
26
个知识点
1、
列式计算时，一定要注意
除和除以的区别：
a除以
b或
a被
b除列式为：
a÷b，
a除
b，或用
a去除
b，列式为：
b÷a
2、
边长为
4cm的正方形，半径为
2cm的圆，它们的面积与周长并不相等，因为
单位不同，无法比较！应该表述为：
“边长为
4cm的正方形的周长与面积的数值
相等”。
3、
半圆的周长和圆的周长的一半有区别。
4、
压路机滚动一周前进多少米？是求它的周长。压路机滚动一周压路的面积，
就是求滚筒的侧面积。
5、
无盖的水桶，水池，金鱼缸，水槽等求表面积时一定要减少一个底面积。
6、
大数比小数大几分之几的方法：（大数—小数）÷单位“
1”的量。
7、两根同样长的绳子，一根剪去
1/2
米另一根剪去
1/2，剩下的长度无法比较；
8、
0.52÷0.17
商是
3，余数不是
1而是
0.01
9、
求××率或百分之几的列式中，最后必须“×
100﹪”.
10、
在求总人数、总只数、总棵树
,,
的应用题时，结果不可能是分数和小数
11、改写一个准确数，不要求“四舍五入”取近似值时，
一定要把“万”或“亿”
后面的数写到小数部分；只有大约或省略
“万”或“亿”位后面的尾数时，才
用“四舍五入”求近似值，末尾一定要写“万”或“亿”
12、
大数的读法：读几个
0的问题
【相关例题】
10,0070,0008
读几个
0？
【错误答案】其他
【正确答案】
2个
【例题评析】大数的读法是四年级学的一个知识点，
尤其是读几个零的问题，
容
易犯错。
13、近似值问题
【相关例题】一个数的近似数是
1万，这个数最大是
_________
【错误答案】
9999
【正确答案】
14999
【例题评析】四舍五入得出的近似值，
不仅可能是“五入”得来的，
还有可能是
“四舍”得来的。
14、
数大小排序问题：注意题目要求的大小顺序
【相关例题】把
3.14，π，22/7
按照从大往小的顺序排列
____________
【错误答案】
3.14＜π＜22/7
【正确答案】
22/7＞π＞3.14
【例题评析】题目怎么要求就怎么来，别瞎胡闹。并且一定要写原数排序。
15、
比例尺问题：注意面积的比例尺
【相关例题】在比例尺为
1:2000
的沙盘上，实际面积为
800000平方米的生态公
园为_____平方米
【错误答案】
400
【正确答案】
0.2
【例题评析】很多同学直接用
800000÷2000，得出了错误答案。切记，比例尺
=
图上距离：实际距离，是长度的比例尺，即图上
1长度单位是实际中的
更多资料尽在“思考乐资料星”微信小程序 第1页,共3页
2000长度单位。但是本题牵扯到面积，需要转化为面积的比例尺。需要把长度
的比例尺平方，即图上
1面积单位是实际中的
4000000面积单位。
16、正反比例问题：未搞清正比例、反比例的含义
【相关例题】判断对错：圆的面积与半径成正比例
【错误答案】√
【正确答案】×
【例题评析】若两个量乘积是定值，
则成反比；若两个量的商是定值，
则成正比。
严格卡定义，原题改为“圆的面积与半径的平方成正比”，才是正确的。
17、比的问题：注意前后项的顺序
【相关例题】一个正方形边长增加它的
1/3
后，则原正方形与新正方形面积的比
为_________
【错误答案】
16:9
【正确答案】
9:16
【例题评析】谁是比的前项，谁是比的后项，一定要睁大眼睛看清楚！
18、比的问题：比与比值的区别
【相关例题】一个正方形边长增加它的
1/3
后，则原正方形与新正方形面积的比
值为_______
【错误答案】
9:16
【正确答案】
9/16
【例题评析】比值是一个结果，是一个数。
19、单位问题：不要漏写单位
【相关例题】边长为
4厘米的正方形，面积为
________
【错误答案】
16
【正确答案】
16平方厘米
【例题评析】面积问题，结果算对了，但没有写该写的单位，犹如沙漠中的旅行
者，渴死在近在咫尺的河边。可惜！可悲！可笑！可叹！
20、
单位问题：注意单位的一致
【相关例题】某种面粉袋上标有（
25kg加减
50g）的标记，这种面粉最重是
________kg.
【错误答案】
75
【正确答案】
25.05
【例题评析】很多同学没有看到
kg与
g的单位不一致，直接给出了
75的错误答
案。
21、闰年，平年问题：不清楚闰年的概念
【相关例题】
1900年是闰年还是平年？
【错误答案】闰年
【正确答案】平年
【例题评析】四年一闰，百年不闰，四百年再闰。如果一个年份是
4的倍数，则
为闰年；否则是平年。但是如果是整百的年份（如
1900年，2000年），则必须
为
400的倍数才是闰年，否则为平年。
22、解方程问题：括号前面是减号，去括号要变号！移项要变号！
【相关例题】
6—2（2X—3）=4
【错误答案】其他
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【正确答案】
x=2
【例题评析】去括号，若括号前面是减号，要变号！移项（某个数在等号的两边
左右移动）要变号，切记！
23、计算问题：牢记运算顺序
【相关例题】
20÷7×1/7
【错误答案】
20
【正确答案】
20/49
【例题评析】
530考试，计算题“去技巧化”趋势明显。重在对基本的分数四则
运算、运算顺序以及提取公因数等计算基本功的考察。
24、平均速度问题
【相关例题】小明上山速度为
1米
/秒，下山速度为
3米/秒，则小明上下山的平
均速度为
____
【错误答案】（
1+3）÷2=2（米
/秒）
【正确答案】设上山全程为
3米，则平均速度为：（3×2）÷（3÷1+3÷3）=1.5
（米
/秒）
【例题评析】平均速度的定义为：总路程÷总时间
25、题目有多种情况
【相关例题】等腰三角形一个角的度数是
50度，则它的顶角是
_______
【错误答案】
80度
【正确答案】
50度或
80度
【例题评析】很多类型的题目，
结果往往不止一个。
同学们一定要注意思考的缜
密性，平时做题时多总结，尽量把所有情况都想全。不要做出一个答案后，就以
为大功告成。
26、注意表述的完整性
【相关例题】一个三角形的三个内角之比为
1:1:2
，这是一个
_______三角形。
【错误答案】等腰三角形
【正确答案】等腰直角三角形
【例题评析】这种题目，只有平时训练时多思考，多总结，考试时才能保证不犯
错误。
更多资料尽在“思考乐资料星”微信小程序 第3页,共3页
