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专题04：实数（中考真题专练）
一、单选题
1．（2015·河北中考真题）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】C
【解析】试题分析：2．62=6．76；2．72=7．29；2．82=7．84；2．92=8．41．
∵ 7．84＜8＜8．41，∴2．82＜8＜2．92，∴2．8＜＜2．9，
所以应在③段上．
故选C
考点：实数与数轴的关系
2．（2014·四川内江市·中考真题）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
【答案】C
【解答】试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；
当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，
则输出结果为8+5．
故选C．
考点：实数的运算．
3．（2012·山东菏泽市·中考真题）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．±2 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．
【分析】∵是二元一次方程组的解，∴，解得．
∴．即的算术平方根为2．故选C．
4．（2018·辽宁本溪市·中考真题）估计+1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【解析】分析：直接利用2＜＜3，进而得出答案．
详解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选B．
点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
5．（2018·湖北荆门市·中考真题）8的相反数的立方根是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】C
【解析】【分析】根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．
【详解】8的相反数是﹣8，
﹣8的立方根是﹣2，
则8的相反数的立方根是﹣2，
故选C．
【点睛】本题考查了实数的性质，掌握相反数的定义、立方根的概念是解题的关键．
6．（2018·山东省潍坊第八中学中考真题）|1﹣|=（ ）
A．1﹣ B．﹣1 C．1+ D．﹣1﹣
【答案】B
【解析】【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】|1﹣|
=﹣1，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
7．（2018·山东聊城市·中考真题）下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】分析: 分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
详解: =1.1， =-2， 是有理数，
是无理数，
故选C.
点睛：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式.
8．（2018·山东菏泽市·中考真题）规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，向量可以用点的坐标表示为：.已知：，，如果，那么与互相垂直.
下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解答】分析：根据向量垂直的定义一一进行判断即可.
详解：A. 与互相垂直.
B. ,不垂直.
C. ,不垂直.
D. ,不垂直.
故选A.
点睛：考查向量垂直的定义，掌握向量垂直的定义是解题的关键.
二、填空题
9．（2017·北京中考真题）请写出一个比2大且比4小的无理数：________.
【答案】（或）
【分析】利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可
【解答】设无理数为，，所以x的取值在4~16之间都可，故可填
【点评】本题考查估算无理数的大小，能够判断出中间数的取值范围是解题关键
10．（2011·江苏泰州市·中考真题）16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解答】正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根
∵
∴16的平方根为4和-4
∴16的算术平方根为4
11．（2011·安徽芜湖市·中考真题）已知、为两个连续的整数，且，则=________．
【答案】11
【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】∵a＜＜b，a、b为两个连续的整数，
∴，
∴a＝5，b＝6，
∴a＋b＝11.
故答案为11.
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.
12．（2018·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）
【答案】2
【解析】【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．
【详解】将x=2代入得：
3×22﹣10=12﹣10=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（2018·湖北黄冈市·中考真题）化简(-1)0+()-2-+=________________________.
【答案】-1
【解析】分析：直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案．
详解：原式=1+4-3-3
=-1．
故答案为：-1．
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14．（2018·山东滨州市·中考真题）观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为_______．
【答案】
【解析】分析：直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
详解：由题意可得：
+++…+
=+1++1++…+1+
=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=9+
=9．
故答案为9．
点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
15．（2017·河北中考真题）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，因此_________；若，则x=_________．
【答案】 2或-1
【解答】试题分析：因为，所以min{，}=.
当时，，解得(舍)，；
当时，，解得，(舍).
考点：新定义，实数大小的比较，解一元二次方程.
16．（2016·四川宜宾市·中考真题）规定：logab（a>0，a≠1，b>0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：=a，logNM=（n>0，n≠1，N>0，N≠1，M>0）．
例如：log223=3，log25=，则=_________．
【答案】
【解答】===，
故答案为：．
三、解答题
17．（2016·四川巴中市·中考真题）定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况.
【答案】方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根.
【解析】试题分析：根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范围，再由根的判别式得出△=，结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论．
试题解析：∵2☆a的值小于0，∴＜0，解得：a＜0．
在方程中，△=≥﹣8a＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
18．（2018·广西梧州市·中考真题）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0
【答案】3
【分析】按顺序先依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的乘法法则、零指数幂的性质进行计算，然后再按运算顺序进行计算即可．
【解答】﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0
=3﹣32÷8+5﹣1
=3﹣4+5﹣1
=3．
【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握各相关运算的运算法则以及实数混合运算的运算顺序是解题的关键．
19．（2018·四川内江市·中考真题）计算：
【答案】
【分析】原式分别利用算术平方根、绝对值、平方、0次幂以及负整数指数幂分别运算，最后再化简合并即可.
【解答】原式=2﹣+12﹣1×4=+8．
【点评】本题考查了用算术平方根、绝对值、平方、0次幂以及负整数指数幂等知识点，熟练运用这些知识是解此题的关键.
20．（2012·广东汕头市·中考真题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（3）运用变化规律计算
【解答】解：（1）a5=；
（2）an=；
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100
.
21．（2019·山东枣庄市·中考真题）对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：.例如.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）根据新定义型运算法则即可求出答案．
（2）列出方程组即可求出答案
详解：（1）
（2）由题意得 ∴.
点睛：本题考查新定义型运算，解题的关键是正确利用运算法则，本题属于基础题型．
22．（2018·重庆中考真题）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
【答案】（1）是；（2）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．
【解析】【分析】（1）根据“极数”的概念写出即可，设任意一个“极数”为（其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），整理可得由=99(10x+y+1)，由此即可证明；
（2）设m=（其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），由题意则有D（m）=3（10x+y+1），根据1≤x≤9，0≤y≤9，以及D（m）为完全平方数且为3的倍数，可确定出D(m)可取36、81、144、225，然后逐一进行讨论求解即可得.
【详解】（1）如：1188，2475，9900（答案不唯一，符合题意即可）；
猜想任意一个“极数”是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为（其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），
=1000x+100y+10(9-x)+(9-y)
=1000x+100y+90-10x+9-y
=990x+99y+99
=99(10x+y+1)，
∵x、y为整数，则10x+y+1为整数，
∴任意一个“极数”是99点倍数；
（2）设m=（其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），
由题意则有D（m）==3（10x+y+1），
∵1≤x≤9，0≤y≤9，
∴33≤3（10x+y+1）≤300，
又∵D（m）为完全平方数且为3的倍数，
∴D(m)可取36、81、144、225，
①D(m)=36时，3（10x+y+1）=36，
10x+y+1=12，
∴x=1，y=1，m=1188；
②D(m)=81时，3（10x+y+1）=81，
10x+y+1=27，
∴x=2，y=6，m=2673；
③D(m)=144时，3（10x+y+1）=144，
10x+y+1=48，
∴x=4，y=7，m=4752；
④D(m)=225时，3（10x+y+1）=225，
10x+y+1=75，
∴x=7，y=4，m=7425；
综上所述，满足D(m)为完全平方数的m的值为1188，2673，4752，7425.
【点睛】本题考查数值问题，包括：题目翻译，数位设法，数位整除，完全平方数特征，分类讨论等，易错点是容易忽略数值上取值范围及所得关系式自身特征.
23．（2015·重庆中考真题）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
（2） 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
【答案】见解析，能被11整除；y=2x（1≤x≤4）
【解析】【分析】根据“和谐数”的定义写出数字，然后设“和谐数”的形式为abcd，则根据题意得出a=d，b=c，然后将这个四位数除以11，将其化成代数式的形式，用a和b来表示c和d，然后得出答案，进行说明能被11整除；首先设三位“和谐数”为zyx，根据定义得出x=z，然后根据同上的方法进行计算．
【解答】解：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）
任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：
设任意四位“和谐数”形式为：，则满足：
最高位到个位排列：个位到最高位排列：
由题意，可得两组数据相同，则：
则∴ 四位“和谐数”能被11整数
又∵为任意自然数，
∴任意四位“和谐数”都可以被11整除
⑵、设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：个位到最高位排列：
最高位到个位排列：由题意，两组数据相同，则：故
为正整数
∴
考点：新定义题型、代数的应用、一次函数的应用．
24．（2020·江苏镇江市·中考真题）（算一算）
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
（找一找）
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
（画一画）
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（用一用）
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．
【答案】（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．
【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a．
【解答】解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝+1﹣（﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝，
∴N为原点．
故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
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专题04：实数（中考真题专练）
一、单选题
1．（2015·河北中考真题）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
2．（2014·四川内江市·中考真题）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
3．（2012·山东菏泽市·中考真题）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．±2 B． C．2 D．4
4．（2018·辽宁本溪市·中考真题）估计+1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（2018·湖北荆门市·中考真题）8的相反数的立方根是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
6．（2018·山东省潍坊第八中学中考真题）|1﹣|=（ ）
A．1﹣ B．﹣1 C．1+ D．﹣1﹣
7．（2018·山东聊城市·中考真题）下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·山东菏泽市·中考真题）规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，向量可以用点的坐标表示为：.已知：，，如果，那么与互相垂直.
下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
9．（2017·北京中考真题）请写出一个比2大且比4小的无理数：________.
10．（2011·江苏泰州市·中考真题）16的算术平方根是___________．
11．（2011·安徽芜湖市·中考真题）已知、为两个连续的整数，且，则=________．
12．（2018·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）
13．（2018·湖北黄冈市·中考真题）化简(-1)0+()-2-+=________________________.
14．（2018·山东滨州市·中考真题）观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为_______．
15．（2017·河北中考真题）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，因此_________；若，则x=_________．
16．（2016·四川宜宾市·中考真题）规定：logab（a>0，a≠1，b>0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：=a，logNM=（n>0，n≠1，N>0，N≠1，M>0）．
例如：log223=3，log25=，则=_________．
三、解答题
17．（2016·四川巴中市·中考真题）定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况.
18．（2018·广西梧州市·中考真题）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0
19．（2018·四川内江市·中考真题）计算：
20．（2012·广东汕头市·中考真题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
21．（2019·山东枣庄市·中考真题）对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：.例如.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
22．（2018·重庆中考真题）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
23．（2015·重庆中考真题）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
（2） 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
24．（2020·江苏镇江市·中考真题）（算一算）
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
（找一找）
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
（画一画）
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（用一用）
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．
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