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专题12：整式乘法与因式分解（中考真题专练）
一、单选题
1．（2020·青海中考真题）下面是某同学在一次测试中的计算：
①；②；③；④，其中运算正确的个数为（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．（2020·四川乐山市·中考真题）已知，．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江衢州市·中考真题）计算（a2）3，正确结果是（
）
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
4．（2019·四川泸州市·中考真题）把分解因式，结果正确的是( )
A．
B．
C．
D．
5．（2019·湖南岳阳市·中考真题）下列运算结果正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
6．（2019·黑龙江绥化市·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2019·山东德州市·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2019·安徽中考真题）已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（
）
A．b>0，b2-ac≤0
B．b＜0，b2-ac≤0
C．b>0，b2-ac≥0
D．b＜0，b2-ac≥0
9．（2011·湖北鄂州市·中考真题）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（
）
A．(a＋1)(a－1)＝a2－1
B．a2－6a＋9＝(a－3)2
C．x2＋2x＋1＝x(x＋2x)＋1
D．－18x4y3＝－6x2y2·3x2y
10．（2011·安徽芜湖市·中考真题）如图，从边长为()cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．（2013·广东珠海市·中考真题）若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝_____．
12．（2019·湖北咸宁市·中考真题）若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是_____（写一个即可）．
13．（2019·广西桂林市·中考真题）若，则_____．
14．（2019·湖南常德市·中考真题）若，则的值为_____．
15．（2019·湖南怀化市·中考真题）因式分解：_____．
16．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）因式分解：__________．
17．（2014·青海西宁市·中考真题）长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
18．（2019·江苏扬州市·中考真题）计算：的结果是_____.
三、解答题
19．（2019·吉林长春市·中考真题）先化简，再求值：，其中．
20．（2018·黑龙江大庆市·中考真题）已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
21．（2015·广东茂名市·中考真题）设，若代数式化简的结果为，请你求出满足条件的a值．
22．（2015·北京中考真题）已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．
23．（2013·浙江金华市·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
24．（2013·北京中考真题）已知，求代数式的值．
25．（2014·浙江杭州市·中考真题）设，是否存在实数，使得代数式能化简为？若能，请求出所有满足条件的值，若不能，请说明理由.
26．（2015·四川内江市·中考真题）（1）填空：=
；
=
；
=
．
（2）猜想：=
（其中n为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
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专题12：整式乘法与因式分解（中考真题专练）
一、单选题
1．（2020·青海中考真题）下面是某同学在一次测试中的计算：
①；②；③；④，其中运算正确的个数为（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】D
【分析】根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可．
【解答】与不是同类项，不可合并，则①错误
，则②错误
，则③错误
，则④正确
综上，运算正确的个数为1个
故选：D．
【点评】本题考查了整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键．
2．（2020·四川乐山市·中考真题）已知，．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答．
【解答】∵，
依题意得：，．
∴，
∴，
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．
3．（2020·浙江衢州市·中考真题）计算（a2）3，正确结果是（
）
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
【答案】B
【解析】由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a2×3=a6．
故选B．
4．（2019·四川泸州市·中考真题）把分解因式，结果正确的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.
【解答】
=
=，
故选C．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：一提(公因式)，二套(公式)，三彻底.
5．（2019·湖南岳阳市·中考真题）下列运算结果正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得.
【解答】A、3x﹣2x＝x，故A选项错误；
B、x3÷x2＝x，正确；
C、x3?x2＝x5，故C选项错误；
D、x2+2xy+y2＝(x+y)2，故D选项错误，
故选B.
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.
6．（2019·黑龙江绥化市·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误.
【解答】A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、不能分解，故C选项错误；
D、，正确，
故选D.
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键.
7．（2019·山东德州市·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
【解答】，故选项A不合题意；
，故选项B不合题意；
，故选项C不合题意；
，故选项D符合题意．
故选D．
【点评】此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
8．（2019·安徽中考真题）已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（
）
A．b>0，b2-ac≤0
B．b＜0，b2-ac≤0
C．b>0，b2-ac≥0
D．b＜0，b2-ac≥0
【答案】D
【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.
【解答】解：∵a-2b+c=0，
∴a+c=2b，
∴a+2b+c=4b＜0，
∴b＜0，
∴a2+2ac+c2=4b2，即
∴b2-ac=，
故选D.
【点评】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
9．（2011·湖北鄂州市·中考真题）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（
）
A．(a＋1)(a－1)＝a2－1
B．a2－6a＋9＝(a－3)2
C．x2＋2x＋1＝x(x＋2x)＋1
D．－18x4y3＝－6x2y2·3x2y
【答案】B
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、是因式分解，正确．
C、右边不是积的形式，错误；
D、左边是单项式，不是因式分解，错误．
故选B．
【点评】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．
10．（2011·安徽芜湖市·中考真题）如图，从边长为()cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
【解答】矩形的面积为：
（a+4）2-（a+1）2
=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）
=a2+8a+16-a2-2a-1
=6a+15．
故选D．
二、填空题
11．（2013·广东珠海市·中考真题）若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝_____．
【答案】5
【解析】【分析】根据a2+b2=（a+b）2-2ab，代入计算即可．
【解答】∵a+b＝3，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．
12．（2019·湖北咸宁市·中考真题）若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是_____（写一个即可）．
【答案】-1
【解析】【分析】令，使其能利用平方差公式分解即可．
【解答】令，整式为
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13．（2019·广西桂林市·中考真题）若，则_____．
【答案】-4
【分析】直接利用完全平方公式得出a的值．
【解答】解：∵，
∴
故答案为
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．（2019·湖南常德市·中考真题）若，则的值为_____．
【答案】4
【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【解答】∵，
∴；
故答案为4．
【点评】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
15．（2019·湖南怀化市·中考真题）因式分解：_____．
【答案】
【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．
【解答】．
故答案为．
【点评】此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．
16．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：原式，
故答案为
【点评】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.
17．（2014·青海西宁市·中考真题）长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
【答案】70．
【分析】由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab（a+b），代入可求得答案
【解答】∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，
∴a+b==7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70，
故答案为70．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab（a+b）是解题的关键．
18．（2019·江苏扬州市·中考真题）计算：的结果是_____.
【答案】
【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.
【解答】
=
=
=(5-4)2018×
=+2，
故答案为+2.
【点评】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
三、解答题
19．（2019·吉林长春市·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】2
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
，
当时，原式．
【点评】考核知识点：整式化简取值.掌握整式乘法公式是关键.
20．（2018·黑龙江大庆市·中考真题）已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
【答案】2x2﹣2xy=28．
【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．
【解答】∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
【点评】本题考查了因式分解的应用，代数值求值，二元一次方程组的特殊解法等，求出x-y=4是解本题的关键.
21．（2015·广东茂名市·中考真题）设，若代数式化简的结果为，请你求出满足条件的a值．
【答案】a=﹣2或0．
【解析】试题分析：因式分解得到原式=，再把当代入得到原式=，所以当满足条件，然后解关于a的方程即可．
试题解析：原式=，
当时，代入原式得，即，解得：a=﹣2或0．
考点：1．整式的混合运算；2．平方根．
22．（2015·北京中考真题）已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．
【答案】7
【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．
【解答】解：
=
=
∵
∴
∴原式=7．
【点评】本题考查整式的化简求值．
23．（2013·浙江金华市·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【答案】解：（1）.
（2）.
【解答】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，?
∴．?
S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；?
（2）根据题意得：?
（a+b）（a-b）=
．
24．（2013·北京中考真题）已知，求代数式的值．
【答案】12
【解析】解：∵，∴．
∴．
将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将整体代入求值．
25．（2014·浙江杭州市·中考真题）设，是否存在实数，使得代数式能化简为？若能，请求出所有满足条件的值，若不能，请说明理由.
【答案】能，或.
【解析】试题分析：化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k的方程求解即可.
试题解析：∵，
∴
.
∴要使代数式，只要.
∴，解得或.
考点：1.代数式的化简；2.代数式恒等的条件；3.解高次方程.
26．（2015·四川内江市·中考真题）（1）填空：=
；
=
；
=
．
（2）猜想：=
（其中n为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
【答案】（1）
，，；（2）
；（3）342．
【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．
试题解析：（1）=；
=；
=；
故答案为，，；
（2）由（1）的规律可得：原式=，故答案为；
（3）令，
∴
==，∴S=342．
考点：1．平方差公式；2．规律型．
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