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专题03：实数（简答题专练）
一、解答题
1．已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根．
2．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求(－a)3＋(b＋3)2的值.
3．一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
4．观察例题：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：
（1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
5．
6．阅读理解．
观察下列变形：
；
；
；
…
解答下列各题：
(1)填空：
________；
________；
________．
(2)请用含n(n为正整数)的等式反映上述变形的规律．
7．解方程
．
8．甲、乙、丙三人的学习小组在上数学练习课．甲写了一个数8，乙又写了一个数27，他们要求丙再写一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的立方根，那么，丙能写出符合条件的数吗？若能写出，能写几个？若不能写出，请说明理由．
9．张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．他不知能否裁得出来，正在发愁．李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
10．适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．
如：借助于计算器可以求得
，
，
，
，
…，
仔细观察上面几道题结果，试猜想的值．
11．已知是二元一次方程组的解，求2m-n的算术平方根．
12．小明和小华做游戏，游戏规则如下：
（1）每人每次抽取四张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数或算式；如果抽到底板带点的卡片，那么减去卡片上的数或算式．
（2）比较两人所抽的4张卡片的计算结果，结果大者为胜者．
请你通过计算判断谁为胜者？
13．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：
(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)
(2)这个图形的目的是为了说明什么?
(3)这种研究和解决问题的方式体现了
的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)
A．数形结合
B．代入
C．换元
D．归纳
14．(1)求下列算式的值：
①
，；
②
，；
③
，；
(2)通过上述计算，试比较
与的大小关系．
15．如果定义一种新的运算为a
b=，试计算．
16．已知a，b是实数，定义关于“△”的一种运算如下：a△b＝（a﹣b）2﹣（a+b）2．
（1）小明通过计算发现a△b＝﹣4ab，请说明它成立的理由．
（2）利用以上信息得x＝
，若x＝3，求（x）4的值．
（3）请判断等式（a△b）△c＝a△（b△c）是否成立？并说明理由．
17．阅读下面文字：
对于
可以如下计算：
原式
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
（1）
（2）
18．把数字如下所示排列起来，从上面开始，依次为第一行、第二行、第三行…….中间的一列从上至下依次为1、5、13、25……则第十个数是什么？
19．已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若M点在此数轴上运动，请求出M点到AB两点距离之和的最小值；
（3）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q能追上点P？
（4）在数轴上找一点N，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N对应的数．（不必说明理由）
20．阅读下列解题过程：
（1）；
（2）；
请回答下列问题：
（1）观察上面解题过程,请直接写出的结果为__________________．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
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专题03：实数（简答题专练）
一、解答题
1．已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根．
【答案】．
【分析】根据可得，即可得到的整数部分是3，小数部分是，即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，则，的小数部分是，则，
∴，
∴9的平方根为．
【点评】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键．
2．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求(－a)3＋(b＋3)2的值.
【答案】－17.
【分析】因为所以的整数部分为：小数部分为代入求解即可.
【解答】
的整数部分为：小数部分为
∴
3．一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
【答案】9
【解析】试题分析：
由“一个正数的两个平方根互为相反数”可列出关于“a”的方程，解方程求得“a”的值，然后再求“x”的值；
试题解析：
解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1=0
解得a=﹣1．
所以x=（﹣a+2）2=（1+2）2=9．
点睛：解这道题的关键是要明白：“平方根的意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数”，再利用“互为相反数的两个数的和为0”可以列出关于“a”方程来求解.
4．观察例题：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：
（1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
【答案】（1）1；（2）±4
【分析】（1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可；
（2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可．
【解答】（1）
即
，
的整数部分为1，小数部分为，的小数部分是，
，
；
（2）
即
的整数部分为1，的小数部分为
，
，
的平方根为：．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键．
5．
【答案】－
【分析】先将二次根式化简，再根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】，
==
=-.
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是二次根式、绝对值等考点的运算．
6．阅读理解．
观察下列变形：
；
；
；
…
解答下列各题：
(1)填空：
________；
________；
________．
(2)请用含n(n为正整数)的等式反映上述变形的规律．
【答案】（1）64，8；529，23；1024，32；（2）
【分析】（1）根据实数的性质即可化简求解；
（2）根据（1）中的式子发现规律即可写出等式．
【解答】解：(1)根据题意得；
＝23；
=32，
故答案为：8，23，32；
(2)根据题意得＝|n＋1|＝n＋1
即．
【点评】此题主要考查实数的性质及规律探索，解题的关键是熟知实数的性质．
7．解方程
．
【答案】（1）x?=
6，x?=2；（2）x=0
【解答】解：（1）
x?=
6，x?=2；
（2）
8．甲、乙、丙三人的学习小组在上数学练习课．甲写了一个数8，乙又写了一个数27，他们要求丙再写一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的立方根，那么，丙能写出符合条件的数吗？若能写出，能写几个？若不能写出，请说明理由．
【答案】能，且能写出三个，6或或
【分析】根据立方根的定义分三种情况讨论．
【解答】能，且能写出三个，6或或．
理由如下：
设丙写的一个数为，
根据题意：
①；
②，解得：；
③，解得：．
【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
9．张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．他不知能否裁得出来，正在发愁．李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【答案】不同意，理由见解析．
【解析】试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x?2x=300，x2=50，解得x=，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于＞20，所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．
试题解析：解：不同意李明的说法．设长方形纸片的长为3x
（x＞0）cm，则宽为2x
cm，依题意得：3x?2x=300，6x2=300，x2=50，∵x＞0，∴x==，∴长方形纸片的长为
cm，∵50＞49，∴＞7，∴＞21，即长方形纸片的长大于20cm，由正方形纸片的面积为400
cm2，可知其边长为20cm，∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．
答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
点睛：本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．也考查了估算无理数的大小．
10．适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．
如：借助于计算器可以求得
，
，
，
，
…，
仔细观察上面几道题结果，试猜想的值．
【答案】5，55，
555，
5555，
【分析】利用计算器依次计算，，，由此即可猜想的值．
【解答】；
=55，=555，=5555
∴猜想=
故答案为：5，55，
555，
5555，
．
【点评】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据所求发现变化规律进行求解．
11．已知是二元一次方程组的解，求2m-n的算术平方根．
【答案】2
【分析】把方程组的解代入，得到含m、n的方程组，解方程组可得m、n的值，再求出2m-n的算术平方根即可.
【解答】∵是二元一次方程组的解,
∴，解得，
∴，
即2m-n的算术平方根为2.
故答案为：2.
【点评】此题考查了解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，正确正确二元一次方程组的解法求解二元一次方程组的解是解题的关键.
12．小明和小华做游戏，游戏规则如下：
（1）每人每次抽取四张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数或算式；如果抽到底板带点的卡片，那么减去卡片上的数或算式．
（2）比较两人所抽的4张卡片的计算结果，结果大者为胜者．
请你通过计算判断谁为胜者？
【答案】（1）；；（2）小华获胜．
【解析】试题分析：（1）列出两人抽取的算式，计算即可；
（2）比较两人结果大小，即可作出判断．
试题解析：（1）小明抽到卡片的计算结果：﹣﹣+=3﹣﹣2+=；
小华抽到卡片的计算结果：﹣3+﹣=2﹣+3﹣=，
（2）∵＜，∴小华获胜．
点睛：此题考查的实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
13．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：
(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)
(2)这个图形的目的是为了说明什么?
(3)这种研究和解决问题的方式体现了
的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)
A．数形结合
B．代入
C．换元
D．归纳
【答案】(1)
OA
=；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.
【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；
（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；
（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．
【解答】解：(1)OB2＝12+12＝2，
∴OB＝，
∴OA＝OB=
(2)数轴上的点和实数是一一对应关系
(3)
这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．
故选A.
【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．
14．(1)求下列算式的值：
①
，；
②
，；
③
，；
(2)通过上述计算，试比较
与的大小关系．
【答案】（1）①，
；②-4，-4；③，；（2）
【分析】（1）掌握解一个数的立方根，即可求解该题，但应注意一个负数的立方根应也为负数；
（2）立方根内的负号可提到立方根外，即可得两个立方根的大小关系．
【解答】解：（1）①，；
②，；
③，，
（2）．
【点评】本题主要考查了解一个数的立方根和比较实数的大小，解题的关键在于掌握立方根的定义，并要注意一个负数的立方根应也为负数．
15．如果定义一种新的运算为a
b=，试计算．
【答案】1
【分析】先令a=，b=，代入计算得=，然后令a=，b=，代入进行计算即可得出答案.
【解答】解：，
所以.
【点评】本题考查了有理数的混合运算中的新运算问题，读懂新运算的定义，将新运算转化为常规运算是解决此题的关键.
16．已知a，b是实数，定义关于“△”的一种运算如下：a△b＝（a﹣b）2﹣（a+b）2．
（1）小明通过计算发现a△b＝﹣4ab，请说明它成立的理由．
（2）利用以上信息得x＝
，若x＝3，求（x）4的值．
（3）请判断等式（a△b）△c＝a△（b△c）是否成立？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）-4，25；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）利用所给公式可得算式（a﹣b）2﹣（a+b）2，然后化简计算即可；
（2）根据（1）中的发现，通过计算可得x△＝﹣4，然后把x+＝3代入＝（x﹣）2﹣（x+）2＝﹣4进行计算即可；
（3）利用（1）所给规律分别进行计算即可．
【解答】（1）a△b＝（a﹣b）2﹣（a+b）2＝a2﹣2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝﹣4ab．
故a△b＝﹣4ab成立；
（2）由题意得，x△＝（x﹣）2﹣（x+）2＝﹣4?x＝﹣4，
∵x+＝3，
∴﹣4＝（x﹣）2﹣（x﹣）2＝（x﹣）2﹣32，
∴（x﹣）2＝5，
∴（x﹣）4＝52＝25，
故答案为：﹣4，25；
（3）（a△b）△c＝a△（b△c）成立，
理由如下：
∵由（1）可知：左边＝（a△b）△c＝（﹣4ab）△c＝﹣4×（﹣4ab）×c＝16abc，
右边＝a△（b△c）＝a△（﹣4bc）＝﹣4a×（﹣4bc）＝16abc，
∴（a△b）△c＝a△（b△c）．
【点评】本题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17．阅读下面文字：
对于
可以如下计算：
原式
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；
（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.
【解答】（1）
（2）原式
【点评】此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.
18．把数字如下所示排列起来，从上面开始，依次为第一行、第二行、第三行…….中间的一列从上至下依次为1、5、13、25……则第十个数是什么？
【答案】181.
【解析】【分析】计算分析可得规律：第n个数，代入可得.
【解答】由于……即第n个数，所以第10个数为181.
【点评】考核知识点：实数运算规律.观察分析规律是难点.
19．已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若M点在此数轴上运动，请求出M点到AB两点距离之和的最小值；
（3）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q能追上点P？
（4）在数轴上找一点N，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N对应的数．（不必说明理由）
【答案】（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）M对应的数为2或﹣2．
【分析】（1）根据题意易得a，b，c的值，然后在数轴上表示出来即可；
（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为AB的长；
（3）用AB的长度除以点Q与点P的速度差即可得解；
（4）分析M点在不同的位置时，所得到的M的值即可.
【解答】（1）∵a是最大的负整数，
∴a=﹣1，
∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，
∴b=3+2=5，
∵c是单项式﹣2xy2的系数，
∴c=﹣2，
如图所示：
（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；
（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，
点Q的速度是每秒2个单位长度，
∴AB=6，两点速度差为：2﹣，
∴6÷（2﹣）=4，
答：运动4秒后，点Q可以追上点P；
（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，
当M在AB之间，则M对应的数是2，
当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣2.
综上所述，M对应的数为2或﹣2．
【点评】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.
20．阅读下列解题过程：
（1）；
（2）；
请回答下列问题：
（1）观察上面解题过程,请直接写出的结果为__________________．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
【答案】（1）；（2）9
【分析】（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；
（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可.
【解答】解：（1）=．
（2）
=-1+-+-+…+-+-
=-1+
=-1+10
=9
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.
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