3.3垂径定理课件（25张）
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3.3 垂径定理
第三章 圆
复习回顾：
预习检测
1．如图已知⊙O 的半径为 13 ，弦 AB 长为 24，点 O 到 AB 的距离是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
2 ．如图AB 是⊙O 的直径， 弦 CD⊥AB 于点 E ，下列结论正确的是( )
︵ ︵
A．OE＝BE B.BC＝BD
C．△BOC 是等边三角形
D．四边形 ODBC 是菱形
B
B
如图，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？
新课导入
如图，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？
·
O
A
B
D
E
C
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
归纳总结
想一想：下列哪些图形可以用垂径定理？如果不行，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
归纳总结
A
B
O
D
C
例1.如图，若在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
变式一：在右图中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= ____ cm 。
知识运用
16
变式二: 如图3，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E,若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径____cm 。
2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
推论1
⌒
⌒
⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论1
·
O
A
B
C
D
归纳总结
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,你能算出桥拱所在圆的半径吗？
垂径定理的实际应用
三
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴ AD= AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23.
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
归纳总结
1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm B．25cm C．2cm D．1cm.
当堂练习
C
2.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
4
4有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如下图所示,正常水位下水面宽AB=60米,水面到拱顶距离CD=18米,当洪水泛滥,水面宽MN=32米时是否需要采取紧急措施?请说明理由(当水面距拱顶3米以内时需采取紧急措施).
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
拓展提升：
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3cm≤OP≤5cm
B
A
O
P
第三章 圆
复习回顾：
预习检测
1．如图已知⊙O 的半径为 13 ，弦 AB 长为 24，点 O 到 AB 的距离是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
2 ．如图AB 是⊙O 的直径， 弦 CD⊥AB 于点 E ，下列结论正确的是( )
︵ ︵
A．OE＝BE B.BC＝BD
C．△BOC 是等边三角形
D．四边形 ODBC 是菱形
B
B
如图，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？
新课导入
如图，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？
·
O
A
B
D
E
C
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
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⌒
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垂径定理
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O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
归纳总结
想一想：下列哪些图形可以用垂径定理？如果不行，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
归纳总结
A
B
O
D
C
例1.如图，若在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
变式一：在右图中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= ____ cm 。
知识运用
16
变式二: 如图3，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E,若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径____cm 。
2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
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⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
推论1
⌒
⌒
⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论1
·
O
A
B
C
D
归纳总结
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,你能算出桥拱所在圆的半径吗？
垂径定理的实际应用
三
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴ AD= AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23.
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
归纳总结
1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm B．25cm C．2cm D．1cm.
当堂练习
C
2.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
4
4有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如下图所示,正常水位下水面宽AB=60米,水面到拱顶距离CD=18米,当洪水泛滥,水面宽MN=32米时是否需要采取紧急措施?请说明理由(当水面距拱顶3米以内时需采取紧急措施).
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
拓展提升：
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3cm≤OP≤5cm
B
A
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