28.1锐角三角函数课件（49张）

(共49张PPT)
28.1
锐角三角函数(1)
学习目标：
1、理解正弦函数的意义，掌握正弦函数的表示方法。
2、能根据正弦函数的定义计算直角三角形中一个锐角的正弦函数值。
3、通过经历正弦函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。
重点：
对正弦函数定义的理解及根据定义计算锐角的正弦函数值。
难点
正弦函数概念的形成。
问题
:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
A
B
C
分析：
情
境
探
究
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
?
思
考
A
B
C
50m
35m
B
'
C
'
AB'＝2B
'
C
'
＝2×50＝100(m)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:
因此
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比
，你能得出什么结论？
?
思
考
A
B
C
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于
，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于
，也是一个固定值.
一般地，当∠A
取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
结论
问题
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么
与
有什么关系．你能解释一下吗？
探究
A
B
C
A'
B'
C'
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA
即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
正
弦
函
数
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：
（1）在Rt△ABC中，
因此
（2）在Rt△ABC中，
因此
A
B
C
A
B
C
3
4
13
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比
例
题
示
范
5
练一练
1.判断对错:
A
10m
6m
B
C
1)
如图
(1)
sinA=
（
）
(2)sinB=
（
）
(3)sinA=0.6m
（
）
(4)SinB=0.8
（
）
√
√
×
×
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2)如图，sinA=
（
）
×
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小
C.不变
D.不能确定
C
练一练
3.如图
A
C
B
3
7
30°
则
sinA=______
.
1
2
根据下图，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
5
练
习
求sinA就是要确∠A的对边与斜边的比；
求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比
根据下图，求sinA和sinB的值．
A
B
C
1
练
习
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；
求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比；
练
习
如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条线段比求得。
D
C
B
A
解：在Rt△ABC中，
在Rt△BCD中，
因为∠B=∠ACD，所以
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
§28.1
锐角三角函数（2）
探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
A
B
C
邻边b
对边a
斜边c
当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
情
境
探
究
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、
cosA是一个比值（数值）。
3、sinA、
cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
如图：在Rt
△ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是惟一确定的吗？
想一想
比一比
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。
BC
B′C′
A′C′
AC
＝
＝
所以
AC
BC
A′C′
B′C′
＝
即
AC
BC
A′C′
B′C′
＝
问：
有什么关系？
如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，
由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，
所以Rt△ABC
∽
Rt△A′B′C′
如图：在Rt
△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切，记作
tanA。
一个角的正切表示定值、比值、正值。
A
B
C
┌
思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。
例2
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB
=10，BC＝6，求
sinA、cosA、tanA的值．
解：∵
又
A
B
C
6
例
题
示
范
10
变题：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝
，求
sinA、tanA的值．
解：∵
A
B
C
例
题
示
范
设AC=15k，则AB=17k
所以
下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。
试一试：
A
B
C
D
(1)
tanA
=
=
AC
(
)
CD
(
)
(2)
tanB=
=
BC
(
)
CD
(
)
BC
AD
BD
AC
如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
B
C
┌
C
试一试：
例3：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
例
题
示
范
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证：
3.求证：
A
B
C
例4：
如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若
例
题
示
范
那么
(
)
B
变题：
如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若
AB=10，CD=6，求
.
a
O
C
D
B
A
P
小结
如图，Rt△ABC中，
∠C=90度，
因为0＜sinA
＜1,
0＜sinB
＜1,
tan
A＞0,
tan
B＞0
A
B
C
0＜cosA
＜1,
0＜cosB
＜1,
所以，对于任何一个锐角α
，有
0＜sin
α
＜1，
0＜cos
α
＜1，
tan
α
＞0，
1.
分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
练
习
解：由勾股定理
A
B
C
13
12
2.
在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？
A
B
C
解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为
则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c
A
B
C
3.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝
，
求：sinA、cosB的值．
A
B
C
8
解：
4.
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC,
（1）求证：AC=BD；
（2）若
，BC=12，求AD的长。
D
B
C
A
5.
如图，在△ABC中，
∠
C=90度，若∠
ADC=45度，BD=2DC，求tanB及sin∠BAD.
D
A
B
C
=
a
c
sinA=
小结
回顾
在Rt△ABC中
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
=
b
c
cosA=
=
a
b
tanA=
定义中应该注意的几个问题:
回味
无穷
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、
cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、
cosA
、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
§28.1
锐角三角函数（3）
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的邻边
tanA
cosA
∠A的邻边
∠A的对边
斜边
sinA
斜边
斜边
回顾锐角三角函数如图
?
思
考
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
30°
60°
45°
45°
30°
活
动
1
设两条直角边长为a，则斜边长＝
60°
45°
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数
30°
45°
60°
sin
a
cos
a
tan
a
仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律?
例1求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）
解：
（1）
cos260°＋sin260°
＝1
（2）
＝0
例2：操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
1.65米
10米
?
你想知道小明怎样算出的吗？
应用生活
30°
应用新知
　　例3、(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=
,BC=
。求∠A的度数。
(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的
倍,求α.
(1)
(2)
例4
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB于D
，已知∠B=30度，计算
的值。
D
A
B
C
例5
如图，在△ABC中，∠A=30度，
求AB。
A
B
C
D
解：过点C作CD⊥AB于点D
∠A=30度，
求下列各式的值：
（1）1－2
sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
练习
解：
（1）1－2
sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
2.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A、∠B的度数．
B
A
C
解：
由勾股定理
∴
A=30°
∠B
=
90°－
∠
A
=
90°－30°=
60°
拓展与提高
1、已知：α为锐角，且满足
，求α的度数。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
小结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数
30°
45°
60°
sin
a
cos
a
tan
a
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）
对于cosα，角度越大，函数值越小。