八年级下册17.1.1勾股定理课件（29张）

17.1.1 勾股定理
八年级下册
掌握勾股定理
01
02
03
了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
会用勾股定理进行简单的计算 .
学习目标
重点：掌握勾股定理。
难点：会用勾股定理进行简单的计算 。
学习重难点
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？
情景思考
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
A
B
C
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
探究
A
B
C
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
探究
问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
探究
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
你还有其他办法求C的面积吗？
方法
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积
B的面积
C的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
方法
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的几个例子，我们猜想：
a
b
c
猜想
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
证明猜想
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
证明猜想
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
证明猜想
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4×12ab+c2
=c2+2ab，
?
证明猜想
b
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
a
a
b
b
c
c
证明猜想
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c为正数
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
勾股定理
a
b
c
举一反三
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
小知识
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
C
A
B
例题
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
在Rt△ABC中， ∠C=90°.
解：
(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52，
解得
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
解得
举一反三
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
归纳
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根据三角形面积公式，
∴12AC×BC=12AB×CD.
∴ CD=125.
?
A
D
B
C
3
4
由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
例题
求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理可得
y2+ 144=169，
解得 y=5
举一反三
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
8 cm
10 cm
36 cm?
课堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
17
5
74或24
课堂练习
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是12×8×15=60(cm2).
?
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
课堂练习
解：∵AE＝BE，
∴S△ABE＝12AE·BE＝12AE2.
又∵AE2＋BE2＝AB2，
∴2AE2＝AB2，
∴S△ABE＝14AB2＝94；
同理可得S△AHC＋S△BCF＝14AC2＋14BC2.
又∵AC2＋BC2＝AB2，
∴阴影部分的面积为12AB2＝94.
?
如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
拓展应用
勾股定理
内容
在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
总结
再 见