(共29张PPT)
2.2.2
完全平方公式（1）
湘教版
七年级下
教学目标
能推导并记住完全平方公式，并能用语言叙述；
1
3
2
能识别能用完全平方公式计算的多项式；
能够准确地按照完全平方公式进行计算；
4
体会数学公式在数学中的应用价值。
复习导入
1.
下列多项式的计算错在哪里？请写出正确计算过程.
(2m+3)(3m-5)=6m?-15.
没有按照多项式的乘法法则用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项.结果漏掉了项。
正确计算过程：
(2m+3)(3m-5)=6m?-10m+9m-15=6m?-m-15.
复习导入
2.
平方差公式是什么？你能用语言叙述这个公式吗？
平方差公式：
(a＋b)(a－b)=a?－b?.
用语言叙述：
两个数的和乘它们的差等于这两个数的平方的差。
复习导入
3.
多项式的乘法(-4x-7y)(-7y+4x)，用平方差公式计算时，“a”和“b”分别是什么，计算结果是什么？
运用加法交换律和乘法交换律：
(-4x-7y)(-7y+4x)=(-7y+4x)(-7y-4x)
所以，“a”是(-7y)，“b”是4x。计算结果为：
(-7y)?-(4x)?=49y?-16x?
导入新课
把平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b?中的(a-b)换成(a+b)，则得(a+b)(a+b)=(a+b)?，可以看作是两个数的和的平方；把(a+b)换成(a-b)，则得(a-b)?。计算两数的和的平方或差的平方也有公式进行简便运算吗？
计算下面各题，你能发现什么规律？
(a+1)?=(a+1)(a+1)=a?+a+a+1=a?+2·a·1+1，
(a+2)?=
=
=a?+
+2?，
(a+3)?=
=
=a?+
+
?，
(a+4)?=
=
=a?+
+
?.
获取新知
(a+2)(a+2)
a?+2a+2a+4
2·a·2
(a+3)(a+3)
a?+3a+3a+9
2·a·3
3
(a+4)(a+4)
a?+4a+4a+16
2·a·4
4
两数和的平方等于它们的平方和，加它们的积的2倍。
我们用多项式乘法推导一般情况：
a?＋ab＋ab＋b?
(a＋b)(a＋b)
(a＋b)?
=
=
=
.
a?＋2ab＋b?
导入新课
于是，我们有
(a＋b)?=a?＋2ab＋b?.
导入新课
用语言叙述：
两数和的平方等于它们的平方和，加它们的积的2倍。
把(a＋b)?=a?＋2ab＋b?中的“b”换成“-b”，你能求出(a-b)?=？
(a-b)?=
=a?+2a(-b)+(-b)?
=a?-2ab+b?.
[a+(-b)]?
导入新课
于是，我们有
(a-b)?=a?-2ab＋b?.
导入新课
用语言叙述：
两数差的平方等于它们的平方和，减它们的积的2倍。
我们把下面两个公式：
(a+b)?=a?+2ab+b?.
(a-b)?=a?-2ab+b?.
导入新课
都叫作完全平方公式。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.
导入新课
完全平方公式用语言叙述为：
把一个边长为a+b的正方形按右图分割成四块，你能用这个图来解释完全平方公式吗？
ab
导入新课
a?
b?
ab
ab
边长为a+b的正方形的面积是(a＋b)?，分割成如图四块后的面积为a?＋2ab＋b?.因为面积相等，所以(a＋b)?=a?＋2ab＋b?.
导入新课
对形如两数和（或两数差）的平方的乘法，我们可以利用完全平方公式进行简便运算。
导入新课
例4
利用完全平方公式计算：
例题讲解
分析：同利用平方差公式进行计算一样，利用完全平方公式计算，也要先确定什么是“a”，什么是“b”.
解
把“3m”看成完全平方公式中的“a”.
例题讲解
解
例题讲解
1.下列各式计算对不对？如果不对，应怎样改正？
(1)
(x+2)?=x?+4
;
(2)
(-a-b)?=a?-2ab+b?.
解：(1)题不对，少加了两数积的2倍。结果应为：
x?+4x+4.
(2)不对，(-a-b)?中的“a”是“-a”，计算过程为：
(-a-b)?=a?-2·(-a)·b+b?=a?+2ab+b?.
巩固练习
2.
运用完全平方公式计算：
(1)
(x+4)?
；
(2)
(2a-3)?
；
巩固练习
答案：(1)
x?+8x+16；
(2)
4a?-12a+9；
3.
下面计算正确的是
（
）
D
A.
(x＋y)?=x?＋y?
B.
(2-a)?=4-2a＋a?
C.
(3m-2n)?=9m?＋12mn＋4m?
D.
-2a(3a＋1)=-6a?-2a
能力提升
能力提升
4.
若(x+1)?=5，则x?＋2x+3的值为
（
）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
C
解析：∵
(x+1)?=x?＋2x+1=5，
∴
x?＋2x+3=x?＋2x+1+2=5+2=7.
5.
我们把计算和或差的平方得到的二次三项式叫做完全平方式，例如计算(x+2)?=x?+4x+4，则x?+4x+4叫做一个完全平方式。根据概念解决问题：
若x?＋kxy+9y?是一个完全平方式，则k=（
）
A.
3
B.
6
C.
3或-3
D.
6或-6
能力提升
知识拓展
解析：∵
x?＋kxy+9y?是一个完全平方式，
∴
x?＋kxy+9y?=x?±2·x·3y+(3y)?
=x?±6xy+9y?
.
∴
k=±6.
故选D.
能力提升
注意：k=－6时，上式也是一个完全平方式，不能遗漏。
能力提升
请大家说出完全平方公式
(a+b)?=a?+2ab+b?.
(a-b)?=a?-2ab+b?.
能力提升
请大家用语言叙述完全平方公式
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.
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2.2.2完全平方公式（1）教案
主备人：
备课日期：
本章课时序号：8
课
题
完全平方公式第1课时
课型
新授课
教学目标
1、能推导并记住完全平方公式，并能用语言叙述；2、能识别能用完全平方公式计算的多项式；3、能够准确地按照完全平方公式进行计算；4、体会数学公式在数学中的应用价值。
教学重点
1、推导完全平方公式，记住完全平方公式的结构特征。2、运用完全平方公式进行计算。
教学难点
1、识别能用完全平方公式计算的多项式。2、按完全平方公式的结构特征正确计算。
教学准备
1、制作ppt教学课件；2、选编习题
教
学
活
动
一、新课导入（一）复习铺垫说一说：1、
下列多项式的计算错在哪里？请写出正确计算过程.(2m+3)(3m-5)=6m?-15.生：没有按照多项式的乘法法则用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项.结果漏掉了项。师：ppt展示正确计算过程：
(2m+3)(3m-5)=6m?-10m+9m-15=6m?-m-15.
平方差公式是什么？你能用语言叙述这个公式吗？学生回答后，教师用ppt展示：平方差公式：(a＋b)(a－b)=a?－b?用语言叙述：两个数的和乘它们的差等于这两个数的平方的差。3、
多项式的乘法(-4x-7y)(-7y+4x)，用平方差公式计算时，“a”和“b”分别是什么，计算结果是什么？学生回答，教师用ppt展示：运用加法交换律和乘法交换律：(-4x-7y)(-7y+4x)=(-7y+4x)(-7y-4x)所以，“a”是(-7y)，“b”是4x。计算结果为：(-7y)?-(4x)?=49y?-16x?。（二）导入课题联想：把平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b?中的(a-b)换成(a+b)，则得(a+b)(a+b)=(a+b)?，可以看作是两个数的和的平方；把(a+b)换成(a-b)，则得(a-b)?。计算两数的和的平方或差的平方也有公式进行简便运算吗？二、探究公式（一）探究：(a＋b)?=a?＋2ab＋b?.计算下面各题，你能发现什么规律？(a+1)?=(a+1)(a+1)=a?+a+a+1=a?+2·a·1+1，(a+2)?=
=
=a?+
+2?，(a+3)?=
=
=a?+
+
?，(a+4)?=
=
=a?+
+
?。
学生仿照最上面一题的计算过程计算，把每一步写到横线上。2、
学生交流发现的规律，回答后，教师用ppt展示：
两数和的平方等于它们的平方和，加它们的积的2倍。
3、
引导学生把发现的规律推广到一般情况：(a＋b)?=(a＋b)(a＋b)a?＋ab＋ab＋b?=a?＋2ab＋b?4、
归纳：(a＋b)?=a?＋2ab＋b?.用语言叙述：两数和的平方等于它们的平方和，加它们的积的2倍。（二）探究：(a-b)?=a?-2ab＋b?.1、
布置任务做一做：把(a＋b)?=a?＋2ab＋b?中的“b”换成“-b”，你能求出(a-b)?=？2、
学生计算3、
归纳：(a-b)?=a?-2ab＋b?.用语言叙述：两数差的平方等于它们的平方和，减它们的积的2倍。（三）建立完全平方公式概念1、
教师用ppt展示：定义：我们把下面两个公式：(a＋b)?=a?＋2ab＋b?，(a-b)?=a?-2ab＋b?.都叫做完全平方公式。用语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.2、
用直观意义帮助学生理解、记住完全平方公式。（1）出示问题：把一个边长为a+b的正方形按右图分割成四块，你能用这个图来解释完全平方公式吗？（2）生：边长为a+b的正方形的面积是(a＋b)?，分割成如图四块后的面积为a?＋2ab＋b?.
因为面积相等，所以(a＋b)?=a?＋2ab＋b?.3、
指出：对形如两数和（或两数差）的平方的乘法，我们可以利用完全平方公式进行简便运算。二、教学例题（一）教学例4例4
计算：（1）(3m+n)?；
（2）。1、
分析：同利用平方差公式进行计算一样，利用完全平方公式计算，也要先确定什么是“a”，什么是“b”.2、
指名回答上面两道题中的“a”和“b”分别是什么。3、
师生一起对照公式计算第（1）题，用ppt展示计算过程：4、
学生计算第（2）题，指名板书，集体订正。
三、巩固基础，提升能力（一）巩固练习1、
课本第46页第1题。（1）ppt出示题目.（2）学生回答，说出改正方法。2、
课本第46页第2题。学生独立计算【答案】（1）；（2）；（3）（二）能力提升3、
下面计算正确的是（
）A.
(x＋y)?=x?＋y?
B.
(2-a)?=4-2a＋a?C.
(3m-2n)?=9m?＋12mn＋4m?
D.
-2a(3a＋1)=-6a?-2a
【答案】D
4、
若(x+1)?=5，则x?＋2x+3的值为
（
）A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
【答案】C【解析】∵
(x+1)?=x?＋2x+1=5，∴
x?＋2x+3=x?＋2x+1+2=5+2=7.（三）知识拓展5、
我们把计算两个数的和或差的平方得到的二次三项式叫做完全平方式，例如计算(x+2)?=x?+4x+4，则x?+4x+4叫做一个完全平方式。根据概念解决问题：若x?＋kxy+9y?是一个完全平方式，则k=（
）
A.
3
B.
6
C.
3或-3
D.
6或-6
【答案】D
【解析】∵
x?＋kxy+9y?是一个完全平方式，
∴
x?＋kxy+9y?=x?±2·x·3y+(3y)?
=x?±6xy+9y?
,
∴
k=±6.
故选D.
【注意】k=－6时，上式也是一个完全平方式，不能遗漏。四、反思总结1、
请大家说出完全平方公式ppt展示：(a＋b)?=a?＋2ab＋b?，(a-b)?=a?-2ab＋b?.2、
请大家用语言叙述完全平方公式ppt展示：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.
板书设计
完全平方公式1、
公式：(a＋b)?=a?＋2ab＋b?，(a-b)?=a?-2ab＋b?.2、
语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.3、
注意事项：①记住结构特征，分清什么是“a”，什么是“b”；②对照公式计算，注意每一项都不能出错。
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精品试卷·第
2
页
（共
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