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专题11：整式乘法与因式分解（简答题专练）
一、解答题
1．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4
（第一步）
=
y2+8y+16
（第二步）
=（y+4）2
（第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．
2．把分解因式，并求时的值．
3．观察下列各式
（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1
（1）根据以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）
（2）你能否由此归纳出一般规律（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）
（3）根据以上规律求32018+32017+32016+32+3+1的值
4．先分解因式，再求值：，其中．
5．已知，且，都是正整数，试求，的值．
6．已知某一实数的平方根是和，求的值.
7．先分解因式，再求值：，其中，．
8．阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．
（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．
（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．
9．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子.
(1)图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来；
(2)图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积.
10．已知a－b＝5，ab＝，求a2＋b2和(a＋b)2的值．
11．分解因式
12．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
13．我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如|x－2|＋(y＋3)2＝0，因为|x－2|，(y＋3)2都是非负数，则x－2＝0，y＋3＝0，即可求x＝2，y＝－3，应用知识解决下列各题：
(1)若(x＋4)2＋(y－3)2＝0，求x，y的值．
(2)若x2+y2-2x+4y=-5，求．
(2)若2x2＋3y2＋8x－6y＝－11，求(x＋y)2020的值．
14．当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解．
15．已知:a+b=3,ab=2,求的值.
16．因式分解：
17．
18．（1）已知4
m=a，8n=b，用含a、b的式子表示下列代数式：
①求：22
m+3n的值；
②求：24
m－6n的值；
（2）已知2×8x×16=226，求x的值．
19．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题:
因式分解:
．
填空:
①当时，代数式_
．
②当_
时，代数式．
③代数式的最小值是_
．
拓展与应用:求代数式的最小值．
20．若是完全平方式，则的值为多少？
21．观察下列各式:
······
根据规律
(其中为正整数)
;
计算：
22．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的个数，恰好对应着展开式中的各项系数，第四行的个数，恰好对应着展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
（1）写出的展开式；
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
23．已知，，，
（1）猜想，当n为正整数时，；
（2）判断的个位数字．
24．设，，，求：（1）abc的值．（2）的值．
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专题11：整式乘法与因式分解（简答题专练）
一、解答题
1．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4
（第一步）
=
y2+8y+16
（第二步）
=（y+4）2
（第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2)4
；（3）
(x-1)4
【分析】（1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式；
（2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解；
（3）类比例题中的方法将原式分解即可．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故选：C；
（2）∵x2－4x+4=（x-2)2
，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4
，
故答案为：不彻底，（x-2)4
；
（3）设x2－2x=y，则:
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(
x2－2x+1)2
=(x﹣1)4．
【点评】本题考查利用换元法和公式法进行因式分解，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的各种方法是解答的关键．
2．把分解因式，并求时的值．
【答案】，16．
【分析】先利用两次完全平方公式进行因式分解，再将t的值代入，计算有理数的乘方运算即可得．
【解答】原式，
，
，
当时，原式．
【点评】本题考查了利用公式法进行因式分解、有理数的乘方运算，熟记完全平方公式是解题关键．
3．观察下列各式
（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1
（1）根据以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）
（2）你能否由此归纳出一般规律（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）
（3）根据以上规律求32018+32017+32016+32+3+1的值
【答案】（1）x7﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）．
【分析】（1）仿照已知等式求出所求原式的值即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值．
【解答】（1）根据题中规律得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
（2）总结题中规律得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
（3）原式＝×（3﹣1）×（32018+32017+…+32+3+1）＝．
【点评】此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4．先分解因式，再求值：，其中．
【答案】，48
【分析】先将原式变形，再提取公因式，整理即可．
【解答】解：
；
当时，原式
．
【点评】本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键．
5．已知，且，都是正整数，试求，的值．
【答案】x=3，y=2．
【分析】运用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，再根据，的值均是正整数进行讨论即可得出答案．
【解答】∵，且，都是正整数
∴是正整数，是整数，
又∵，7是正整数，
∴，均是正整数，
又∵7=7×1，
∴或，
解得，
解得（不符合题意，舍去）
所以x=3，y=2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法分解因式并确定出关于x、y的方程组是解题的关键．
6．已知某一实数的平方根是和，求的值.
【答案】37
【分析】利用一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数及平方根和绝对值的非负性确定a,b的值，从而代入求值.
【解答】和是同一实数的平方根（互为相反数），
又∵
，，
解得，，
.
【点评】此题考查平方根的意义及整数指数幂的计算，掌握一个正数有两个平方根且它们互为相反数是解题关键.
7．先分解因式，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】先利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，再将a、b的值代入求值即可得．
【解答】原式，
，
，
当，时，原式，
，
．
【点评】本题考查了利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
8．阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．
（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．
（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．
【答案】（1）x2+6x+15=（x+3）2+6，m=3，k=6；（2）b﹣a=﹣5．
【解析】试题分析：
（1）将代数式配方即可；
（2）先将代数式配方，并把配方后的式子和代数式对比即可得到的值，再代入中计算即可.
试题解析：
（1）∵
x2+6x+15=x2+6x+32+6=（x+3）2+6，
∴m=3．k=6；
（2）∵x2﹣6x+a=x2﹣6x+9﹣9+a=（x﹣3）2+a﹣9=（x﹣b）2﹣1，
∴b=3，a﹣9=﹣1，即a=8，b=3，
∴b﹣a=﹣5．
9．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子.
(1)图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来；
(2)图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积.
【答案】（1）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）20
【解析】试题分析：（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是大正方形的面积，可得等式；（2）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解．
试题解析：（1）；
（2）
考点：因式分解的应用
10．已知a－b＝5，ab＝，求a2＋b2和(a＋b)2的值．
【答案】a2＋b2＝28，(a＋b)2＝31
【分析】用完全平方公式变形解答即可．
【解答】解：，∴=25+3=28，
=28+3=31．
11．分解因式
【答案】(a+b)2(a-b)2
【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.
【解答】(a2+b2)
2-4a2
b2
=[(a2+b2)+2ab][(a2+b2)-2ab]
=(a+b)2(a-b)2.
【点评】本题考查了综合利用平方差公式与完全平方公式因式分解，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.
12．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
【答案】（1）；（2）有最大值，最大值为32.
【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【解答】解：（1）∵，由，
得
；
∴代数式的最小值是；
（2），
∵，
∴，
∴代数式有最大值，最大值为32.
【点评】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
13．我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如|x－2|＋(y＋3)2＝0，因为|x－2|，(y＋3)2都是非负数，则x－2＝0，y＋3＝0，即可求x＝2，y＝－3，应用知识解决下列各题：
(1)若(x＋4)2＋(y－3)2＝0，求x，y的值．
(2)若x2+y2-2x+4y=-5，求．
(2)若2x2＋3y2＋8x－6y＝－11，求(x＋y)2020的值．
【答案】（1）x=-4，y=3；（2）1；（3）1
【分析】（1）根据非负数的性质可求x，y的值．
（2）先配方，再根据非负数的性质可求x，y的值，再代入计算即可求解．
（3）先配方，再根据非负数的性质可求x，y的值，再代入计算即可求解．
【解答】解：（1）∵(x＋4)2＋(y－3)2＝0，
∴x+4=0，y-3=0，
∴x=-4，y=3；
（2）∵x2+y2-2x+4y=-5，
∴x2-2x+1+y2+4y+4=0，
∴（x-1）2+（y+2）2=0，
∴x-1=0，y+2=0，
∴x=1，y=-2，
∴xy=1；
（3）∵2x2＋3y2＋8x－6y＝－11，
∴2x2＋8x＋8＋3y2－6y＋3＝0，
∴2（x+2）2+3（y-1）2=0，
则x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
∴(x＋y)2020=（-1）2020=1．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，熟悉完全平方公式是解题的关键，要注意，在变形的过程中不要改变式子的值．
14．当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解．
【答案】，．
【分析】先将x的值代入，解关于k的一元一次方程求出k的值，再综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解即可得．
【解答】当时，多项式的值为0，
即，
解得；
则原多项式为，
因式分解得：原式，
，
，
．
【点评】本题考查了综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解，解一元一次方程，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．
15．已知:a+b=3,ab=2,求的值.
【答案】5.
【解析】试题分析：把a+b=3两边平方，再利用完全平方公式展开，再把ab=2代入进行计算即可得解．
试题解析：∵a+b=3，
∴（a+b）2=9，
即a2+2ab+b2=9，
∵ab=2，
∴a2+b2=9-2ab=9-2×2=5．
16．因式分解：
【答案】
【分析】先利用完全平方公式进行分解，然后再利用平方差公式进行分解即可．
【解答】
=
=
=．
【点评】本题考查了利用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式的结构特征是解题的关键．
17．
【答案】
【分析】原式看成分子为1的分数，分子和分母同时乘以，再利用平方差公式依次计算即可．
【解答】解：原式
【点评】本题考查利用平方差公式计算．能将原式变形，凑成平方差公式是解题关键．
18．（1）已知4
m=a，8n=b，用含a、b的式子表示下列代数式：
①求：22
m+3n的值；
②求：24
m－6n的值；
（2）已知2×8x×16=226，求x的值．
【答案】（1）①，②；（2）
【分析】（1）①根据同底数幂的乘法运算的逆运算和幂的乘方运算的逆运算进行计算；
②根据同底数幂的除法运算的逆运算和幂的乘方运算的逆运算进行计算；
（2）将式子左边的数都写成以2为底的幂，再用同底数幂的乘法进行计算，和右边的数比较，列式求出x的值．
【解答】解：（1）①；
②；
（2），
得，解得．
【点评】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘除法的逆运算和幂的乘方运算的逆运算的运算法则．
19．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题:
因式分解:
．
填空:
①当时，代数式_
．
②当_
时，代数式．
③代数式的最小值是_
．
拓展与应用:求代数式的最小值．
【答案】(1)；(2)
①，②3，③4；(3)3
【分析】（1）符合完全平方公式，用公式进行因式分解即可；
（2）①先将代数式进行因式分解，再代入求值；
②将代数式因式分解成完全平方的形式，观察得出结果；
③先将代数式因式分解为完全平方公式，根据一个数的平方为非负来求解最小值；
（3）先将代数式因式分解为关于a、b的2个完全平方公式，再求最小值
【解答】（1）根据完全平方公式：；
（2）①，将代入得，结果为：0；
②，化简得：，故x=3；
③
∵为非负，∴当，即x=－4时，有最小值
∴最小值为：4
（3）
根据上一问结论可知，当a=3，b=－4时有最小值，最小值为：3
【点评】在求解最小值和最大值的问题中，我们通常会将式子变形成完全平方的形式，另平方部分为0即可
20．若是完全平方式，则的值为多少？
【答案】.
【分析】首先把分类整理为，再进一步利用多项式乘法计算展开，把看作整体，在配方成完全平方式，进一步探讨即可得出答案．
【解答】
∴，
即.
【点评】此题考查完全平方式的运用，注意常数项是一次项系数一半的平方．
21．观察下列各式:
······
根据规律
(其中为正整数)
;
计算：
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；
（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；
（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.
【解答】（1）根据上述规律可得，故填：；
（2）由（1）可知=
=
=
=
【点评】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.
22．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的个数，恰好对应着展开式中的各项系数，第四行的个数，恰好对应着展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
（1）写出的展开式；
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.
【解答】（1），
（2）方法一：
=
方法二：
=
=
=
.
【点评】解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.
23．已知，，，
（1）猜想，当n为正整数时，；
（2）判断的个位数字．
【答案】（1）；（2）5．
【分析】（1）观察当
时，均满足，代入
也满足，即猜想成立；
（2）根据猜想得出的规律化简整式，个位数相减的绝对值即是原式的个位数字．
【解答】（1）当
，
当
，
故提出猜想，当n为正整数时，．
将
代入原式中
∴猜想成立，当n为正整数时，．
（2）
∵
，
，
，，35=241，……，个位数按照3,9,7,1依次循环
∴的个位数字是1
∵
，
，
，，25=32，……，个位数按照2,4,8,6依次循环
∴的个位数字是6
∴个位数字
∴原式的个位数字是5．
【点评】本题考查了猜想归纳能力以及整式的运算，利用猜想的规律化简整式是解题的关键．
24．设，，，求：（1）abc的值．（2）的值．
【答案】（1）6；（2）98
【分析】（1）根据求出的值，再化简计算求出abc的值．
（2）根据求出的值，再化简计算从而得出的值．
【解答】（1）
将，代入原式中
原式
解得：．
将，，，代入原式
．
（2）
∴
．
【点评】本题考查了等式的运算问题，难点在于如何根据已知条件列出符合题意的整式，从而代入化简求得目标整式的值．
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