2020-2021学年高一数学人教A版必修4第二章2.1 平面向量的实际背景及基本概念2课时课件（共40张PPT）

第二章
平面向量
本章内容
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.2 平面向量的线性运算
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.4 平面向量的数量积
2.5 平面向量应用举例
第二章 小结
2.1
平面向量的实际背景
及基本概念
2.1.1 向量的物理背景与概念
2.1.2 向量的几何表示
2.1.3 相等向量与共线向量
2.1.1
2.1.2
向量的物理背景与概念
向量的几何表示
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学习要点
1. 什么是有向线段? 有向线段包含哪三个要素? 有向线段的记法和图形表示是怎样的?
2. 什么是向量? 它由几个要素构成?
3. 向量的几何表示与字母表示分别是怎样的?
4. 什么是零向量? 什么是单位向量? 零向量是怎样表示的?
5. 什么是向量的模? 它是怎样表示法?
2.1.1 向量的物理背景与概念
问题1. 我们学过哪些量既有大小, 又有方向?
1. 位移
如: 一个质点由A处位移到B处,
B处位于A处东偏南45?的30千米处.
·
A
45?
·
B
30 km
北
2. 力
G
重力:
方向向下,
大小m N.
F
浮力:
方向向上,
大小 a N.
还有拉力, 弹力, 摩擦力等.
3. 速度
自由落体在某时刻的速度, 物体向某个方
向运动的速度, 这些都是既有大小, 又有方向的量.
(一)有向线段
一般地, 对于一条线段规定了起点、终点, 我们就说线段具有方向, 具有方向的线段叫做有向线段.
设以A为起点, B为终点的有向线段记作
以B为起点, A为终点的有向线段记作
注意: 起点的字母一定要写在终点字母的前面.
通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向, 如图:
A
B
A
B
1. 定义:
2. 记法:
3. 图形表示:
2.1.2 向量的几何表示
5. 有向线段包含三个要素:
练习(补充) 在坐标平面内画有向线段
A的坐标为(1, 0), 终点B的坐标为(4, 4).
(1)
(2)
x
y
o
1
4
4
A
B
有向线段的长度就是线段本身的长度, 用绝对值符号表示. 如
4. 长度表示:
起点、方向、长度.
答:
(1)
因为方向不同.
因为长度是相等的.
(2)
我们把既有大小, 又有方向的量叫做向量 (物理学中称为矢量); 而把只有大小, 没有方向的量称为数量, (物理学中称为标量).
向量是勾通代数, 几何, 三角函数的一种工具.
1. 向量
(二) 向量的表示
向量可用有向线段表示.
向量 的大小就是有向线段 的长度.
(1) 数量的几何表示:
常用带箭头的有向线段表示, 有向线段的长度表示向量的大小, 箭头所指的方向表示向量的方向.
如: 3, -2, -1, p 在数轴上表示如下,
-1
0
3
-2
p
如:
A (起点)
B (终点)
2. 向量的表示
常用数轴上的点表示.
(2) 向量的几何表示:
直径为 1 的圆周长等于 p.
① 用端点的大写字母表示, 如
② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c.
③ 用书写体加箭头表示, 如
(3) 字母表示:
A
B
a
O
r=1
3. 向量的模:
也叫做向量的模, 记作
模为零的向量称为零向量, 记作0 ( ), 零向量的方向是任意的.
模为一个单位的向量称为单位向量.
4. 零向量:
5. 单位向量:
如图是一个单位圆,
向量 都是单位向量.
A
C
B
万
例1. 如图, 试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移(精确到1km).
解:
分别表示A地
到B地、C地的位移,
量得图上A、B两点
间的距离约为3cm,
A、C两点间的距离
约为3.8cm,
0.03?8000000
=240(km),
0.038?8000000
≈304(km).
练习: (课本77页)
第 1、3 题.
1. 画有向线段, 分别表示一个竖直向上、大小为18 N的力和一个水平向左、大小为28 N的力 (用1cm长表示10 N ).
0
1
3
2
18 N
0
1
3
2
28 N
A
B
C
D
画图如下:
练习: (77页)
3. 指出图中各向量的长度.
1
A
B
C
D
E
F
G
H
根据勾股定理求
解:
【课时小结】
1. 有向线段
规定了起点、终点, 我们就说线段具有方向, 具有方向的线段叫做有向线段.
起点、方向、长度是有向线段的三要素.
A
B
A
B
起点的字母一定要写在终点字母的前面.
有向线段的长度用绝对值符号表示. 如
【课时小结】
2. 向量
既有大小, 又有方向的量.
3. 向量的物理背景
位移具有方向与距离.
力具有方向与大小.
速度具有方向和大小.
向量研究具有方向和大小的问题:
【课时小结】
4. 向量的表示
向量用有向线段表示.
② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c.
① 用端点的大写字母表示, 如
③ 用书写体加箭头表示, 如
字母表示有三种方法:
向量的大小叫做向量的模,
A
B
3
如:
用有向线段的长度表示,
【课时小结】
5. 零向量
模为零的向量称为零向量.
模为一个单位的向量称为单位向量.
零向量记作 0 ( ).
零向量的方向是任意的.
6. 单位向量
习题 2.1
第 1、2、5 题.
A 组
1. 在如图所示的坐标纸中, 用直尺和圆规画出下列向量:
(1) =4, 点A在点O正南方向;
(2) 点B在点O北偏西45?方向;
(3) =2, 点C在点O西偏南60?方向.
O
A
B
C
习题 2.1
A 组
2. 一人从 A 点出发, 向东走500米到达点B, 接着向东偏北30?走300米到达点C, 然后再向东偏北45?走100米到达点D. 试选择适当的比例尺, 用向量表示这个人的位移.
解:
北
A
B
C
D
比例尺:
100 m
向量 即是由A到D的位移.
500 m
30?
300 m
100 m
45?
5. 已知边长为 3 的等边三角形ABC, 求BC边上的中线向量 的模
A
B
D
C
解:
AB = 3, 则 BD =
由勾股定理求得
2.1.3
相等向量
与
共线向量
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学习要点
1. 什么是相等向量? 相等向量与什么有关, 与什么无关?
2. 什么叫平行向量? 什么叫共线向量? 共线向量一定画在一条直线上吗?
3. 共线向量的长度是否相等? 共线向量的方向是否相同?
2.1.3 相等向量与共线向量
长度相等, 方向相同的向量叫做相等向量, 设向量 a、b 是相等向量, 记作 a=b. 零向量与零向量是相等向量.
1. 相等向量:
如图:
解:
例2. 如图, 设O是正六边形ABCDEF的中心, 分别写出图中与向量
即: 向量与所在的位置无关.
O
A
B
C
D
E
F
x
y
O
A
B
C
D
E
F
·
·
·
·
·
·
·
练习(补充). 在平面直角坐标系中, 已知下列各点的坐标: O(0, 0), A(-1, -2), B(1, -1), C(2, 1), D(1, 2), E(-2, 2), F(-2, -1). 请找出以下向量中相等的向量.
解:
画出坐标平面上的点.
画出各向量.
相等的向量分别是:
方向相同或相反的向量叫做平行向量, 设 是平行向量,
一组平行向量称为共线向量. 因为决定向量的两个要素是模和方向, 与位置无关, 即任一组平行向量都可以移到与它们平行的一条直线上.
2. 平行向量与共线向量:
例(补充). 如图, D、E、F 分别是△ABC各边中点, 图中哪些线段所确定的向量与向量 共线?
A
B
C
D
E
F
答:
图中与 共线的有:
x
y
O
A
B
C
D
E
F
·
·
·
·
·
·
·
练习(补充). 在平面直角坐标系中, 已知下列各点的坐标: O(0, 0), A(-1, -2), B(1, -1), C(2, 1), D(1, 2), E(-1, 1), F(-2, -1). 以下向量哪些是共线向量.
解:
画出坐标平面上的点.
画出各向量.
共线向量分别是:
练习: (课本77页)
第 2、4 题.
2. 非零向量 AB 的长度怎样表示? 非零向量 BA的长度怎样表示? 这两个向量的长度相等吗? 这两个向量相等吗?
答: 的长度表示为
的长度表示为
这两个相量的长度相等;
这两个是非零向量, 方向相反, 两向量不等.
4. (1) 用有向线段表示两个相等的向量, 如果有相同的起点, 那么它们的终点是否相同?
(2) 用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量, 如果有相同的起点, 那么它们的终点是否相同?
答: (1) 两向量相等, 若起点相同, 终点一定相同.
(2) 两向量方向相同而长度不同, 则两向量不等, 若这两向量起点相同, 则终点一定不同.
【课时小结】
1. 相等向量
长度相等, 方向相同的向量叫做相等向量.
相等向量与长度和方向都有关.
相等向量与位置无关.
2. 共线向量
方向相同或相反的向量叫做平行向量.
一组平行向量称为共线向量.
共线向量与长度和位置无关.
共线向量与方向有关, 同方向或反方向.
习题 2.1
第 3、4、6 题.
A 组
B 组
第 1、2 题.
3. 如图, D、E、F 分别是△ABC各边的中点, 写出图中与
解:
A
B
C
D
E
F
习题 2.1
A 组
解:
4. 如图, 在方格纸上的□ ABCD和折线MPQRST中, 点O是□ABCD对角线的交点, 且
分别写出图中与 相等的向量.
A
B
C
D
M
P
Q
R
S
T
O
6. 判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”, 错误的打“×”), 并说明理由:
(1) 若 a、b 都是单位向量, 则 a=b. ( )
(2) 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量. ( )
(3) 方向为南偏西60?的向量与北偏东60?的向量是共线向量. ( )
(4) 直角坐标平面上的 x 轴、y 轴是向量. ( )
解:
(1)
错,
因为向量 与 的方向可能不同.
(2)
对,
因为作用力和反作用力是方向相反的.
(3)
60?
60?
对,
如图,
(4)
错,
x 轴, y 轴不是线段.
两向量的方向相反.
1. 有人说, 由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示, 海平面以下的高度用负数表示, 所以海拔也是向量.你同意他的看法吗? 温度、角度是向量吗? 为什么?
答: 海拔不是向量, 它只是相对于海平面上下高度的一个量, 它只有空间高度, 不具有起点和终点, 不表示海平面上下以外的任意方向.
同样, 温度、角度也不是向量.
B 组
2. 在矩形ABCD中, AB=2BC, M、N分别是AB、CD的中点, 在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中, 相等向量共有多少对?
解:
A
B
C
D
M
N
与向量 相等的有
6对;
反方向又有 6 对;
2 对;
3 对;
其反方向又有 3 对;
2 对;
2 对;
共 24 对.
如图,
水平方向还有
竖直方向有
对角线方向有