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专题15：分式（简答题专练）
一、解答题
1．计算：．
2．已知关于x的分式方程，
(1)若方程的增根为x=1，求m的值
(2)若方程有增根，求m的值
(3)若方程无解，求m的值．
3．已知关于x的方程有增根，求m的值．
4．先化简，再求的值，其中．
5．在学习第9章第1节“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义”
小明的做法是：先化简，要使有意义，必须x﹣2≠0，即x≠2；
小丽的做法是：要使有意义，只须x2﹣4≠0，即x2≠4，所以x1≠﹣2，x2≠2．
如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见．
6．若关于x的方程无解，求a的值?
7．已知A=xy-x2，B=，C=，若A÷B=C×D，求代数式D．
8．
9．已知，求A、B的值.
10．先化简，再求值：，其中a=-1
11．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a为不等式组的正整数解．
12．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？
13．关于x的分式方程的解是正数，求的取值范围.
14．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2015年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
(1)实际每年绿化面积为多少万平方米？
(2)为加大创建力度，市政府决定从2018年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
15．先化简：，然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
16．先化简，再求值：，其中．
17．先化简：﹣÷，并在x＝﹣3，﹣1，0，1中选一个合适的值代入求值．
18．先化简，再求值：，其中．
19．若a＞0，M=，N=．
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
20．先化简，再求值．
，其中x的值从不等式组
的整数解中选取．
21．先约分，再求值：
其中.
22．
23．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是
(填序号)
(2)已知．
①若，求对称式的值
②若，求对称式的最大值
24．已知实数、、满足，求的值.
25．已知、、为实数，且满足下式：
①；
②.
求的值.
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精品试卷·第
2
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（共
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专题15：分式（简答题专练）
一、解答题
1．计算：．
【答案】
【分析】本题应该先将两个分式的分子与分母通分后，再按同分母分式进行加减，最后化简即可.
【解答】原式
.
【点评】本题考查分式的混合运算，要求学生能够灵活运用各运算法则.
2．已知关于x的分式方程，
(1)若方程的增根为x=1，求m的值
(2)若方程有增根，求m的值
(3)若方程无解，求m的值．
【答案】（1）m=-6;(2)
当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）m的值为﹣1或﹣6或1.5
【解析】试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；
（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；
（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得；
（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.
试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得
2（x+2）+mx=x-1，
整理得（m+1）x=﹣5，
（1）∵x=1是分式方程的增根，
∴1+m=﹣5，
解得：m=﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣2或x=1，
当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；
（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键.
3．已知关于x的方程有增根，求m的值．
【答案】m＝－3或5时．
【分析】根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x（x－1）＝0，所以增根是x＝0或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x(x－1)，
得3(x－1)＋6x＝x＋m，
∵原方程有增根，∴最简公分母x(x－1)＝0，
解得x＝0或1，当x＝0时，m＝－3；当x＝1时，m＝5.
故当m＝－3或5时，原方程有增根．
【点评】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
4．先化简，再求的值，其中．
【答案】，
【分析】原式先根据分式的乘除运算法则化简，再把x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：原式=
=
=．
当时，原式=．
【点评】本题考查了分式的乘除与代数式求值，属于常考题型，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
5．在学习第9章第1节“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义”
小明的做法是：先化简，要使有意义，必须x﹣2≠0，即x≠2；
小丽的做法是：要使有意义，只须x2﹣4≠0，即x2≠4，所以x1≠﹣2，x2≠2．
如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见．
【答案】小丽的做法正确．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0解答即可.
【解答】因为当分母不为0时，分式有意义．
小明的做法错误在于他先把分式约分，
使原来的分式中字母x的取值范围扩大了．
小丽的做法正确．
【点评】本题考查了分式有意义的条件：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
6．若关于x的方程无解，求a的值?
【答案】或或．
【分析】方程可化为方程，利用方程无解，求a的值．
【解答】解：方程
可化为方程，
∴?1?2x=ax+2，把1代入可得a=?5,2代入可得a=，此时方程无解；
又a=?2时方程无解，
∴a=?5或，或?2，
【点评】本题考查分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的化简.
7．已知A=xy-x2，B=，C=，若A÷B=C×D，求代数式D．
【答案】D=-y.
【分析】根据所给出的条件A÷B=C×D列出式子，经过运算即可求出D的值．
【解答】A=xy-x2=x(y-x)，B=，C=
∵A÷B=C×D，
∴x(y-x)÷×D.
∴D=x(y-x)××=-y.
∴D=-y.
【点评】本题综合地考查了化简分式以及分式的乘除法运算的知识，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，找出分子分母中能约分的公因式，然后进行约分．
8．
【答案】
【分析】先将前两个分式通分相加，然后依次计算即可得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了异分母的分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．已知，求A、B的值.
【答案】A=，
B=
【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值.
【解答】解：∵
,
又∵，
∴，
∴
，
解得.
∴A=，
B=.
【点评】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.
10．先化简，再求值：，其中a=-1
【答案】；
【分析】先把每个分式的分子、分母分解因式，然后约分化简，代入数值计算即可．
【解答】解：原式
=
=
当时，=
=
11．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a为不等式组的正整数解．
【答案】，1
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简，进而解不等式组计算得出答案
【解答】解：原式，
∵
解①得：，
解②得：，
解得：1≤x≤2，
∴不等式组的正整数解为1,2，
∵时，分式无意义，因此，，
当a＝1时，原式＝1．
【点评】本题考查的知识点是分式的化简求值，解此题的关键是根据不等式组求出a的值．
12．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？
【答案】（1）商场两次共购进这种运动服600套；（2）每套运动服的售价至少是200元
【分析】（1）设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进2x套，然后根据题意列分式解答即可；
（2）设每套售价是y元，然后根据“售价-两次总进价≥成本×利润率”列不等式并求解即可．
【解答】解：（1）设商场第一次购进套运动服，由题意得
解这个方程，得
经检验，是所列方程的根
；
答：商场两次共购进这种运动服600套；
（2）设每套运动服的售价为元，由题意得
，
解这个不等式，得．
答：每套运动服的售价至少是200元．
【点评】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，弄清题意、确定量之间的关系、列出分式方程和不等式是解答本题的关键．
13．关于x的分式方程的解是正数，求的取值范围.
【答案】a<2且a≠-4
【分析】先求得方程的解,再解,求出a的取值范围.
【解答】解方程得,
,
方程的解为正数,
,且x≠2，
即且且解得a＜2且a≠－4,
故选答案为
a＜2且a≠－4.
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0.
14．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2015年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
(1)实际每年绿化面积为多少万平方米？
(2)为加大创建力度，市政府决定从2018年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【答案】（1）实际每年绿化面积为54万平方米；（2）实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．
【分析】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程；（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式．
【解答】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得
解得：x=33.75，
经检验x=33.75是原分式方程的解，
则1.6x=1.6×33.75=54（万平方米）．
答：实际每年绿化面积为54万平方米；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得
54×3+2（54+a）≥360
解得：a≥45．
答：则至少每年平均增加45万平方米．
15．先化简：，然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】
，0
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将x=0代入计算即可求出值．
【解答】解：
=
=
=，
满足﹣2≤x≤2的整数有：﹣2、﹣1、0、1、2，
但x=﹣1、0、1时，原式无意义，
∴x=﹣2或2，
∴当x=2时，原式==0．
【点评】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
16．先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，再把已知数据代入求出答案即可.
【解答】
．
当时，原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题的关键.
17．先化简：﹣÷，并在x＝﹣3，﹣1，0，1中选一个合适的值代入求值．
【答案】，2
【分析】先根据分式的混合运算化简原式，再代入使原分式有意义的值进行计算．
【解答】解：原式＝
∵x＝﹣3或±1时，原式无意义，
∴取x＝0时，原式＝2．
【点评】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把x的值代入进行计算即可得.
【解答】，
，
，
，
，
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
19．若a＞0，M=，N=．
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）M＝，N＝；（2）M＜N；证明见解析.
【分析】（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
【解答】（1）当a=3时，M，N；
（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：
M﹣N．
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴，∴M﹣N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N．理由如下：
．
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴，∴，∴M＜N．
【点评】本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键．
20．先化简，再求值．
，其中x的值从不等式组
的整数解中选取．
【答案】，当
x=2
时，原式=1
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的整数解，代入计算即可求出值．
【解答】解：
不等式组，解得：，
即，0，1，2，
当，0，1时，原方程没有意义，
则时，原方程=．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．先约分，再求值：
其中.
【答案】
【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案．
【解答】解：原式=
=
=
当时
原式==．
【点评】本题考查了分式的约分，解题的关键是熟练进行分式的约分，本题属于基础题型．
22．
【答案】
【分析】先将分母变为同分母，然后利用分式加减法法则进行计算即可．
【解答】原式=
=
=
=
=．
【点评】本题考查了分式加减混合运算，熟练掌握分式加减法的法则是解题的关键．
23．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是
(填序号)
(2)已知．
①若，求对称式的值
②若，求对称式的最大值
【答案】（1）①③④；（2）①12，②-2．
【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，
（2）已知．则，，
①，，利用整式变形可求出的值；
②时，即，由可以求出的最大值；
【解答】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”，
故答案为：①③④，
（2）①．
，，
①当，时，即，，
，
②当时，即
，
所以当m=0时，有最大值-2，
故代数式的最大值为．
【点评】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键．
24．已知实数、、满足，求的值.
【答案】0
【分析】先对变形得到，，，然后再对所求式子变形并整体代入，最后化简即可.
【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
，
，
，
，
，
.
【点评】本题考查了分式的变形及化简能力，熟练掌握运算法则并灵活变形是解题关键.
25．已知、、为实数，且满足下式：
①；
②.
求的值.
【答案】0、1、.
【分析】先对②式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论每个式子等于0的情况，最后可求出a＋b＋c的所有值．
【解答】将②式因式分解变形如下：
，
即，
所以，
即.
所以或，
若，
则，
所以，
所以的值为0、1、.
【点评】本题考查了因式分解的应用以及分式的乘法运算，正确变形得出或是解答本题的关键．
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