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专题18：相交线、平行线和平移（简答题专练）
一、解答题
1．如图，请你将平移，使点分别移动到点和点．（画出平移后的图形）
2．已知，如图所示，曲线上的任意一点到直线m的距离和到定点A的距离都相等，点B为曲线上方任意一点，在曲线上找一点D，使的和最小，作图并简要说明理由．
3．已知在中，点D为射线BC上一点，且不与点B、C重合，交直线AC于点E，
交直线AB于点F．在下图中画出符合题意的图形，猜想与的数量关系，并证明你的结论．
4．如图，直线AB、CD、MN相交于点O，FO⊥BO，OM平分∠DOF
（1）请直接写出图中所有与∠AON互余的角：．
（2）若∠AOC=∠FOM，求∠MOD与∠AON的度数．
5．如图，已知AB∥CD，分别探究下面三个图形中∠P和∠A，∠C的关系，请你从所得三个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性．
结论：（1）___________________；
（2）____________________；
（3）_____________________；
（4）选择结论____________，说明理由．
6．如图所示，，，过点D作，交的平分线于点E，连接BE，延长DE交BC于F，．
（1）求证：．
（2）将绕点C顺时针旋转得到，连接EG．求证：CD垂直平分EG．
（3）延长BE交CD于点P，求证：P是CD的中点
7．∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么？
8．如图，四边形ABCD向右平移一段距离后得到四边形.
（1）找出图中存在的平行且相等的四条线段（即四条线段全部互相平行且相等）；
（2）找出图中存在的四组相等的角；
（3）四边形ABCD与四边形的形状、大小相同吗？为什么？
9．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)图中∠COE的余角是 ．(请符合条件的角都写出来)；
(2)图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；
① ；② ；③ ．
(3)若∠AOF=3∠COE，求∠COE的度数(请写出解答过程)．
10．如图，已知，，AE与BF平行吗？为什么？
11．推理填空．
如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．
将求∠AGD的过程填写完整．
因为EF∥AD，
所以∠2＝____________（___________________________）
又因为∠1＝∠2
所以∠1＝∠3（____________）
所以AB∥____________（____________）
所以∠BAC＋____________＝180°（____________）
因为∠BAC＝70°
所以∠AGD＝____________
12．已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
13．如图所示，已知，试判断AB与GF的位置关系，并说明理由.
14．如图，CDAB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？
15．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
16．如图，已知直线AB∥CD，且∠1=∠2，那么AE与CF平行吗？为什么？说明理由．
17．已知AB∥CD．
（1）如图1，EOF是直线AB、CD间的一条折线，猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DF所在直线交于点E，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）；
（3）在（2）的前提下将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）．
18．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E．D，点G在AC上，∠GDC=∠EFB=25°，求∠ADG的度数．
19．下图是大众汽车的标志图案，其中蕴含着许多几何知识，根据下面的条件完成解答．
已知：如图，BC∥AD，BE∥AF.
(1)试说明：∠A＝∠B；
(2)若∠DOB＝135°，求∠A的度数．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE
（1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
21．如图，已知∠1=∠2，∠2=∠3，请写出图中所有互相平行的线，并证明．
22．如图，已知射线与直线交于点，平分，于，，且．
（1）求的度数；
（2）试说明平分．
23．如图所示，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？和；和；和；和；和；和.
24．中，，点分别是边上的点，点是一动点，令，，．
（1）若点在线段上，如图①所示，且，则_____；
（2）若点在边上运动，如图②所示，则、、之间的关系为______；
（3）如图③，若点在斜边的延长线上运动，请写出、、之间的关系式，并说明理由．
25．（1）如图（1），AB∥CD，探究∠BED与∠B+∠D的关系；
（2）如图（2），AB∥CD，类比上述方法，试探究∠E+∠G与∠B+∠F+∠D的关系，并写出推理过程；
（3）如图（3），AB∥CD，请直接写出你能得到的结论．
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精品试卷·第
2
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（共
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专题18：相交线、平行线和平移（简答题专练）
一、解答题
1．如图，请你将平移，使点分别移动到点和点．（画出平移后的图形）
【答案】见解析
【分析】平移前后对应点连线互相平行且相等，可得到各点的对应点，顺次连接即可．
【解答】解：根据平移的性质，如图．
【点评】本题考查了平移作图的知识，关键是掌握平移前后对应点连线平行（或在一条直线上）且相等．
2．已知，如图所示，曲线上的任意一点到直线m的距离和到定点A的距离都相等，点B为曲线上方任意一点，在曲线上找一点D，使的和最小，作图并简要说明理由．
【答案】详见解析
【分析】根据垂线段最短作图即可
【解答】如图所示，
（1）过点B作，点C为垂足，交曲线于点D．
（2）连接DA．点D即为所求．
理由：由题意可知，，
∴（垂线段最短）．
【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短．
3．已知在中，点D为射线BC上一点，且不与点B、C重合，交直线AC于点E，
交直线AB于点F．在下图中画出符合题意的图形，猜想与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】与的数量关系为相等或互补，证明详见解析．
【分析】根据题意分别根据当点D在线段CB上时，当点D在线段CB得延长线上时，画出图形，再利用平行线的判定与性质分别证明得出即可．
【解答】与的数量关系为相等或互补．
（1）若点D在线段BC上，如图所示．
∵，∴．
∵，∴．
∴．即．
（2）若点D在线段BC的延长线上，如图所示．
∵，∴．
∵，∴．
∴，
综上所述，与的数量关系为相等或互补．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，利用分类讨论得出是解题关键．
4．如图，直线AB、CD、MN相交于点O，FO⊥BO，OM平分∠DOF
（1）请直接写出图中所有与∠AON互余的角：．
（2）若∠AOC=∠FOM，求∠MOD与∠AON的度数．
【答案】（1）∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）20°，70°
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠BOF=∠AOF=90°，由角平分线的定义和对顶角相等可得与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）设∠MOD的度数为x°，用含x的式子表示出∠FOD和∠AOC的度数，然后由∠AOC=∠BOD，得出∠FOD+∠AOC=90°，据此列方程求解，再由（1）中∠MOD与∠AON互余可得出∠AON的度数．
【解答】解：（1）∵FO⊥BO，∴∠BOF=∠AOF=90°，
∴∠BOM+∠FOM=90°，
又∠BOM=∠AON，∴∠AON+∠FOM=90°．
∵OM平分∠DOF，∴∠DOM=∠FOM，
又∵∠DOM=∠CON，
∴与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）设∠MOD的度数为x°，
∵OM平分∠FOD，
∴∠MOD=∠FOM=x°，
∴∠FOD=2x°，∠AOC=∠FOM=°，
又∵FO⊥BO，∠AOC=∠BOD，
∴∠FOD+∠AOC=90°，
即2x+=90，
解得：x=20．
即∠MOD=20°，
由（1）可知∠MOD与∠AON互余，
∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°．
故∠MOD的度数为20°，∠AON的度数为70°．
【点评】本题考查了垂直的定义，角的平分线的定义，余角的定义与性质以及对顶角相等，正确理解相关概念是关键．
5．如图，已知AB∥CD，分别探究下面三个图形中∠P和∠A，∠C的关系，请你从所得三个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性．
结论：（1）___________________；
（2）____________________；
（3）_____________________；
（4）选择结论____________，说明理由．
【答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PCD=∠APC+∠PAB；（4）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由见解析．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答；
（2）过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；
（3）根据AB∥CD，可得出∠1=∠PCD，再根据三角形外角的性质进行解答；
（4）选择以上结论任意一个进行证明即可．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
故答案为：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（2）过点P作直线PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PF∥CD，
∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
故答案为：∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠APC+∠PAB．
故答案为：∠PCD=∠APC+∠PAB．
（4）选择结论∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
理由：过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
故答案为：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，能根据题意作出辅助线，再利用平行线的性质进行解答是解答此题的关键．
6．如图所示，，，过点D作，交的平分线于点E，连接BE，延长DE交BC于F，．
（1）求证：．
（2）将绕点C顺时针旋转得到，连接EG．求证：CD垂直平分EG．
（3）延长BE交CD于点P，求证：P是CD的中点
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）连接BD，根据平行线的性质以及锐角三角函数的概念找到线段之间的关系，从而证明结论；
（2）根据旋转的性质，只需说明ED=GD，CE=CG，即可证明；
（3）根据已知条件，要证明P是CD的中点，只需证明PD=AD，借助全等即可证明．
【解答】（1）如图所示，连接BD．
∵，，
∴，，
∵，∴∴．
∵，∴．
∵，∴．
，即．
（2）∵CE平分，∴．
由（1）知，
∵，∴．∴．
由图形旋转的性质知，，
∴∴C，D都在EG的垂直平分线上，
∴CD垂直平分EG．
（3）由（2）知，∴．
∵．∴．
∴．
∵，∴．
由（1）知．∴，
∴．
又∵，∴．
∴．
∵，．
∴P是CD的中点．
【点评】本题主要考察平行线的性质、线段垂直平分线的性质、锐角三角函数的定义，解题关键是连接BD，
7．∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么？
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）BC平分，理由见解析．
【分析】（1）先根据邻补角的定义、等量代换可得，再根据平行线的判定即可得；
（2）先根据平行线的性质可得，再根据等量代换可得，然后根据平行线的判定即可得；
（3）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据等量代换可得，最后根据角平分线的定义即可得．
【解答】（1），理由如下：
（同位角相等，两直线平行）；
（2），理由如下：
由（1）可知，
（两直线平行，同旁内角互补）
（同旁内角互补，两直线平行）；
（3）BC平分，理由如下：
如图，
又平分
故BC平分．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
8．如图，四边形ABCD向右平移一段距离后得到四边形.
（1）找出图中存在的平行且相等的四条线段（即四条线段全部互相平行且相等）；
（2）找出图中存在的四组相等的角；
（3）四边形ABCD与四边形的形状、大小相同吗？为什么？
【答案】（1）AA′、BB′、CC′、DD′；（2），∠ABC=∠A′B′C′，，；（3）四边形ABCD与四边形的形状、大小相同.理由见解析.
【分析】（1）根据平移前后的对应边平行且相等即可得答案；
（2）根据平移前后的对应角相等即可得答案；
（3）根据平移的性质解答即可.
【解答】（1）∵四边形ABCD向右平移一段距离后得到四边形.
∴图中全部互相平行且相等的四条线段是AA′、BB′、CC′、DD′.
（2）∵四边形ABCD向右平移一段距离后得到四边形.
∴，∠ABC=∠A′B′C′，，.
（3）∵平移不改变图形的形状和大小，
∴四边形ABCD与四边形的形状、大小相同.
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．正确找出对应边和对应角是解题关键.
9．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)图中∠COE的余角是 ．(请符合条件的角都写出来)；
(2)图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；
① ；② ；③ ．
(3)若∠AOF=3∠COE，求∠COE的度数(请写出解答过程)．
【答案】（1）∠AOC，∠EOF，∠BOD；（2）∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD；（3）45°．
【分析】（1）根据余角的定义和余角的性质解答即可；
（2）根据余角的性质和对顶角相等即可找出三对相等角；
（3）根据∠AOF＝3∠COE以及∠AOC＝∠EOF，可知∠AOC＝∠EOC＝∠EOF，进一步即可求出结果．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∠AOC=∠DOB，
∴∠COE+∠AOC=90°，∠COE+∠EOF=90°，∠COE+∠BOD=90°；
∴图中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD；
故答案为：∠AOC，∠EOF，∠BOD；
（2）根据同角的余角相等可得：∠AOC＝∠EOF；∠EOF＝∠BOD；
根据对顶角相等可得：∠AOC＝∠BOD．
∴相等的3对角是：①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．
故答案为：∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD；
（3）∵∠AOF＝3∠COE，∠AOC＝∠EOF，
∴∠COE＝∠AOC，
∵OE⊥AB，
∴∠COE+∠AOC＝90°，
∴∠COE＝45°．
故∠COE的度数是45°．
【点评】本题考查了垂直的定义、对顶角相等、角度的计算和余角的定义及性质等知识，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
10．如图，已知，，AE与BF平行吗？为什么？
【答案】，理由见解析
【分析】根据垂直的定义AC⊥AE，BD⊥BF，可得，再根据∠1=35°，∠2=35°，可证出
，从而得出结论．
【解答】.理由如下：
因为，
所以.
因为，所以，
即.
所以（同位角相等，两直线平行）.
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
11．推理填空．
如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．
将求∠AGD的过程填写完整．
因为EF∥AD，
所以∠2＝____________（___________________________）
又因为∠1＝∠2
所以∠1＝∠3（____________）
所以AB∥____________（____________）
所以∠BAC＋____________＝180°（____________）
因为∠BAC＝70°
所以∠AGD＝____________
【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°
【分析】根据平行线的性质可得，故∠1＝∠3，根据平行线的判定可得，再利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：因为，
所以（两直线平行，同位角相等），
又因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠3（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行），
所以∠BAC＋∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠BAC＝70°，
所以∠AGD＝110°，
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定和性质是解题的关键．
12．已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝80°
【分析】（1）利用同旁内角互补，说明GD∥CA；
（2）由GD∥CA，得∠A＝∠GDB＝∠2＝40°＝∠ACD，由角平分线的性质可求得∠ACB的度数．
【解答】解：（1）∵EF∥CD
∴∠1+∠ECD＝180°
又∵∠1+∠2＝180°
∴∠2＝∠ECD
∴GD∥CA；
（2）由（1）得：GD∥CA，
∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，
∵DG平分∠CDB，
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∴∠ACD＝∠2＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．
【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质．解决本题的关键熟练利用所学的性质进行解题．
13．如图所示，已知，试判断AB与GF的位置关系，并说明理由.
【答案】.理由见解析.
【分析】作，延长GF，CD交于点H.得到一对同旁内角互补，再根据已知得出，由平行于同一条直线的两直线平行即可得证．
【解答】.理由如下：
如图，作，延长GF，CD交于点H.
,
,
.
又，
，
.
.
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
14．如图，CDAB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？
【答案】平行，理由见解析
【分析】两直线的位置关系有两种：平行或者相交，根据图形可猜想两直线平行，然后根据已知条件探求平行的判定条件，即可证明结论．
【解答】解：∵
CDAB，∠DCB=70°，
∴∠ABC=70°，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABF=70°-20°=50°，
又∵∠EFB=130°，
∴∠ABF+∠EFB=180°，
∴EFAB．
故直线EF与AB的位置关系是平行．
【点评】本题考查平行线的综合，难度不大，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是顺利解题的关键．
15．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
【答案】（1）见解析；（2）25°
【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2＝∠A＝∠1，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠D＋∠CBD＋∠3＝180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D＋∠CBD＋∠3＝180°，
∵∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，牢记：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦成立．
16．如图，已知直线AB∥CD，且∠1=∠2，那么AE与CF平行吗？为什么？说明理由．
【答案】AE∥CF，理由见解析
【分析】根据AB∥CD证得∠GAB=∠GCD，再利用∠1=∠2，即可证得∠GAE=∠GCF，由此得到AE∥CF.
【解答】AE∥CF，理由如下：
因为AB∥CD（已知）
所以∠GAB=∠GCD（同位角相等，两直线平行）
因为∠1=∠2（已知）
所以∠GAB-∠1=∠GCD-∠2，
所以∠GAE=∠GCF（等式性质）
所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行）.
【点评】此题考查平行线的性质定理，平行线的判定定理，根据图形中角的位置及数量关系正确利用性质定理得到∠GAE=∠GCF是解题的关键.
17．已知AB∥CD．
（1）如图1，EOF是直线AB、CD间的一条折线，猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DF所在直线交于点E，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）；
（3）在（2）的前提下将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）
.
【分析】（1）过O作OM∥AB，利用平行线的性质和等量代换，可得∠2=∠1+∠3；
（2）过E作EN∥AB，则EN∥AB∥CD，利用平行线的性质，角平分线的性质可以得到；
（3）过E作EP∥AB，则EP∥AB∥CD，利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，再利用等量代换得出结论．
【解答】（1）如图1，
过O作OM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥0M，
∴∠1＝∠EOM，∠3＝∠FOM，
∵∠EOF＝∠EOM+∠FOM，
∴∠2＝∠1+∠3；
（2）如图2，
过E作EN∥AB，则EN∥AB∥CD，
∴∠BEN＝∠ABE，∠DEN＝∠CDE
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝α+β；
（3）如图3，
图3
过E作EP∥AB，则EP∥AB∥CD，
∴∠PED＝∠EDC，∠PEB+∠ABE＝180°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∴∠BED＝∠PED+∠PEB＝α+（180°﹣β）＝α﹣β+180°
【点评】此题考查平行线的性质，角平分线的意义，等量代换等知识，作辅助线通过平行线的性质，得出这些角之间的关系．
18．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E．D，点G在AC上，∠GDC=∠EFB=25°，求∠ADG的度数．
【答案】∠ADG的度数是65°．
【分析】先根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质可得，然后根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质、直角三角形的性质即可得．
【解答】
在中，
．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
19．下图是大众汽车的标志图案，其中蕴含着许多几何知识，根据下面的条件完成解答．
已知：如图，BC∥AD，BE∥AF.
(1)试说明：∠A＝∠B；
(2)若∠DOB＝135°，求∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析；（2）45°．
【分析】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．
（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．
【解答】解：（1）∵BC∥AD，
∴∠B=∠DOE，
又BE∥AF，
∴∠DOE=∠A，
∴∠A=∠B．
（2）∵BE∥AF，
∴∠EOA+∠A=180°
∵∠DOB=∠EOA，∠DOB=135°，
∴∠A=45°．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE
（1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【答案】（1）OF⊥OD，证明详见解析；（2）∠EOF＝60°．
【分析】（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝∠AOE、∠EOD＝∠EOB，根据邻补角互补可得出∠AOE+∠EOB＝180°，进而可得出∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可证出OF⊥OD；
（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF＝∠AOE，再根据邻补角互补结合∠EOF＝∠AOE，可求出∠EOF的度数．
【解答】（1）OF⊥OD．
证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠FOE＝∠AOE，∠EOD＝∠EOB．
∵∠AOE+∠EOB＝180°，
∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝（∠AOE+∠EOB）＝90°．
∴OF⊥OD．
（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD：∠AOD＝1：5．
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝∠AOE．
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝60°．
【点评】此题考查对顶角，邻补角，角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合角平分线的定义找出∠FOD=90°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD的度数．
21．如图，已知∠1=∠2，∠2=∠3，请写出图中所有互相平行的线，并证明．
【答案】a∥b∥d，证明见解析
【分析】先根据∠1=∠2证得a∥d，再根据∠2=∠3证得b∥d，即可得到答案.
【解答】因为∠1=∠2（已知）
所以a∥d（同位角相等，两直线平行）
因为∠2=∠3（已知）
所以b∥d（同位角相等，两直线平行）
所以a∥b∥d（平行线的传递性）.
【点评】此题考查平行线的判定定理，平行公理的推理，根据图形中角的位置关系及数量关系正确运用定理解题是关键.
22．如图，已知射线与直线交于点，平分，于，，且．
（1）求的度数；
（2）试说明平分．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解；
（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解．
【解答】（1）解：∵
∴
∵
∴，
∵平分，
∴
∴;
（2）证明：∵
∴
∴
∵，
又∵
∴，
，
平分．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角的性质，垂线的性质．
23．如图所示，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？和；和；和；和；和；和.
【答案】答案见解析.
【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的定义进行解答即可.
【解答】和是直线ED和直线BD被直线AB所截而产生的同位角；
和是直线AB和直线AC被直线BD所截而产生的内错角；
和是直线AB和直线BD被直线AC所截而产生的同位角；
和是直线ED和直线CD被直线EC所截而产生的同旁内角；
和是直线ED和直线BC被直线EC所截而产生的内错角；
和是直线BE和直线BC被直线EC所截而产生的同旁内角.
【点评】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知三线八角的定义是解题的关键.
24．中，，点分别是边上的点，点是一动点，令，，．
（1）若点在线段上，如图①所示，且，则_____；
（2）若点在边上运动，如图②所示，则、、之间的关系为______；
（3）如图③，若点在斜边的延长线上运动，请写出、、之间的关系式，并说明理由．
【答案】（1）140°；（2）∠1＋∠2＝90°＋α．（3）如图1，∠2?∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠1?∠2＝∠α?90°．
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1＋∠2＝∠C＋∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．
【解答】（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°；
（2）由（1）得出：∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋α．
（3）如图，
分三种情况：连接ED交BA的延长线于P点，如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C＋∠1＋∠α，∴∠2?∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠2＝∠1?∠α＋∠C，∴∠1?∠2＝∠α?90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质和四边形内角和定理，熟练利用三角形外角的性质是解决问题的关键．
25．（1）如图（1），AB∥CD，探究∠BED与∠B+∠D的关系；
（2）如图（2），AB∥CD，类比上述方法，试探究∠E+∠G与∠B+∠F+∠D的关系，并写出推理过程；
（3）如图（3），AB∥CD，请直接写出你能得到的结论．
【答案】（1）∠BED与∠B+∠D的关系为∠BED=∠B+∠D；（2）∠E+∠G=∠B+∠F+∠D；（3）∠B+∠F1+∠F2+∠Fn-1+…+∠D=∠E1+∠E2+…+∠En．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质填空即可；
（2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥CD，根据平行公理可得AB∥EM∥FN∥GH，然后利用两直线平行，内错角相等求解即可；
（3）根据（2）的规律求解即可．
【解答】（1）过点E作EM∥AB，
∴∠1=∠B，
∵EM∥AB，AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠2=∠D，
∴∠1+∠2=∠B+∠D，
即∠BED与∠B+∠D的关系为∠BED=∠B+∠D；
（2）如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GH，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D，
即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D；
（3）与（2）同理，∠B+∠F1+∠F2+∠Fn-1+…+∠D=∠E1+∠E2+…+∠En．
【点评】考查了平行线的性质，规律性较强，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
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精品试卷·第
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