2020-2021学年七年级数学苏科版下册第7章《平面图形的认识（二）》培优提升训练（一）（Word版含答案）

苏科版七年级数学下册第7章《平面图形的认识（二）》
培优提升训练（一）
1．如图，线段AB∥CD，点P沿射线AC运动（不与A、C两点重合），连接PB、PC，作PF平分∠BPD，作PE∥AB，设∠ABP＝α，∠PDC＝β．
（1）如图1，当α＜β，探究∠EPF与α、β的数量关系；
（2）当点P位置发生变化时，请你利用提供的图2、3、4继续操作，探究（1）中的问题．
2．完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD
证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝　
　（　
　）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝　
　（　
　）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝　
　
∴EF∥　
　（　
　）
∴AB∥CD（　
　）
3．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
4．如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（　
　）．
∴∠3+　
　＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD（　
　）．
∴∠1＝　
　（　
　）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝　
　（　
　）．
∴∠1＝∠2（　
　）．
5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点
E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
6．如图，在△ABC中，∠B＝31°，∠C＝55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数．
7．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小内角的度数．
8．如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．
（1）求证：∠A＝2∠E；
（2）若∠A＝∠ABC，求证：AB∥CE．
9．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α，∠EMF＝β，且+|β﹣30|＝0．
（1）α＝　
　°，β＝　
　°；直线AB与CD的位置关系是　
　；
（2）如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
10．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
11．如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，则有MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请你在括号内填上依据．
思考过程：
因为BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°
（　
　）
所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
所以　
　（同位角相等，两直线平行）．
所以∠2＝∠CBD
（　
　）
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝∠CBD
（　
　）．
所以　
　（内错角相等，两直线平行），
因为∠BMD+∠ABC＝180°
（　
　），
所以MD∥BC
（　
　）
所以MD∥GF
（　
　）
12．如图，∠A+∠ABC＝180°，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F．
（1）请说明AD∥BC的理由；
（2）若∠ADB＝45°，求∠FEC的度数．
13．如图，已知两条射线BP∥CQ，动线段AD的两个端点A、D分别在射线BP、CQ上，且∠B＝∠ADC＝110°，F在线段AB上，AC平分∠DCF，CE平分∠BCF．
（1）请判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（2）求∠ACE的度数；
（3）若平行移动AD，使∠BEC＝∠CAD，求∠CAD的度数．
14．小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD＝m°，∠ABC＝n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．
15．如图，直线MN∥GH，直线l1分别交直线MN、GH于A、B两点，直线l2分别交直线MN、GH于C、D两点，且直线l1、l2交于点E，点P是直线l2上不同于C、D、E点的动点．
（1）如图①，当点P在线段CE上时，请直写出∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系：　
　；
（2）如图②，当点P在线段DE上时，（1）中的∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关系，并说明理由．
（3）如果点P在直线l2上且在C、D两点外侧运动时，其他条件不变，请直接写出∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系　
　．
参考答案
1．解：（1）如图1，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥CD∥PE，
∴∠BPE＝∠ABP＝α，
∠DPE＝∠PDC＝β，
∵PF平分∠BPD，
∴∠BPF＝∠DPF，
∵∠BPF＝∠BPE+∠EPF＝α+∠EPF，
∠DPF＝∠DPE﹣∠EPF＝β﹣∠EPF，
∴α+∠EPF＝β﹣∠EPF，
∴．
（2）①当α＝β时，如图2，
此时∠EPF＝0°．
②当点P在线段AC上，且α＞β时，如图3，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠BPE＝∠ABP＝α，
∠DPE＝∠PDC＝β，
∵PF平分∠BPD，
∴∠BPF＝∠DPF，
∵∠BPF＝∠BPE﹣∠EPF＝α﹣∠EPF，
∠DPF＝∠DPE+∠EPF＝β+∠EPF，
∴α﹣∠EPF＝β+∠EPF，
∴．
③当点P在点C的下方时，如图4，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠BPE＝∠ABP＝α，
∠DPE＝∠PDC＝β，
∵PF平分∠BPD，
∴∠BPF＝∠DPF，
∵∠BPF＝∠BPE﹣∠EPF＝α﹣∠EPF，
∠DPF＝∠EPF﹣∠DPE＝∠EPF﹣β，
∴α﹣∠EPF＝∠EPF﹣β，
∴．
综上，当点P位置发生变化时，∠EPF与α、β的数量关系或．
2．证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝∠PEF（两直线平行，内错角相等）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝∠QEF
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），
故答案为：∠PEF，两直线平行，内错角相等，90°，∠QEF，内错角相等，两直线平行，CD，平行于同一直线的两直线互相平行．
3．解：
（1）如图1，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD+∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）知∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°得：
2α+β+3α+3α+β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
4．解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD＝180°（等量代换），
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2（角平分线的定义），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换．
5．解：（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝110°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝55°；
（2）∵∠ACB＝80°，∠CBE＝55°，
∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝80°﹣55°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°．
6．解：∵∠B＝31°，∠C＝55°，
∴∠BAC＝94°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝47°，
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝31°+47°＝78°，
∵AD⊥BC，DF⊥AE，
∴∠EFD＝∠ADE＝90°，
∴∠AED+∠EDF＝∠EDF+∠ADF，
∴∠ADF＝∠AED＝78°．
7．解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A＝35°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）∵∠B＝60°，
∴∠A+∠C＝120°，
设最小的角为x，
①当60°＝3x时，x＝20°，
②当x+3x＝120°时，x＝30°，
答：△ABC中最小内角为20°或30°．
8．证明：（1）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知），
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质），
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质），
∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知），
∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质
），
∴∠A＝2∠2﹣2∠1（
等量代换），
＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数），
＝2∠E（等量代换）；
（2）由（1）可知：∠A＝2∠E
∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，
∴2∠E＝2∠ABE，
即∠E＝∠ABE，
∴AB∥CE．
9．（1）证明：∵+|β﹣30|＝0，
∴α＝β＝30，
∴∠PFM＝∠MFN＝30°，∠EMF＝30°，
∴∠EMF＝∠MFN，
∴AB∥CD；
故答案为：30；30；AB∥CD；
（2）解：∠FMN+∠GHF＝180°．
理由：∵AB∥CD，
∴∠MNF＝∠PME，
∵∠MGH＝∠MNF，
∴∠PME＝∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM＝∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM＝180°，
∴∠FMN+∠GHF＝180°．
（3）解：的值不变，＝2．
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．
∵AB∥CD，
∴∠PEM1＝∠PFN，
∵∠PER＝∠PEM1，∠PFQ＝∠PFN，
∴∠PER＝∠PFQ，
∴ER∥FQ，
∴∠FQM1＝∠R，
设∠PER＝∠REB＝x，∠PM1R＝∠RM1B＝y，
则有：，可得∠EPM1＝2∠R，
∴∠EPM1＝2∠FQM1
∴＝2．
10．解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠4，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠5，
∵∠3＝∠B，
∴∠5＝∠B，
∴DE∥BC，
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠5＝∠6，
∵DE∥BC，
∴∠5＝∠B，
∵∠2＝3∠B，
∴∠2+∠5+∠6＝3∠B+∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠2＝108°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝72°．
11．解：因为BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义），
所以∠BDC＝∠EFC（等量代换），
所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
所以∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝∠CBD（等量代换），
所以BC∥GF（内错角相等，两直线平行），
因为∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
所以MD∥GF（同旁内角互补，两直线平行），
所以DM∥BC（平行于同一条直线的两条直线平行）；
故答案为：垂直的定义；BD∥EF；两直线平行，同位角相等；等量代换；BC∥GF；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
12．解：如图所示：
（1）AD∥BC的理由如下：
∵∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
又∵∠ADB＝45°，
∴∠DBC＝45°，
又∵BD⊥CD．EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠DBC＝∠FEC，
∴∠FEC＝45°．
13．解：（1）结论：AD∥BC．
理由：∵BP∥CQ，
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，
∵∠ADC+∠DCB＝110°+70°＝180°，
∴AD∥BC．
（2）∵AC平分∠DCF，CE平分∠BCF，
∴∠ACF＝∠DCF，∠FCE＝∠FCB，
∴∠ACE＝∠ACF+∠FCE＝∠DCF+∠FCB＝∠DCB＝×70°＝35°．
（3）设∠ACD＝x，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE＝35°+x，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝70°﹣x，
则有35°+x＝（70°﹣x），
解得x＝28°，
∴∠CAD＝70°﹣28°＝42°．
14．解：（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD＝50°，
∴∠FAD＝∠ADC＝50°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝50°，
∴∠EDC＝∠ADC＝25°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC＝20°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝25°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝45°．
（3）∠BED的度数改变．
过点E作EG∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝∠FAD＝m°
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝m°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEG＝m°，
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣n°+m°．
15．解：（1）如图①，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ＝∠NAP，
∠BPQ＝∠HBP，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝∠NAP+∠HBP；
（2）如图②，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ+∠NAP＝180°，
∠BPQ+∠HBP＝180°，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝（180°﹣∠NAP）+（180°﹣∠HBP）＝360°﹣（∠NAP+∠HBP）；
（3）如备用图，
∵MN∥GH，
∴∠PFN＝∠HBP，
∵∠PFN＝∠NAP+∠APB，
∴∠HBP＝∠NAP+∠APB．
如备用图，
∵MN∥GH，
∴∠PFB＝∠NAP，
∵∠HBP＝∠PFB+∠APB，
∴∠HBP＝∠NAP+∠APB．
故答案为：∠APB＝∠NAP+∠HBP；∠HBP＝∠NAP+∠APB．