高二数学立体几何试题及答案
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【模拟试题】
一. 选择题（每小题5分，共60分）
1. 给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱。
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 下列四个命题：
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；
②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
③棱锥的所有面可能都是直角三角形；
④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
正确的命题有________个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ）
A. 12 B. 24 C. D.
4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（ ）
A. 8cm B. 12cm C. 13cm D.
5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线，有下面四个命题：
①；②；③；④。
其中正确的两个命题是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
A. B. C. D.
8. 设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）
A. B. C. D.
9. 对于直线m、n和平面能得出的一个条件是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如果直线l、m与平面满足：，那么必有（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ）
A. B. C. 2：3 D. 1：3
12. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. 正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。
14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为，则棱台的高为____________。
15. 正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。
16. 已知是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n，②，③，④。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。
三. 解答题（共74分）
17. （12分）正方体中，E、F、G分别是棱DA、DC、的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。
18. （12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（），求这个旋转体的体积。
21. （12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求
（1）AD应取多长？
（2）容器的容积。
22. （14分）如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，。
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离d；
（3）求三棱锥的体积V。
【试题答案】
一.
1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D
7. B 8. D 9. C 10. A 11. D 12. B
二.
13. 14. 2cm 15. 3ab
16.
三.
17. 证明：过的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、的中点可得GE//，GF//，平面EFG，平面EFG
∴//平面AEG，//平面EFG
又
∴平面EFG//平面
18. 解：如图，设两平行截面半径分别为
依题意，
19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm
由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为
设底面边长为a，则
∴正三棱柱的表面积
20. 解：如图，梯形ABCD，AB//CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。
设
根据题设
所以旋转体体积
21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R、AD=x，则
由题意得
（2）又圆台的高h=
22. 证明：（1）如图，连结AC
∵正四棱柱的底面呈正方形
∴AC⊥BD
又AC⊥
∴AC⊥平面
∵E、F分别为AB、BC的中点
∴EF//AC
∴EF⊥平面
∴平面
解（2）在对角面中，作，垂足为H
∵平面，且平面平面
∴
∴为点到平面的距离
在Rt△中，
（2）
一. 选择题（每小题5分，共60分）
1. 给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱。
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 下列四个命题：
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；
②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
③棱锥的所有面可能都是直角三角形；
④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
正确的命题有________个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ）
A. 12 B. 24 C. D.
4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（ ）
A. 8cm B. 12cm C. 13cm D.
5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线，有下面四个命题：
①；②；③；④。
其中正确的两个命题是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
A. B. C. D.
8. 设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）
A. B. C. D.
9. 对于直线m、n和平面能得出的一个条件是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如果直线l、m与平面满足：，那么必有（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ）
A. B. C. 2：3 D. 1：3
12. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. 正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。
14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为，则棱台的高为____________。
15. 正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。
16. 已知是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n，②，③，④。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。
三. 解答题（共74分）
17. （12分）正方体中，E、F、G分别是棱DA、DC、的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。
18. （12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（），求这个旋转体的体积。
21. （12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求
（1）AD应取多长？
（2）容器的容积。
22. （14分）如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，。
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离d；
（3）求三棱锥的体积V。
【试题答案】
一.
1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D
7. B 8. D 9. C 10. A 11. D 12. B
二.
13. 14. 2cm 15. 3ab
16.
三.
17. 证明：过的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、的中点可得GE//，GF//，平面EFG，平面EFG
∴//平面AEG，//平面EFG
又
∴平面EFG//平面
18. 解：如图，设两平行截面半径分别为
依题意，
19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm
由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为
设底面边长为a，则
∴正三棱柱的表面积
20. 解：如图，梯形ABCD，AB//CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。
设
根据题设
所以旋转体体积
21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R、AD=x，则
由题意得
（2）又圆台的高h=
22. 证明：（1）如图，连结AC
∵正四棱柱的底面呈正方形
∴AC⊥BD
又AC⊥
∴AC⊥平面
∵E、F分别为AB、BC的中点
∴EF//AC
∴EF⊥平面
∴平面
解（2）在对角面中，作，垂足为H
∵平面，且平面平面
∴
∴为点到平面的距离
在Rt△中，
（2）