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专题20：相交线、平行线和平移（中考真题专练）
一、单选题
1．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．80°
【答案】B
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
【解答】解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（ ）
A．∠2=∠4
B．∠1+∠4=180°
C．∠5=∠4
D．∠1=∠3
【答案】D
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．
【详解】由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；
由∠1=∠3，不能得到a∥b，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键.
解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
3．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（ ）
A．112°
B．110°
C．108°
D．106°
【答案】D
【解答】分析：由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
详解：∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°．
∵AD∥BC，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
故选D．
点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
4．如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
【答案】B
【解答】由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB
的长度，
故选B.
5．如图∥,∠=,平分∠,则∠的度数为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADB=∠ADE，
∵∠B=30°，
∴∠ADB=∠BDE=30°，
则∠DEC=∠B+∠BDE=60°．
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．
6．如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是（
）
A．25°
B．35°
C．45°
D．50°
【答案】D
【解析】试题分析：∵CD∥EF，∠C=∠CFE=25°，∵FC平分∠AFE，∴∠AFE=2∠CFE=50°，又∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE=50°，故选D．
考点：平行线的性质．
7．含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，则∠1=（
）
A．70°
B．60°
C．40°
D．30°
【答案】B
【分析】先根据三角形外角性质得到∠CDB的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠1的度数．
【解答】∵∠ACD=∠A=30°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=60°，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠CDB=60°，
故选：B．
8．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( )
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
【答案】A
【解析】试题分析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A．
考点：平行线的性质．
9．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（
）
A．∠1=∠2
B．∠2=∠3
C．∠3=∠5
D．∠3+∠4=180°
【答案】C
【解答】解：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意
B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，
C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，
D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，
故选C．
【点评】本题考查平行线的判定，难度不大．
10．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【答案】C
【解答】试题分析：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．
考点：1矩形；2平行线的性质.
二、填空题
11．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=_____度．
【答案】120
【解析】分析：先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD=150°，求得答案．
详解：如图，过点B作BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，
∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，
∴∠1=30°，∠2=90°，
∴∠ABC=∠1+∠2=120°．
故答案为120．
点睛：此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
12．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．
【答案】60°
【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．
【解答】∵DA⊥CE，
∴∠DAE=90°，
∵∠1=30°，
∴∠BAD=60°，
又∵AB∥CD，
∴∠D=∠BAD=60°，
故答案为60°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
13．如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）
【答案】∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE
【解析】分析：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断．
详解：若，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
故答案为∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）
点睛：本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
14．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．
【答案】．
【解析】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，故答案为：．
点睛：主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC＝100°．若∠1＝34°，则∠2＝_____°．
【答案】46
【解析】试卷分析：根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．
解：∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=34°，
∵∠BAC=100°，
∴∠2=180°?34°?100°=46°，
故答案为46°.
16．如图，a∥b，PA⊥PB，∠1＝35°，则∠2的度数是___________.
【答案】55°
【解析】试题分析：如图所示，延长AP交直线b于C，∵a∥b，∴∠C=∠1=35°，∵∠APB是△BCP的外角，PA⊥PB，∴∠2=∠APB﹣∠C=90°﹣35°=55°，故答案为55°．
考点：平行线的性质；垂线．
17．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．
【答案】同位角相等，两直线平行．
【解析】试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行
考点:平行线的判定
18．如图，点
A，C，F，B
在同一直线上，CD
平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA
为
α
度，则∠GFB为________度（用关于
α
的代数式表示）．
【答案】90°﹣
【解答】∵∠ECA=，
∴∠ECB=180°-，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB=∠ECB=（180°-）=90°-，
又∵FG∥CD
∴∠GFB=∠DCB=90°-.
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB方向平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移的距离为_____．
【答案】2
【解析】∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，四边形ABED的面积等于8，AC=4，
∴平移距离=8÷4=2．
点睛：本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
20．如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1=18°，那么∠2的度数是
．
【答案】12°．
【解答】如图,
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=90°?60°=30°，
∴∠3=30°-∠1=30°-18°=12°
∴∠2=12°
故答案为12°.
三、解答题
21．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.
【解析】试题分析：（1）理用SSS即可判定△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE,AC∥DF,由全等三角形的性质可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,根据平行线的性质即可得结论.
试题解析：（1）证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=CF+CE，
∴BC="EF"
∵AB=DE，AC="DF"
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.
考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定.
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专题20：相交线、平行线和平移（中考真题专练）
一、单选题
1．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．80°
2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（ ）
A．∠2=∠4
B．∠1+∠4=180°
C．∠5=∠4
D．∠1=∠3
3．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（ ）
A．112°
B．110°
C．108°
D．106°
4．如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
5．如图∥,∠=,平分∠,则∠的度数为
（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是（
）
A．25°
B．35°
C．45°
D．50°
7．含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，则∠1=（
）
A．70°
B．60°
C．40°
D．30°
8．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( )
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
9．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（
）
A．∠1=∠2
B．∠2=∠3
C．∠3=∠5
D．∠3+∠4=180°
10．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
二、填空题
11．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=_____度．
12．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．
13．如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）
14．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．
15．如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC＝100°．若∠1＝34°，则∠2＝_____°．
16．如图，a∥b，PA⊥PB，∠1＝35°，则∠2的度数是___________.
17．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．
18．如图，点
A，C，F，B
在同一直线上，CD
平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA
为
α
度，则∠GFB为________度（用关于
α
的代数式表示）．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB方向平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移的距离为_____．
20．如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1=18°，那么∠2的度数是
．
三、解答题
21．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
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