选修1—2推理与证明同步测试题（1）

选修1—2推理与证明同步测试题（1）
基础训练
一、选择题
1．设的三边，且，则（ ）
A. B. C. D.
2．在证明命题“对于任意角，”的过程：“
”中应用了（ ）
A．分析法 B．综合法 C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法
3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）
A.假设至少有一个钝角 B. 假设至少有两个钝角
C. 假设没有一个钝角 D. 假设没有一个钝角和假设至少有两个钝角
4．已知，则（ ）
A. B. C. D.
5．对“是不全相等的正数”，给出下列判断：
① ；② 中至少有一个成立；
③ 不能同时成立，其中判断正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C .2 D. 3
6．已知且，则的值一定（ ）
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正负都有可能
二、填空题
7．用反证法证明“已知，求证：”时的反设为__________，得出的矛盾为_________.
8．已知是不相等的正数，，则的大小关系是_________
9．若且，则的最小值为
10．已知且对恒成立，则的最大值为
三、解答题
11．证明：＜
12．已知a、bR+,求证：求证：
13．设，且，求证：。
14．下列命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．
命题：若，且，则．
能力培养
一、选择题
1．用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是（　　）
Ａ．假设是有理数 Ｂ．假设是有理数
Ｃ．假设或是有理数 Ｄ．假设是有理数
2．设则（ ）
A 都不大于 B ( http: / / wxc. / ) 都不小于
C 至少有一个不大于 D ( http: / / wxc. / ) 至少有一个不小于
3．若偶函数在区间上是减函数，是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（ ）
Ａ．　 Ｂ．
Ｃ．　　 Ｄ．
4．若，则下面四个式子中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．当时，①；②
③，以上3个不等式恒成立的是 .
6．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：
3 5 8 9 15
请将错误的一个改正为 =
三、解答题
7．已知：，求证：
（1）；（2）中至少有一个不小于.
8．已知、、，求证：。
答案与详细解析
基础训练
一、选择题
1．D解析：，.
2．B 解析：本题的证明方式是由条件到结论的推理模式，所以证明的手段为综合法.
3．B提示：正确理解“至多”、“至少”的含义.
4．A解析：， .
5．C提示：其中①②正确.
6．A提示： 为奇函数，增函数，得 ，得大于零.
二、填空题
7．, 解析：由假设得，得：，得，与事实上矛盾.
8． 提示:
9．9解析：，
当且仅当时，取等号．
10．4解析：恒成立，只要小于的最小值即可，而易求得最小值为，∴．
三、解答题
11．证明：要证明＜ 只要证明（）2＜（）2
即证明 从而只要证：，只要证：14＜18
∵14＜18显然成立，∴＜
12．证法1：（分析法）要证成立，只需证成立，成立，即 证。也就是证（a+b）(a2-ab+b2)≥ab(a+b) 成立. 即a2-2ab+b2≥0, 就是证(a-b)2≥0,∵(a-b)2≥0恒成立。∴
证法2：（综合法）
≥∴原不等式成立。
13．证明：假设，而的反面有两种事实，即，因此在证明时，必须证明都不成立。①若，注意到，则，且即且，这与已知矛盾，故假设不成立，
②若，注意到，则，且，即且，这与已知矛盾，故假设不成立。
所以成立.
14．解：此命题是真命题．
由于，且，那么有，，
由于，
要证成立，只要证成立，即证成立，
也就是证明成立，即证成立，
也就是证明成立，
又由于，，那么，
而，且，那么，
所以成立，
故原不等式成立．
能力培养
一、选择题
1．D提示：根据反证法的基本步骤加以判断。
2．D提示:，三者不能都小于
3．C解析：∵偶函数在区间上是减函数，∴在上是增函数，又是锐角三角形的两个内角，∴，∴，∴，
即，∴．选C．
4．B解析：A项可能等于0，B中不等式移项并配方后可以看出显然恒成立，C项不等式可化为，把看成主元，则有，∴原式不恒成立。D中显然不恒成立．选B．
二、填空题
5．①②解析：①；故成立；
②，故成立；
③，则可得，从而，显然是错误的。
6．解析：，所以3和9的对数值正确，若正确，则
从而，即，矛盾。
故15的对数值错误，应改正为
三、解答题
7．（1）证明：∵
∴
所以
（2）假设都小于，则，
即有
∴
由（1）可知，与矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立.
8．证明：∵，、、，∴，
∴，∴。
同理：，
将三式相加得。
∴
。
∴。
备选题：
（1）设是实数，且，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2）已知，用反证法证时的反设为（ ）
A. B. C. 不全是正数 D.
（3）①已知α，β都是锐角，且sin（α+β）=2sinα，求证α<β，用反证法证明时，可假设α≥β；②已知，求证方程的两根的绝对值都小于1，用反证法证明
时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（ ）
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确
（4）已知函数，，，，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（5）已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，则称为上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ）
Ａ． B． C． D．
（6）已知且，，则的大小关系是__________.
（7）已知下列方程，，至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是
（8）已知，求证：.
（9）如果是不全相等的实数，若成等差数列，求证：不成等差数列。
备选题答案：
（1）C解析：是实数，看成关于的方程有实数根，，解得.
（2）C提示：否定部分即为否定，关键是把否定的情况都包含在内.
（3）C 解析：在反证法的证明中，作出与结论相反的假设，即原来结论的补集，所以①的假设正确；②的假设错误.
（4）A解析：∵是单调递减函数，又，∴．选A．
（5）选C解析：可以根据图像直观观察；对于（C）证明如下：欲证，即证，即证，即证，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证；
（6）解析：，（1）当时，函数是增函数，，（2）同理时的.
（7）解析：若方程没有一个有实根，则有。因此三个方程至少有一个方程有实根的实数的取值范围是：．
（8）证明：要证，
只要证.
，故只要证，
即，
从而只要证，
只要证，
即，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.
（9）证明：假设成等差数列，则
由于成等差数列，得①
那么，即②
由①、②得与是不全相等的实数矛盾。
故不成等差数列。