选修1—2推理与证明同步测试题（3）

选修1—2推理与证明同步测试题（3）
一、选择题
1.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线，直线，直线，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误 ( http: / / www. / )
2.在中，，则一定是（ ）
Ａ 锐角三角形 Ｂ 直角三角形 Ｃ 钝角三角形 Ｄ不确定
3.观察式子则可归纳出式子为（ ）
A B ( http: / / www. / )
C D
4.在证明命题“对于任意角，”的过程：“
”中应用了（ ）
A 分析法 B综合法 C分析法和综合法综合使用 D间接证法
5.如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）
A B C D
6.设则（ ）
A都不大于 B都不小于 C 至少有一个不大于 D 至少有一个不小于
7.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（ ）
A 1 B 1+2 C1+2+3 D1+2+3+4
8.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）
A 25 B 66 C 91 D 120
9.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，
，其中，且，下面正确的运算公式是（ ）
①；②；
③；④；
A ①③ B ②④ C ①④ D ①②③④
10.已知是R上的偶函数，对任意的都有成立，若，则（ ）
A 2011 B 2 C 1 D 0
11.（原创）给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）:
①“与圆心距离相等的弦长相等”类比推出“与球心距离相等的两个截面圆的面积相等”；
②“圆的面积为（圆的直径）”类比推出“球的表面积（为球的直径）”；③“若，则” 类比推出“若为非零向量，则”.④“若且，则” 类比推出“向量，则或”其中类比结论正确的个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
12.下列命题，不正确的是（ ）
A B若，则
C D（），不小于零。
二、填空题
13.在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，
则有等式 成立.
14.，
经计算的，
推测当时，有 .
15.已知由不等式启发我们可以得到推广结论:
，则 。
16方程的根，称为的不动点，若有唯一不动点，
且，则 。
三、解答题
17已知 求证：。
18已知的三个内角A、B、C成等差数列， ( http: / / www. / )
求证：。
19设函数中，均为整数，且均为奇数。
求证：无整数根。
20．已知函数．
（1）若，证明函数在上为增函数．
（2）当时，求证：对大于1的正整数,.
21．由下列不等式：，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
22．自然状态下的鱼类是一种再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用表示某鱼群在第年年初的总量，，且
．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．
（1）求与的关系式；
（2）猜测：当且仅当满足什么条件时，每年年初鱼群总量保持不变？（不要求证明）
（3）设，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1.提示：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线，因此大前提错误，故选A。 ( http: / / www. / )
2.提示：即,为钝角三角形，故选C.
3.提示：用代入选项判断，可知选C。
4.提示：上述证明过程从已知逐步推向未知，即执因索果，符合综合法的证明过程，故选B.
5.提示:由可知道C不对，不妨设则，
验证可知选B.
6.提示：，
不能都小于，故选D.
7.提示：当时，，∴左边，故选D.
8.提示：图1有1个正方体；图2有个；图3有个；
第4个叠放的图中，有；
…，∴第7个叠放的图中，有个小正方形，故选C.
9.提示：逐一验证可知①②③④均正确，故选D.
10.提示：∵是R上的偶函数，对任意的都有成立，
∴可令，，，
又，故选B.
11.提示:①②显然正确，∵向量是有方向的量，不满足结合律，∴③错，若，则或或，∴④，故选C.
12.提示：，∴A正确；，，∴B正确；作差比较可知C正确；当，为负整数时，，
，∴D不正确，故选D.
二、填空题 13. ;14. ;15;
16.
13.提示：对等比数列，通过类比，在等比数列中，若，，
则.
14.提示：观察所给式子的右边分别是，
左边，故推测当时，有。
15.提示:，故。
16提示：由得，∵有唯一不动点，，即，是公差为的等差数列，
。
三、解答题
17证明：，
，
即又，。
18证明：要证，需证。
即证，即证，
即证， ( http: / / www. / )
∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。，
由余弦定理得，即。 ( http: / / www. / )
EMBED Equation.3 成立，原命题得证。
19证明：假设有整数根，则，∵ 均为奇数，∴、均为奇数，则为偶数，∴同为奇数，或同时为偶数，为奇数，∴当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数，
为奇数，这与矛盾，无整数根。
20证明：①，，
在上恒成立，所以函数在上为增函数．
②当时，因为函数在上为增函数．
设，则，当时，设则，
，
．
21解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
。
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的,不等式成立．
22解：（1）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，即；
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒成立，
，即，，．
猜想：当且仅当且时，每年年初鱼群的总量保持不变；
（3）若的值使得.
又，则，特别地，有，即，而，所以,由此猜想的最大允许值是．
下证：当，时，都有。
①当时，结论显然成立．
②假设当时，结论成立，即．则当时，．
又，，
故当时，结论成立．由①②可知，对于任意的都有．
综上，为保证对任意的都有，则捕捞强度的最大允许值是1.
备选题
1．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
1提示：Ｃ
2命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是　
A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D以上都不是
2提示：推理形式错误，大前提中“有些有理数是分数”，它表示部分有理数是分数，而在小前提中，整数虽然是有理数，但二者是两个不同的概念，因此推理形式错误，导致结论错误，故选C.
3.对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体各正三角形（ ）
A内的点 B某高线上的点 C中心 D各边重点
4提示：正四面体个面类比正三角形各边，正四面体的内切球类比正三角形的内切圆，则正四面体中心类比正三角形各边中点，故选C.
5在中,则的外接圆半径,将此结论拓展到空间,即三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为,
则其外接球的半径 .
5提示：在空间三条侧棱两两垂直的三棱锥类比,将补全为长方形，则的外接圆半径是以为长、宽的矩形对角线的一半,三条侧棱两两垂直的三棱锥可以补全为一个长方体,类似的这个长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径,则外接球的半径为，故选B.
6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”.乙说:“甲、丙都未获奖”.丙说:“我获奖了”.丁说:“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是
A甲 B 乙 C丙 D丁
6提示:若甲获奖,则没有一句是对的;若乙获奖,则只有丙说错了;若丁获奖,只有乙说错了,这些都与“四位歌手的话只有两句是对的”矛盾, 获奖的歌手是丙。
7已知函数的定义域为，且同时满足：①；②对一切恒成立；③若则，
（2）求的最大值和最小值；（2）与的大小。
7解：设
，
，
则时，，在③中，令，得，
由②得，当时，
（2）在③中，令，得，
，。
8．若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．
8解：当时，，即，。
而是正整数，可取，下面用数学归纳法证明：．
（1）当时，已证；
（2）假设当时，不等式成立，即．
则当时，
有
，，
所以当时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数，都有，
故的最大值等于25。